лекция 2 по Оборуд

1. 1. Гидроаэродинамика нагнетателей. Уравнение Л.Эйлера.  2. Влияние конечного количества лопастей и величины их выходного угла

Лекция 2.
1. Гидроаэродинамика нагнетателей. Уравнение Л.Эйлера.
2. Влияние конечного количества лопастей и величины их выходного угла на напор.
3. Назначение корпуса нагнетателя. Потери энергии и КПД нагнетателей.
Удельная быстроходность (коэффициент быстроходности).
Основной частью всякого лопастного нагнетателя является рабочее колесо, при вращении которого жидкости передается часть подводимой к двигателю энергии. Во всех
других частях нагнетателя (в корпусе, направляющих и спрямляющих аппаратах) энер-гия
только теряется. Чтобы пояснить происходящий в рабочих лопастных колесах процесс
передачи мощности двигателя жидкости, т. е. процесс образования давления, рассмотрим
вывод уравнения для определения давления, развиваемого центробежным (радиальным)
нагнетателем (аналогичный результат можно получить и для осевых лопастных нагнетателей). До сих пор применительно к центробежным машинам пользуются одноразмерной,
струйной теорией, предложенной в 1754 г. Л. Эйлером. Использовав закон об изменении
моментов количества движения, он получил уравнение для простейшей гидромашины –
Сегнерова колеса, состоящего из отдельных трубок, траектории движения частиц в которых
определялись формой канала-трубки.
Чтобы использовать идею Л. Эйлера применительно к центробежному насосу, необходимо рассмотреть рабочее колесо, состоящее из
бесконечно большого числа бесконечно тонких лопастей. При та-кой
схеме движения поток в области рабочего колеса будет осесимметричным (рис. 2.1). Данная схема позволяет без знания процессов, происходящих внутри каналов рабочего колеса, получить необходимые соотношения по параметрам потока на входе и выходе из
последнего.
Рассмотрим идеальное рабочее колесо (работающее без потерь)
с бесконечно большим числом бесконечно тонких лопастей.
На рис. 2.2 изображены планы скоростей на входе и выходе из
рабочего колеса.
1
Рис. 2.1

2.

Обозначим:
Рис. 2.2
D1=2r1 – входной диаметр рабочего колеса; D2=2r2 – выходной диаметр рабочего колеса;
w – относительная скорость частицы жидкости (скорость по отношению к наблюдателю, вращающемуся вместе с рабочим колесом); с – абсолютная скорость частицы жидкости (скорость по отношению к неподвижному наблюдателю); и – окружная (переносная) скорость частицы жидкости (скорость движения отдельной точки рабочего колеса); cr– радиальная составляющая абсолютной скорости (проекция скорости с на радиус); cu – окружная составляющая абсолютной скорости (проекция скорости с на направление и); α – угол между направлением абсолютной и переносной скоростей (между с и и); β – угол между направлением относительной скорости и обратным направлением переносной скорости.

3.

Из плана скоростей при вращении рабочего колеса по часовой стрелке следует:
c1r= c1sinα1 = wcosβ1;
c2r= c2sinα2 = wcosβ2 ;
c1и= c1cosα1 = u1 – c1rctgβ1;
c2и= c2cosα2 = u2 – c2rctgβ2.
(2.1)
В дальнейшем, как это принято, будем пользоваться не планами, а треугольниками скоростей. Входным будет треугольник А1В1С1 а выходным – треугольник А2В2С2.
Для получения уравнения Эйлера воспользуемся законом изменения момента количества
движения секундной массы относительно оси вала идеального рабочего колёса с бесконечно
большим количеством бесконечно тонких лопастей.
Обозначим:
N – мощность на валу рабочего колеса; т – секундная масса жидкости; eт∞ – полная
удельная энергия, сообщаемая жидкости в идеальном рабочем колесе; ω – угловая скорость
рабочего колеса; М – внешний момент (на валу рабочего колеса); М1 – момент количества
движения массы на входе в рабочее колесо; М2 – момент количества движения массы на
выходе из рабочего колеса; п – частота вращения вала рабочего колеса; Нт∞ –
теоретический напор при бесконечно большом количестве лопастей.
Согласно закону об изменении момента количества движения массы можно записать:
M=
Поскольку
N
= M 2 − M1
M1=mc1r1cosα1= mr1c1u и M2=mc2r2cosα1= mr2c2u , а N=m eт∞ , то
M = m(r2c2 − r1c1 ) =
meт

4.

Поскольку ωr1=и1 и ωr2=и2, то после разрешения последнего уравнения относительно
eт∞ приходим к уравнению
eт∞= и2c2u– и1c1u ,
(2.2)
eт∞= и2c2u
(2.3)
и2с2и
Н т =
.
g
(2.4)
называемым уравнением Л.Эйлера.
Для случая радиального входа жидкости на рабочее колесо, когда α1=900 и c1u=0, уравнение Эйлера принимает вид
или
Поскольку и2=πD2n, то последние уравнения можно записать в виде
eт∞= πD2nc2u
и
D2 nс2и
( D2n )2 − D2 nc2 r ctg 2
Н т =
или с учётом (2.1) Н т =
g
g
(2.5)
(2.6)
Из (2.5 и 2.6) следует, что на рабочем колесе за счет D2; п и c2 можно получить сколь
угодно большой напор. Однако в реальных условиях из-за ограничения перечисленных
величин повышение удельной энергии на одном колесе насоса не превосходит 5000…7000
дж/кг, что соответствует напору 500…700 м.
Преобразуем уравнение (2.1) таким образом, чтобы в него после исключения c1u и c2u
вошли относительные, переносные и абсолютные скорости на входе и выходе из колеса. Из
рассмотрения треугольников входных и выходных скоростей следует:

5.

w12 = c12 + u12 − 2u1c1 cos 1 = c12 + u12 − 2u1c1u ;
w = c + u − 2u2c2 cos 2 = c + u − 2u2c2u
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(2.7)
Подставив в уравнение (2.2) вместо c1u и c2u их значения из (2.7), получим уравнение
Эйлера в виде:
2
2
2
2
2
2
u2 − u1 w1 − w2 c2 − c1
ет =
+
+
2
2
2
и
u22 − u12 w12 − w22 c22 − c12
Н т =
+
+
= H т ст + H т д
2g
2g
2g
Нт∞ ст
Нт∞ д
Для уменьшения потерь энергии в процессе преобразования динамического напора в статический последний должен составлять не менее 75—85 % от полного, т. е. Нт∞ ст= (75…85%)
Нт∞.
2
Согласно принятым ранее допущениям (струйное течение в каналах рабочего колеса, бесконечно большое число бесконечно тонких лопастей), распределение относительных скоростей в сечениях каналов будет таким, как это показано на рис. 2.3а, т. е. давления в
соответствующих точках передней АВ и задней ЕД поверхностей стенок лопасти будут
одинаковыми. Следовательно, исключается их силовое взаимодействие с потоком. В
действительности же эпюра относительных скоростей в каналах реальной машины пред-

6.

ставляется такой, как это изображено на рис. 2.3б, т. е. относительные скорости w должны
увеличиваться от передней поверхности лопасти к задней. Только в этом случае давление
на переднюю поверхность лопасти будет больше, чем на заднюю.
Таким образом, при конечном числе лопастей эпюра относительных скоростей в каналах
рабочего колеса получится неравномерной, следовательно, будет иметь место разность
давлений по обе стороны стенок лопастей, а направление её усреднённого вектора w2 – не
касательно к выходной кромке лопасти: он отклонится в сторону уменьшения угла β2 что, в
свою очередь, вызовет уменьшение окружной составляющей с с2и до с′2, а, следовательно,
приведет к уменьшению напора с Нт∞ до Нт.
На характер распределения скоростей в реальном потоке оказывает влияние также форма
каналов и вязкость жидкости.
Поскольку суммарное влияние этих факторов учесть теоретически не представляется возможным, вводятся опытные поправочные коэффициенты (k). При с1и= 0 он будет равен
u2c2u u2c2 u
Н т = kHт = k
=
g
g
Известный специалист по турбинам А. Стодола с целью учета конечного числа лопастей
заменил сложное вихревое движение круговым вихрем и получил формулу для определения
разности
cu = c2u − c2 u =
где z – количество лопастей турбины.
z
u2 sin 2 ,

7.

В зависимости от значений β2 в центробежных лопастных машинах (насосах и
компрессорах) применяют рабочие колеса
трех типов (рис. 2.4) – с лопастями, загнутыми назад (β2л < 900), радиальными лопастями (β2л = 900) и лопастями, загнутыми
вперед β2л > 900). Обычно угол β2 меньше
а)
б)
лопастного угла β2л на 30…50.
Для создания высокоэкономичных насосов применяются главным образом рабочие колеса с лопастями, загнутыми назад.
Другие два типа применяются в некоторых
компрессорных машинах.
Исследуем выражение для напора (2.6),
представленное в виде
в)
Рис. 2.4
2
и2 − и2c2 r ctgβ 2 и2
Н т =
= ( u2 − c2 r ctgβ 2 )
g
g
для углов β < 900, β = 900 и β > 900.
2
2
2
1. Из выходного треугольника скоростей следует, что при
некоторой величине β2мин вектор абсолютной скорости с2
станет равным с2r (рис. 2.5). В этом случае насос перестанет
создавать напор, так как с2и=0. Это произойдет, когда
и2
u2
сtgβ 2 мин =
.
или при 2 мин = arcctg
с2 r
c2r
Рис. 2.5
(2.8)

8.

2. Для лопастей, у которых β2= 900, из плана скоростей (рис. 2.4б) видно, что с2=и2 и,
следовательно, выражение для напора примет вид
2
и
Н т = 2
g
Т.к. динамический напор равен
c 22 − c12
Н т д =
2g
(2.8)
то с целью упрощения исследования будем полагать, что с1r=с2r=c1. Тогда выражение в
числителе преобразуется к виду
2
2
2
2
2
1
2
2r
2
2
2
а из выходного треугольника скоростей видно, что
2
2r
2и
с −с = с −с ,
Окончательно:
с −с = с .
c22 − c12 с22и u22
Н т д =
=
=
,
2g
2g 2g
т.е. динамический напор в данном случае равен половине полного.
3. Исследуем рабочее колесо с лопастями, у которых β2>900. Из уравнения (2.6) видно, что с
увеличением β2 напор растет. Однако существует максимально допустимый угол β2макс, при
котором весь напор будет создаваться только как динамическая составляющая.
Т.к.
и22 u2
c22 − c12
Н т ст = Н т − Н т д = − c2 r ctgβ 2 −
g g
2g

9.

а
с22 − с12 = с22и = ( и2 − с2 к сtgβ 2 )2 ,
уравнение для статического напора можно представить в виде
и22 − ( с2 r ctg 2 )2
Н т ст =
2g
Решение этого уравнения относительно угла β2 при Нт∞ст=0 даёт следующие его значения:
– минимальный угол
2 мин = arcctg
– максимальный угол
u2
c2r
(соответствует случаю β2< 900);
u2
u
2 макс = arcctg − = − arcctg 2 .
c2r
c2r
Максимальному углу β2макс соответствует значе-
ние с2и=2и2 (рис. 2.6).
Совмещённые векторные диаграммы для всех
рассмотренных случаев приведены на рис. 2.7.
Рис. 2.6

10.

Режим
насоса
(Нт∞>0)
Пользуясь уравнениями
(2.7) и (2.8) можно построить графические зависимости Нт∞= f(β) и Нт∞ст=
рост напора
c2
w2
c2
ма
кс
w
2
c2u=2u2
β2
β2 =
90 0
β2
ми
н
w2
c2
u2=const
Рис. 2.7
с β2<900, получаются более выгодными в гидравлическом отношении,
а следовательно, и потери в них будут меньшими. В настоящее время
вентиляторы выполняют с лопастями, загнутыми назад, что приводит к
увеличению КПД и уменьшению шума, хотя габариты вентилятора несколько увеличиваются. У центробежных насосов всегда лопатки
делают загнутыми назад.
f(β) (рис. 2.8).
c2r=const
Нт∞=0
Из рис. 2.8 видно, что при
углах β2< 900 статическая
часть напора преобладает
над динамической. При углах β2>900 динамический
напор превалирует над
статическим. Каналы, образованные лопастями
Нт∞, Нт∞ ст
Нт∞
Нт∞ д=Нт∞ ст
Нт∞ ст
Нт∞=Нт∞ д
Режим
гидротурбины
(Нт∞<0)
β
β2мин
900
β2макс

11.

Поток жидкости, сбегающий с лопастного колеса, собирается в корпусе, который также понижает его скорость и соответственно преобразует динамическое давление в статическое.
У центробежных (радиальных) нагнетателей корпус имеет спиральную форму – улитку (рис.
2.9а), а у осевых – цилиндрическую – обечайку (рис. 2.9б). Для уменьшения потерь давления
при выходе потока в спиральный корпус в некоторых конструкциях применяют выходные направляющие аппараты. В современных конструкциях
одноступенчатых центробежных (радиальных) нагнетателей в отличие от
а)
б)
Рис. 2.9
многоступенчатых направляющие аппараты почти
не применяют.
При прохождении жидкости через гидромашину часть полученной ею механической энергии
теряется. Для удобства исследований и выяснения их физической сущности потери в насосе принято разделять их на три вида: гидравлические, объемные или щелевые и ме-
ханические.
Гидравлические потери энергии определяются гидравлическим КПД насоса
Nп
gQH
H
H
Н
г =
=
=
=
= 1−
,
N п + N г gQH + gQ H H + H H т
Нт
где Nг – мощность, затрачиваемая на преодоление гидравлического сопротивления; ρ –
плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; Q –подача жидкости.

12.

Для предварительной оценки гидравлических потерь можно воспользоваться формулой,
предложенной А. А. Ломакиным
0,42
Q
г = 1 −
,
3
где
D
=
(
4
...
4
,
5
)
,
2
1пр
а размерность Q – [м3/с]; п – [1/мин].
( lgD1пр − 0,172 )
n
Объемным КПД называется отношение полезной мощности к
сумме полезной мощности и мощности, потерянной в связи с утечками (Nут):
Определение.
Nп
о =
Nп + N ут
Для современных крупных насосов η= 0,90…0,98.
Определение. Коэффициентом подачи называется отношение подачи насоса к
его идеальной подаче Qт:
Qут
Q Qт - Qут
Q =
=
=1−
Qт
Qт
Qт
где Qт – идеальная подача (расход через рабочее колесо); Qут – утечки жидкости.
Механические потери связаны с трением наружных поверхностей дисков рабочих колес и
разгрузочной шайбы о жидкость в корпусе насоса, а также механическим трением в опорах
вала и в уплотнительных устройствах: Nм= Nд+ Nоп+ Nс, а механический КПД
м =
N i gQт Н т
=
N
N
Полный КПД насоса вычисляется по формуле
η= ηгηоηм.