Тема 9.6 Подобные пирамиды

1. Тема 9.6 Подобные пирамиды

ТЕМА 9.6
ПОДОБНЫЕ
ПИРАМИДЫ

2. Содержание

1. Отношение линейных элементов подобных тел.
Понятие о коэффициенте подобия
2. Отношение площадей оснований подобных тел

3. Определение

Два многогранника называются подобными, если они
имеют соответственно равные многогранные углы и
соответственно подобные грани.

4. Определение

Подобные тела — это фигуры, для которых существует
взаимно-однозначное соответствие, при котором
расстояние между любыми парами их
соответствующих точек изменяется в одно и то же
число раз.

5. Коэффициент подобия

Коэффициентом подобия называют число, равное
отношению сходственных сторон подобных фигур.

6. Основные свойства

1) Если в пирамиде
проведем секущую
плоскость параллельно
основанию, то она отсечет
от нее другую пирамиду,
подобную данной.

7.

Основные свойства
2) Площади поверхностей подобных фигур связаны
пропорционально квадрату коэффициента подобия

8.

Основные свойства
3) Объемы подобных тел связаны пропорционально
кубу коэффициента подобия.

9.

Усечённая пирамида сохраняет центр подобия
исходной пирамиды: если до среза пирамида была
правильной и осесимметричной, то её основания
остаются концентричными и подобными друг другу.
Это позволяет применять соотношения подобия при
выводе формул для площади и объёма.

10.

Объем подобной фигуры можно найти, умножив
объем исходной фигуры на куб коэффициента
подобия.

11. Задача 1. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в три раза?

Ответ:
Объёмы подобных тел
относятся как куб
коэффициента подобия.
Поэтому если все ребра
увеличить в 3 раза, объём
увеличится в 27 раз.

12. Задача 2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 4 раза? 

Задача 2. Во сколько раз увеличится
площадь поверхности октаэдра, если все его
ребра увеличить в 4 раза?
Ответ:
Площади подобных тел
относятся как квадрат
коэффициента подобия.
Поэтому если все ребра
увеличить в 4 раза,
площадь увеличится в 16
раз.

13. Задача 3. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF равен 1. Найдите объем

шестиугольной пирамиды

14. Задача 4. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину

пирамиды и среднюю линию
основания. Найдите объем отсеченной
треугольной пирамиды.
Ответ: Объем пирамиды равен
Площадь основания отсеченной части меньше
в 4 раза (так как высота и сторона
треугольника в основании меньше исходных в
2 раза), поэтому и объем оставшейся части
меньше в 4 раза. Таким образом, он равен 3.

15. Самостоятельная работа

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ
РАБОТА

16. Задача 1. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

17. Задача 2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

18. Задача 3. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E  — середина ребра SB. Найдите объем треугольной

Задача 3. Объем правильной четырехугольной
пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина
ребра SB. Найдите объем треугольной
пирамиды EABC.

19. Задача 4. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

20.

Задача 5. В правильной четырехугольной
пирамиде высота равна 12, а сторона
основания - 8. Плоскость, параллельная
основанию, проходит через середину высоты.
Найдите объем отсеченной пирамиды