тема 4-6-системы счисления

1. «СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ»

Мы почитаем всех нулями,
А единицами себя.
А.С. Пушкин

2. Система счисления (с/с)-

Система счисления (с/с)это совокупность приемов и правил
изображения чисел цифровыми
знаками.

3. Арифметика каменного века

=
Единичная система
счисления (унарная)
10 - 11 тыс. лет до н. э.

4. Древнегреческая нумерация

В V веке до н.э. появилась алфавитная нумерация.
Пример:
500 30 2
2 500 30
500 2 30

5. Славянская кириллическая нумерация

Пример:

6. Римская система счисления

Пример:
DC-XV=DLXXXV

7. Египетская нумерация

1
10
10000
100000
100
1000
1000000
10000000
Пример:
= 90
5000 лет тому назад

8. Системы счисления

Позиционные системы
счисления
Непозиционные системы
счисления

9.

В позиционной системе счисления
значение каждой цифры определяется
её положением (позицией в числе).
Примером позиционной системой
счисления является 10-ая система
счисления.

10.

Какая система счисления используется
повсеместно в наше время?
Сколько цифр в десятичной системе?
Какие это цифры?
Как вы думаете, почему люди используют
десятичную систему, а не семеричную?

11. Вспомните, какие системы счисления встречаются в нашей жизни по сей день?

Двенацетиричная (количество месяцев в
году, количество часов, количество знаков
зодиака);
Семеричная (семь дней в неделе, обилие
пословиц и поговорок с числом семь);
Шестидесятеричная система счисления
(временная мера)

12.

В непозиционной системе счисления
значение цифры не зависит от ее
положения в числе.
Примером непозиционной системой
счисления является римская система
счисления.

13. Римская непозиционная система счисления

I (1)
V (5)
X (10)
L (50)
C (100)
D (500)
M (1000)

14. Значение цифры не зависит от ее местоположения в числе

XXX = 30
MCMXCVIII = 1000+(1000-
100)+(100-10)+5+1+1+1=1998

15.

В ЭВМ вся исходная,
промежуточная и
окончательная
информация
представляется в
виде совокупности
цифр.

16. В ЭВМ применяются позиционные системы счисления:

Двоичная система счисления (2-ая с/с)
Восьмеричная система счисления (8-ая с/с)
Десятичная система счисления (10-ая с/с)
Шестнадцатеричная
(16-ая с/с)
система счисления

17.

Системы счисления отличаются друг от
друга количеством цифр, т.е.
основанием.
Основание системы счисления – это
количество цифр, которыми
обозначаются числа.

18.

Двоичная – 0, 1 (основание с.с. – 2)
Десятичная – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
(основание с.с. – 10)
Восьмеричная – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
(основание с.с. – 8)
Шестнадцатеричная – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (основание с.с. –
16)

19. Связь систем счисления

10-ая
2-ая
8-ая
16-ая
0
0000
0
0
1
0001
1
1
2
0010
2
2
3
0011
3
3
4
0100
4
4
5
0101
5
5
6
0110
6
6
7
0111
7
7
8
1000
8
9
1001
9
10
1010
A
11
1011
B
12
1100
C
13
1101
D
14
1110
E
15
1111
F

20.

Правила перевода
Из десятичной системы счисления
в позиционные системы счисления:
• Разделить десятичное число на основание новой
системы счисления. Получится частное и остаток.
• Остаток от деления переводят в новую систему
счисления – это будет младший разряд нового
числа.
• Выполнять деление до тех пор, пока последнее
частное не станет меньшим основания новой
системы счисления.
• Записать последнее частное и все остатки в
обратном порядке. Полученное число и будет
записью в новой системы счисления.

21.

Представим число 67 записанное в десятичной
системе счисления
в позиционных системах счисления:
двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.
6710 = А2
6710 = А8
6710 = А16

22.

Представим число 6710
в двоичной системе счисления:
Ответ: 6710 = 10000112

23.

Представим число 6710
в восьмеричной системе счисления:
Ответ: 6710 = 1038

24.

Представим число 6710
в шестнадцатеричной системе счисления:
Ответ: 6710 = 4316

25.

Представим число 12310
в шестнадцатеричной системе счисления:
Ответ: 12310 = 7В16

26.

Представим число 42 записанное в десятичной
системе счисления
в позиционных системах счисления:
двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.
4210 = А2
4210 = А8
4210 = А16

27.

Перевод десятичного числа в другую
позиционную систему счисления

28. Правила перевода Из любой позиционной системы счисления в десятичную систему счисления:

Запись числа в 10-ой с/с означает
представление этого числа в виде
суммы степеней основания с
различными коэффициентами.
2 1 0
Например: 4 5 6 8

29.

Представим число 10000112
в десятичной системе счисления:
Ответ: 10000112=6710

30.

Представим число 1038
в десятичной системе счисления:
Ответ: 1038=6710

31.

Представим число 7В16
в десятичной системе счисления:
Ответ: 7В16 = 12310

32. Правила перевода Из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления и обратно:

Между 2-ой и 16-ой с/с есть характерная
связь (24=16), позволяющая переводить
числа простым способом – по таблице,
представляя их по 4 разряда начиная с
младшего.

33. Представим число 11100011012 в шестнадцатеричной системе счисления:

0011 1000 11012 38D16
13 → D
Представим число 36816 в двоичной
системе счисления:
36816 → 0011 0110 1000 2

34. Правила перевода Из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления и обратно:

Между 2-ой и 8-ой с/с есть характерная
связь (23=8), позволяющая переводить
числа простым способом – по таблице,
представляя их по 3 разряда (левый
ноль отбрасывается) начиная с
младшего.

35. Представим число 10110001102 в восьмеричной системе счисления:

001 011 000 1102 13068
Представим число 3614 в двоичной
системе счисления:
3614 8 → 011 110 001 100 2

36.

Арифметические операции
в системах счисления

37. Мысленно переложить одну спичку так, чтобы получилось верное равенство

а) VII – V = XI
б) IX – V = VI
в) VIII – III = X

38. Сложение 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 +1 в старший разряд

Арифметика с двоичными числами
1. Сложение
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=0 +1 в старший разряд
2. Вычитание
0-0=0
0-1=1 -1 из старщего разряда
1-0=1
1-1=0
3. Умножение
0•0=0
1•0=0
0•1=0
1•1=1

39. Сложение

При сложении 2-ых чисел в каждом разряде в
соответствии с таблицей сложения
производится сложение 2-ух цифр слагаемых
или 2-ух этих цифр и 1, если есть перенос из
младшего разряда.
В результате получается цифра
соответствующего разряда суммы и,
возможно, переноса в старший разряд.

40. Пример сложения:

1
+
1 1
110111
10011
________________
1001010

41. Вычитание

При вычитании 2-ых чисел в данном разряде
при необходимости занимается 1 из старшего
разряда. Эта 1 равна 2 единицам данного
разряда.
Заем производится каждый раз, когда цифра в
разряде вычитаемого больше цифры в том
же разряде уменьшаемого.

42. Пример вычитания:

-
1 1 0 1 1
1 1 0 1
________________
1 1 1 0

43. Умножение

Умножение 2-ых многоразрядных чисел
производится путем образования частичных
произведений и последующего их
суммирования.
В соответствии с таблицей двоичного
умножения каждое частичное произведение
равно 0, если в соответствующем разряде
множимого стоит 0.
Т.о. операция умножения сводится к операциям
сдвига и сложения.

44. Пример умножения:

*
1010
101
_________
+
1010
1010
_________________
110010