Правильные многогранники

1.

Правильные многогранники
и их свойтсва
Выполнили Агафонов Денис, Сиренко Владислав, Ишмаметов Тимур

2.

Введение.
Правильный многогранник — это выпуклый многогранник, у
которого все грани — равные правильные многоугольники, а в
каждой вершине сходится одно и то же число рёбер.

3.

Тетраэдр
Тетраэдр (от «тетра»-четыре и греческого «hedra» - грань) —
многогранник с четырьмя треугольными гранями, в каждой из
вершин которого сходятся по 3 грани. У тетраэдра 4 грани, 4
вершины и 6 рёбер. Два ребра тетраэдра, которые не имеют общих
вершин, называются противоположными.
Теорема. Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в
одной точке. Эта точка делит медианы в отношении 3:1, считая от
вершины. Эта точка делит бимедианы пополам.

4.

Свойства тетраэдра
Правильный тетраэдр можно вписать в куб двумя способами,
притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя
вершинами куба.
Правильный тетраэдр можно вписать в икосаэдр, притом, четыре
вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами
икосаэдра.
Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси
симметрии и 6 плоскостей симметрии.

5.

Гексаэдр
Куб составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является
вершиной трех квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при
каждой вершине равна 270.Куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12
ребер.

6.

Свойства гексаэдра
1. Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками
— эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно
четырём его главным диагоналям.
2. В куб можно вписать октаэдр, притом все шесть вершин
октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
3. В куб можно вписать икосаэдр, при этом шесть взаимно
параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно
на шести гранях куба, остальные 24 ребра — внутри куба. Все
двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба.

7.

Октаэдр
Октаэдр (от греческого okto – восемь и hedra – грань)- правильный
многоугольник составлен из восьми равносторонних
треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной
четырех треугольников.
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов.
Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

8.

Свойства октаэдра
1. Симметрия. Октаэдр имеет три оси четвёртого порядка, четыре
оси третьего порядка и шесть осей второго порядка. Кроме того, у
него есть плоскость симметрии, проходящая через каждую пару
противоположных вершин, каждую пару противоположных рёбер и
каждую пару противоположных граней.
2.Вписанная и описанная сферы. В октаэдр можно вписать сферу,
касающуюся всех его граней в их центрах, а вокруг октаэдра можно
описать сферу, проходящую через все его вершины.

9.

Додекаэдр
Правильный додекаэдр — один из пяти возможных правильных
многогранников. Составлен из двенадцати правильных
пятиугольников — его граней. Каждая вершина додекаэдра —
вершина трёх правильных пятиугольников.

10.

Свойства додекаэдра
1. Все 20 вершин додекаэдра лежат по пять в четырёх параллельных
плоскостях, образуя в каждой из них правильный пятиугольник.
2. Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями
додекаэдра равен arccos(−1/√5) ≈ 116,565°.
3. Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.
4. В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут
диагоналями додекаэдра.
5. Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии, каждая
из осей проходит через середины противолежащих параллельных
рёбер.
6. Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии, любая из плоскостей
проходит в каждой грани через вершину и середину
противоположного ребра.

11.

Икосаэдр
Икосаэдр (от греческого eikosi – двадцать и hedra – грань)правильный многоугольник составленный из
двадцать равносторонних треугольников. Икосаэдр имеет 20
граней, 30 ребер, число вершин – 12.Сумма плоских углов при
каждой вершин равна 300.

12.

Свойства икосаэдра
1.Симметрия — фигура выглядит одинаково при повороте вокруг
нескольких осей.
2.Углы при вершине — в каждой вершине сходятся 5 треугольников под
определённым углом. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°
(60° × 5).
3.Вписанная и описанная сферы — можно вписать шар внутрь икосаэдра и
описать шар вокруг него так, чтобы все вершины касались поверхности.
4.Связь с другими правильными многогранниками — икосаэдр можно
вписать в куб, при этом шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра
будут расположены на шести гранях куба, или в додекаэдр так, что вершины
икосаэдра совпадут с центрами граней додекаэдра.
5.Усечённый икосаэдр — многогранник, состоящий из 12 правильных
пятиугольников и 20 правильных шестиугольников. Образуется путём
срезания вершин правильного икосаэдра.

13.

14.

Задачи