zashchita

1.

Динамика популяций видов
в экосистемах с конкуренцией и симбиозами
Научно-исследовательская работа · Защита
Научный руководитель: ____________
Исполнитель: ____________

2.

Актуальность и цель
Модели Лотки–Вольтерры (1920-е) — базовый
инструмент анализа взаимодействий видов:
конкуренции, хищничества, симбиоза.
Классическая модель структурно неустойчива — это
мотивирует переход к модификациям и
пространственным расширениям.
Цель: изучить и реализовать классические модели, их
модификации и пространственные расширения;
провести анализ устойчивости.
2

3.

Классическая модель «хищник–жертва»
dx/dt = αx − βxy
dy/dt = −γy + δxy
Равновесия: (0,0) — седло; (γ/δ, α/β) — центр.
Сохраняется первый интеграл V(x,y).
Семейство замкнутых орбит — нейтральная
устойчивость, аттрактора нет.
3

4.

Конкуренция двух видов: четыре режима
4
Сосуществование
Вытеснение вида 2
Вытеснение вида 1
Бистабильность («эффект
основателя»)

5.

Модификация 1: логистика жертвы
5
dx/dt = αx(1−x/K) − βxy
Центр (слева) → устойчивый фокус (справа)
Центр становится
устойчивым фокусом.
λ = −0.15 ± 0.71i —
затухающие колебания.

6.

Модификация 2: отклик Холлинга II → Хопф
6
Модель Розенцвейга–
Макартура.
Предельный цикл рождается
через бифуркацию Хопфа при
K_H ≈ 3.0.
«Парадокс обогащения»: рост
ёмкости среды дестабилизирует
сосуществование.

7.

Модификация 3: мутуализм (симбиоз)
7
Тот же каркас, что
конкуренция, но знак
коэффициентов
противоположный.
Слабый мутуализм:
устойчивое равновесие
выше сольных
ёмкостей.
Сильный:
неограниченный рост.

8.

Пространство: реакция–диффузия
Пространственно-временная диаграмма (кимограф)
8
Метод прямых, условие
CFL.
Инвазия хищника
фронтом.
За фронтом —
периодические
бегущие волны.

9.

Паттерны Тьюринга
9
Диффузионная неустойчивость при быстром ингибиторе (D_v ≫
D_u): однородное состояние теряет устойчивость в полосе
волновых чисел → стационарный узор.

10.

Метапопуляция: синхронизация
10
Кольцо патчей с
миграцией.
Слабая связь —
десинхронизация
(χ≈0.1).
При d ≳ 0.07 —
синхронизация (χ→1).

11.

Карты режимов в пространстве параметров
Исходы конкуренции · граница Хопфа · область Тьюринга
11

12.

Валидация: численность против аналитики
Порог Хопфа · второй порядок схемы (наклон 2.01) · порог Тьюринга d_c ≈ 8.57
12

13.

Сводная таблица равновесий
13
Модель
Равновесие/режим
λ / критерий
Тип
Классич. хищник–жертва
E*=(γ/δ, α/β)
λ=±i√(αγ)
центр
Конкуренция, бистаб.
E*=(40, 40)
λ=+0.2, −1.0
седло
Х–Ж + логистика
E*=(3.0, 1.4)
λ=−0.15±0.71i
устойч. фокус
Холлинг II, K>K_H
E* внутр.
Re λ>0
предельный цикл
Мутуализм слабый
E*=(167, 167)
λ=−1.0, −2.33
устойч. узел
Тьюринг
однородное (u*,v*)
Re λ(k_max)>0
паттерн (пятна)
Метапопуляция
синхронный цикл
χ→1, d≳0.07
синхронизация

14.

Выводы
Классическая модель «хищник–жертва» структурно неустойчива (центр).
Модификации дают устойчивый фокус, предельный цикл (Хопф) и устойчивый
мутуализм либо неограниченный рост.
Пространство порождает бегущие волны, паттерны Тьюринга и
синхронизацию метапопуляции.
Численные методы валидированы: второй порядок схемы, пороги совпадают с
аналитикой.

15.

Спасибо за внимание
10 воспроизводимых скриптов · 18 фигур · отчёт и дневник