Similar presentations:
מצגת העתקות גיאומטריות תשפב
1.
בס"דד"ר אלי בגנו
עודכן בתשפ"ב.
1
2.
המרחב הניצב יהי Vמרחב מכפלה פנימית ויהי Uתת מרחב של .V
נגדיר } U {v V | v, u 0 u U
U נקרא המרחב הניצב ל .U
2
3.
דוגמאU Sp{(1,1,1)}
V 3
U {( x, y, z ) 3 | ( x, y, z ), (1,1,1) 0} אז
{( x, y, z ) 3 | x y z 0}
V 3
זהו מישור ב
3
4.
דוגמאU Sp{(1,1, 2), (0,1, 1)}
V 3
U {( x, y, z ) 3 | ( x, y, z ), (1,1, 2) 0),
( x, y, z ), (0,1, 1) 0}
{( x, y, z ) 3 | x y 2 z 0,
y z 0}
Sp{(1,1,1)}
4
5.
משפט הפירוק האורתוגונליממימד n
V
פנימית
אם Uהוא תת מרחב של מרחב מכפלה
בסיס (vk
)
בסיס(u1 ,...,
בעל ) u k
אז ניתן
למצוא 1 ,..., vn
של U
כך שביחד הם מהווים בסיס של כל
המרחב . Vבפרט,
dim V dim U dim U
5
6.
דוגמאV 3
})U Sp{(1,1, 2), (0,1, 1
})U Sp{(1,1,1
ואכן ))((1,1, 2), (0,1, 1), (1,1,1
6
3
של V
בסיס
מהווה
7.
היטל כהעתקה לינאריתV
פנימית
יהי Uתת מרחב של מרחב מכפלה
יהי ) (u1 ,..., u k
של
בסיס אורתונורמלי U
נגדיר את פונקציית ההיטל PrU : V V
ע"י
:V
לכל
v
PrU (v) v, u1 u1 ... v, u k u k
7
8.
היא העתקה לינאריתPrU
:משפט
v1 , v2 V
יהיו: הוכחה
PrU (v1 v2 ) v1 v2 , u1 u1
... v1 v2 , u k u k
v1 , u1 u1 v2 , u1 u1 ...
v1 , u k u k v2 , u k u k
v1 , u1 u1 ... v1 , u k u k
v2 , u1 u1 ... v2 , u k u k
PrU (v1 ) PrU (v2 )
8
9.
משפט:א .לכל u U
ב .לכל v U
מתקיים PrU (u ) u
מתקיים PrU (v) 0
הוכחת א:
נתבונן שוב בבסיס האורתונורמלי של B (u1 ,..., uk ) :U
נבדוק עבור: u1
PrU (u1 ) u1 , u1 u1 ... u1 , uk uk u1
באופן דומה ,עבור כל. ui
9
10.
:כלשהוא ונציגu U נקח, כעת
u 1u1 ... k uk
אז
PrU (u ) PrU ( 1u1 ... k u k )
1 PrU (u1 ) ... k PrU (u k )
1u1 ... k uk u
10
11.
מטריצת הייצוג של היטלU
ע"י הוספת וקטורי בסיסV לבסיס שלU נרחיב את הבסיס של,
T PrU נסמן
: נקבל.
של
B (u1 ,..., uk , v1 ,..., vn k )
:עפ"י המשפט הקודם
T (u1 ) u1 1 u1 0 u2 ... 0 uk 0 v1 ... 0 vn k
T (u2 ) u2 0 u1 1 u2 ... 0 uk 0 v1 ... 0 vn k
T (uk ) uk 0 u1 0 u2 ... 1 uk 0 v1 ... 0 vn k
11
12.
: כמו כןT (v1 ) 0 0 u1 0 u2 ... 0 uk 0 v1 ... 0 vn k
T (vn k ) 0 0 u1 0 u2 ... 0 uk 0 v1 ... 0 vn k
12
13.
UU
1 0 0 0 0 0
0
0
0 0 0
0 0 0 1
[T ]BB
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0 0 0 0
13
14.
דוגמא נקח
V 3
})U Sp{(1,0,0), (0,1,0
?T Pr
U
מהי מטריצת הייצוג של ההיטל
נשלים את הבסיס))((1,0,0), (0,1,0
לבסיסVשל
של
U
)(0,0,1
ע"י הוספת הוקטור
(שפורש את) U
V 3
כדי לקבל את הבסיס הסטנדרטי של
14
15.
)T (1,0,0) (1,0,0)T (0,1,0) (0,1,0
)T (0,0,1) (0,0,0
ולכן
1 0 0
[T ] 0. 1 0
0 0 0
איברי הבסיס של Uהם וקטורים עצמיים של הערך העצמי .1
איברי הבסיס של U הם וקטורים עצמיים של הערך העצמי .0
15
16.
דוגמא נקח
V 3
}U {( x, y, z ) 3 | 2 x y z 0
))( f1 (0,1,1), f 2 ( 1, 1,1
נקח בסיס עבור :U
נשלים אותו לבסיס עבור V 3
ע"י וקטור שאורתוגונלי לשני הוקטורים של הבסיס
של U
)f 3 ( 2,1, 1
? למשל ,מכפלה וקטורית).
מוצאיםF
איך ( f1 , f1 ,
( ) f3
,נקבל :
אם נסמן
1 0 0
[T ] 0 1 0
0 0 0
F
F
16
17.
ושוב ,נשים לב לכך שוקטורי Uהם וקטורים עצמיים של הערךהעצמי , 1
וקטורי הבסיס (ובעצם כל הוקטורים) שלU
הם וקטורים עצמיים של הערך העצמי .0
17
18.
איך מוצאים את מטריצת היצוג לפי הבסיסהסטנדרטי?
כמו תמיד:
E
F
] [T ] [ I ] [T ] [ I
F
F
F
E
E
E
אצלנו:
0 1 2
F
[ I ]E 1 1 1
1 1 1
לכן:
2 2 2
1
E
[T ]E 2 5 1
6
2
1
5
18
19.
שיקופים השיקוף של הוקטור v
על
והמשכתו כאורכו.
נסמן
אז
כיון ש:
19
uי
מבעד לישר הנקבע ע"
)y pu (v
v y
)Su (v) y (
u
vמ
מתקבל ע"י הורדת אנך
v, u
2
u
y
u
20.
S u (v ) yS u (v )
v, u
u
2
2 v, u
u
2
u v y
u v
: קיבלנו
: כלומר
20
21.
דוגמא נמצא את פונקציית השיקוף ב
שמשוואתו y x
2
ישר זה נפרש ע"י הוקטור
2
לכן ,לכל v ( x, y)
(1,1) ( x, y )
21
מבעד לישר
)u (1,1
מתקיים:
2 ( x, y ), (1,1)
2
)(1,1
S (1,1) ( x, y )
2
) ( x y , x y ) ( x, y ) ( y , x
2
22.
מתקיים באופן כללי:S u (u ) u
לכל v Vהמקיים v, u 0
(כלומר לכל
Su.(v) v
) v Sp{u} מתקיים
Su : V V
22
היא העתקה לינארית.
23.
המטריצה המייצגת של שיקוף מבעד לישר נקח את u u1להיות הוקטור הראשון של הבסיס ונשלים אותו לבסיס V
של
ע"י הוספת הוקטורים ) (u2 ,..., un
עבור}Sp{u
המהווים בסיס
נקבל:
23
) F (u1 , u2 ,..., un
24.
Su (u1 ) u1 1 u1 0 u2 ... 0 unSu (u2 ) u2 0 u1 1 u2 ... 0 un
נקבל
Su (un ) un 0 u1 0 u2 ... un
1 0 0
0
1
0
0
0 0 1 0
F
[ S u ]F
1
1
0 0 0 0
1
: ועל כן
24
25.
שימוהוקטור u u1הוא וקטור עצמי של הערך העצמי .1
שאר איברי הבסיס הם וקטורים עצמיים של הערך העצמי 1
25
.
26.
שיקוף מבעד לתת מרחב.
של
באופן דומה נוכל ליצור שיקופים מבעד לכל תת מרחב
V
U
נבחר בסיס של(u1 ,..., u k :) U
של
בעזרת הבסיס
ונשלים אותו לבסיס Vשל
U
) (vk 1 ,..., vn
V
:
) (u1 ,..., uk , vk 1 ,..., vn
קיבלנו בסיס של S:U : V V
i 1,..., kבעזרת הבסיס:
נגדיר
העתקהSU (u
i ) ui
לכלi k 1
,.., n
SU (vi ) vi
לכל
26
27.
הן e1 ,..., במטריצת הייצוג לפי בסיס זה k ,העמודות הראשונות ek
העמודות הן ek 1 ,..., en
ושאר
בעצם ,כל איברי U
עוברים לעצמם ע"י העתקה זו וכל איברי המרחב
מחליפים כיוון.
הניצב ל
27
U
28.
דוגמא מהי מטריצת הייצוג לפי הבסיס הסטנדרטי של השיקוף מבעד למישור?
}U {( x, y, z ) | 2 x y z 0
פתרון :נבחר בסיס עבור המישור:
ונשלים אותו לבסיס עבור 3
את U
ע"י הוספת וקטור שפורש
f1 , f 2
)f 3 (2, 1,1
28
})B { f1 (0,1,1), f 2 ( 1, 1,1
,כלומר מאונך ל:
29.
F { f1 , f 2 , f 3}. נסמן
} U Sp { f1 , f 2
ישמש לנו כמראה ,עלינו
כדי ש
לעצמם ,כלומר לקבוע שהם וקטורים עצמיים של הערך העצמי f 3 ,1
לשלח את f1 , f 2
f3
ואת
,כלומר הוא יהיה וקטור עצמי של .-1
לשלח אל
29
30.
1 0 0F
[T ]F 0 1 0
0 0 1
: לכן
מכאן ש
1
0 1 2 1 0 0 0 1 2
1 2 2
1
E
[T ]E 1 1 1 0 1 0 1 1 1 2 2 1
3
1 1 1 0 0 1 1 1 1
2
1
2
30
31.
דוגמא נתונה המטריצה
13 4 16
1
A 4 19 8
21
16 8 11
נראה שזוהי מטריצה המייצגת שיקוף מבעד למישור במרחב.
תחילה ,נחשב את הערכים העצמיים: