ИКТР-41 доклад 1

1. «Фрактальная размерность, Множества Жюлиа и Мандельброта»

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций
им. проф. М.А. Бонч-Бруевича
«ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ,
МНОЖЕСТВА ЖЮЛИА И
МАНДЕЛЬБРОТА»
ДОКЛАД ПОДГОТОВИЛИ
СТУДЕНТЫ
ГРУППЫ ИКТР-41
БЕЛОВА КРИСТИНА
БИЧЕВ ИВАН
ТЮХТИНА АНАСТАСИЯ
Санкт-Петербург
2026

2. ВВЕДЕНИЕ

Фрактальная размерность — это количественная
характеристика сложности геометрических объектов,
проявляющаяся в их самоподобии на разных масштабах. В
отличие от традиционных геометрических размерностей
(линейной, площадной, объемной), фрактальная размерность
может быть дробной и отражает степень «заполнения»
пространства объектом при уменьшении масштаба наблюдения.
Она лежит в основе описания сложных систем, где структура и
динамика невозможно адекватно охарактеризовать с помощью
обычной размерности.

3. Методы определения фрактальной размерности

МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ
Метод «ящика» (Box-counting)
Размерность Хаусдорфа
Корреляционная размерность

4. Свойства фрактальных объектов

СВОЙСТВА ФРАКТАЛЬНЫХ
ОБЪЕКТОВ
1. Самоподобие: фракталы сохраняют структурные закономерности на
разных масштабах.
2. Масштабная инвариантность: количественные характеристики, такие
как плотность или спектр, подчиняются степенным законам.
3. Фрактальная размерность как индикатор сложности: величина D
позволяет сравнивать хаотичность или структурную насыщенность
различных объектов.
4. Неинтегрируемость обычной геометрии: традиционные меры длины,
площади или объема для фракталов часто стремятся к бесконечности при
уменьшении масштаба измерения.

5. Фрактальная размерность используется в различных областях физики

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ
ИСПОЛЬЗУЕТСЯ В РАЗЛИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ
ФИЗИКИ
• Турбулентность: структура вихрей в турбулентных потоках описывается
фрактальной размерностью, отражающей распределение энергии по
масштабам.
• Анализ структурных материалов: трещины и пористые среды
демонстрируют фрактальные закономерности, что позволяет предсказывать
прочностные свойства.
• Системы дисперсных частиц: распределение кластеров в агломератах
подчиняется фрактальным законам.
• Динамика хаотических систем: размерность аттрактора позволяет
количественно оценить количество степеней свободы эффективной динамики.

6. Численные методы и моделирование

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И
МОДЕЛИРОВАНИЕ
1. Фрактальные генераторы: алгоритмы, создающие идеальные
самоподобные структуры (например, кривые Коха или снежинки
Коха).
2. Модели случайного блуждания и перколяции: позволяют
воспроизводить естественные фрактальные структуры,
характерные для турбулентных потоков и кластеров.
3. Вейвлет-анализ: обеспечивает локальное определение
фрактальной размерности и позволяет выделять разные масштабы
структуры одновременно.

7. Множества Жюлиа

МНОЖЕСТВА ЖЮЛИА
где z ∈ ℂ, а c — фиксированный комплексный
параметр. Множество Жюлиа J(fc)
определяется как граница множества точек, чьи
орбиты под действием итераций функции
остаются ограниченными.
• Множество Фату F(fc): область комплексной плоскости,
где итерации ведут себя устойчиво.
• Множество Жюлиа J(fc): дополнение к множеству Фату,
где наблюдается хаотическое поведение.

8. Физический смысл и интерпретация

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ И
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
• В динамических системах оно соответствует разделу между
различными бассейнами притяжения.
• В термодинамике и статистической физике множества Жюлиа
аналогичны критическим границам между различными фазовыми
состояниями.
• В оптике они могут моделировать распределение интенсивности в
нелинейных резонаторах, где свет ведет себя по фрактальным
законам.
• В квантовой физике наблюдается связь с так называемыми
квантовыми фракталами.

9. Численные методы исследования

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
1. Метод итераций: для каждой точки z0 проверяется,
остается ли последовательность zn + 1 = fc(zn)
ограниченной.
2. Ограничение по числу шагов: вычисления ведутся до
заранее заданного числа итераций, после чего
классифицируется поведение орбиты.
3. Цветовое кодирование: различные скорости ухода орбит
в бесконечность отображаются цветами, что формирует
характерные изображения множеств Жюлиа.

10. Роль в нелинейной динамике

РОЛЬ В НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКЕ
• В системах с диссипацией они описывают структуры
бассейнов притяжения.
• В гамильтоновой динамике они связаны с так
называемыми канторовскими множествами на границах
резонансных областей.
• В задачах о турбулентности множества Жюлиа
аналогичны разделам между различными режимами
потоков.

11. Множество Мандельброта

МНОЖЕСТВО МАНДЕЛЬБРОТА
Множество Мандельброта — это граница устойчивости динамики
простейшего нелинейного уравнения. Несмотря на элементарность
формулы, его геометрия поражает сложностью, самоподобием и
бесконечным богатством деталей.

12. Основные свойства

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
• Компактность и ограниченность. Множество целиком содержится в диске
радиуса 2 в комплексной плоскости.
• Фрактальная граница. Граница множества бесконечно сложна и обладает
свойством самоподобия: увеличивая её отдельные участки, можно наблюдать
копии структуры, напоминающие всё множество в целом.
• Инвариантность при масштабировании. В некоторых областях границы
наблюдаются почти точные копии множества, называемые «миниМандельбротами». Эти копии повторяются на всё более мелких масштабах,
демонстрируя фрактальную природу объекта.
• Связность. Множество Мандельброта является связным множеством: его
можно обойти, не отрываясь от поверхности.

13. Физический смысл и интерпретации

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ И
ИНТЕРПРЕТАЦИИ
• Переходы к хаосу. Изменение параметра c соответствует изменению
управляющего параметра в физических системах (например, в осцилляторах).
Внутри множества наблюдается устойчивое поведение, на границе —
хаотические режимы.
• Фрактальные границы аттракторов. Многие реальные системы
демонстрируют аттракторы с фрактальными границами. Множество
Мандельброта служит моделью для понимания того, как такие структуры
формируются.
• Универсальность. Геометрия множества связана с явлением
универсальности Фейгенбаума: закономерности удвоения периода и
критическое самоподобие проявляются и в реальных нелинейных системах,
например в гидродинамике или турбулентности.

14. Роль в современной физике

РОЛЬ В СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКЕ
• Изучение множества Мандельброта оказало глубокое влияние на
понимание хаотических режимов в нелинейной динамике.
• Численные эксперименты с множеством Мандельброта показали
важность компьютерного моделирования в современной науке.
• Оно стало наглядным примером того, как простые уравнения
порождают бесконечно сложное поведение.
• Физики используют этот объект как модель для исследования
переходов к хаосу, изучения бифуркаций, критических явлений и
устойчивости динамических систем.

15. выводы

ВЫВОДЫ
1. Фрактальная геометрия как язык описания сложных
сетевых процессов
2. От параметра к поведению: картография устойчивости
сети
3. Фракталы как инженерный инструмент: от
математики к устройству
4. Хаос как ресурс для защиты информации

16. Использованные источники

ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ИСТОЧНИКИ
• https://physics42.ru/tutorials/fizika-slozhnykh-sistem/fraktalnayarazmernost/ (Дата обращения: 18.03.2026)
• https://physics42.ru/tutorials/fizika-khaosa-i-fraktalov/mnozhestvazhyulia/ (Дата обращения: 18.03.2026)
• https://physics42.ru/tutorials/fizika-khaosa-i-fraktalov/mnozhestvomandelbrota/ (Дата обращения: 18.03.2026)