3.13M

Category: $mathematics$ mathematics

ЦПТ

1.

Теория вероятностей
и математическая
статистика

2.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Центральная
предельная
теорема
Ю.В. Шапарь

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Совокупность теорем, исследующих сходимость к нормальному
распределению, объединены под названием ЦПТ.
Из всех типов сходимости по распределению особое место
занимает сходимость к нормальному распределению
вероятностей.
Важнейший подход к использованию результатов ТВ в
науке и технике заключается в том, что любой процесс или
явление протекает под влиянием большого числа
независимых или слабо зависимых факторов, каждый из
которых ничтожно мало влияет на ход процесса.

4.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Исследователь, изучающий процесс в целом, наблюдает
лишь суммарное действие этих случайных факторов.
Все формы ЦПТ посвящены установлению условий, при
которых возникает нормальный закон распределения.
Он возникает во всех случаях, когда исследуемая СВ может
быть представлена в виде суммы достаточного числа
независимых (или слабо зависимых) слагаемых, каждое из
которых в отдельности мало влияет на сумму.

5.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
ЦПТ является мощным и универсальным средством
асимптотического
анализа
распределений
сумм
независимых и одинаково распределённых СВ.

6.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Теорема (ЦПТ Ляпунова)
Ю.В. Шапарь

7.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь

8.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Последовательность центрированных и нормированных
сумм n сходится к стандартной нормальной СВ, т.е.
«Стирается природа» i (дискретная, непрерывная, ─
неважно) в Sn .

9.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Из соотношения (*) следует, что при достаточно большом n
«приближённо распределена» по нормальному закону
Это означает, что сумма Sn «приближённо распределена»
по нормальному закону
Теорема позволяет при больших n вычислять вероятности
различных событий, связанных с суммами случайных
величин.

10.

СЛЕДСТВИЯ (другие формулировки ЦПТ)

11.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
ЗАМЕЧАНИЕ
Во многих прикладных задачах возникает необходимость
вычисления вероятностей вида
Для больших n ( при n>10) можно применять ЦПТ.

12.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа как следствие ЦПТ
Пусть в схеме независимых испытаний Бернулли n ( A) ─ число
появлений события А в серии из n испытаний (число успехов).
p P( A), q P A ─ вероятности успеха/неуспеха
В каждом испытании i ─ число успехов в i-м испытании
(бернуллиевы СВ).

13.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь

14.

Для подсчёта сумм биномиальных вероятностей можно
использовать формулу

15.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Центральной предельной теоремой пользуются для
приближенного вычисления вероятностей, связанных с
суммами большого числа независимых и одинаково
распределённых случайных величин.
При этом распределение центрированной и нормированной
суммы заменяют на стандартное нормальное распределение.
Насколько велика ошибка при такой замене (погрешность
приближения)?

16.

Следующий результат позволяет оценить погрешность ЦПТ.
Теорема (неравенство Берри-Эссе’ена)

17.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
Характеристические функции
Одним из основных аналитических методов теории
вероятностей является метод, связанный с использованием
характеристических функций.
Наряду со случайными величинами, принимающими
действительные значения, аппарат характеристических
функций связан с привлечением комплекснозначных СВ

18.

1 i 2 можно
Комплексную случайную величину
рассматривать как двумерную СВ, каждая компонента которой
1 и 2 является действительной случайной величиной.
Отметим, что характеристическая функция и функция
распределения СВ связаны между собой взаимно однозначно.
Кроме того, вычислять моменты СВ с помощью
характеристической функции значительно проще, чем при
помощи функции распределения.
Особенно удобно использовать характеристические функции в
задачах, связанных с суммированием случайных величин.

19.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
В этом случае вычисление интегралов типа свёрток
заменяется перемножением характеристических функций,
что значительно упрощает дело.
Замечание.
Характеристическая
функция
НСВ
преобразование Фурье от ее плотности распределения.
есть

20.

Для СВ , принимающих только целочисленные значения,
обычно используют производящую функцию или так
называемое z-преобразование
Ниже

21.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь

22.

Определение
Функция
(t ) M eit
переменной
называется характеристической функцией СВ .
вещественной
t

23.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Примеры
Ю.В. Шапарь

24.

25.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь

26.

Свойства характеристических функций

27.

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике
Ю.В. Шапарь
2.
По
характеристической
функции
однозначно
восстанавливается распределение (функция распределения,
плотность или ряд распределения). Т.е. если две СВ имеют
одинаковые характеристические функции, то и их
распределения совпадают.