презентация Аксиомы

1.

2.

- Что такое геометрия?
Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур
«Геометрия» - (греч.) – «землемерие»
- Что такое планиметрия?
Планиметрия – раздел геометрии, в котором
изучаются свойства фигур на плоскости.
- Основные понятия планиметрии?
Основные понятия планиметрии:
А
точка
а
прямая

3.

- раздел геометрии,
в котором
изучаются свойства
фигур в
пространстве

4.

Основные фигуры в пространстве:
точка
прямая
плоскость
а
α
Обозначение: a, b,
с, d…, m, n,…(одной
прописной буквой или
двумя заглавными
латинского алфавита)
Обозначение: А;
В; С; …; М;…
(одной заглавной буквой
Обозначение: α, β, γ…
(прописные буквы греческого
алфавита)
латинского алфавита)
М
Ответьте на вопросы по рисунку:
β
А
В
1. Назовите точки, лежащие в плоскости β;
не лежащие в плоскости β.
А , В , М , Р ,
2. Назовите прямые, лежащие в плоскости
β; не лежащие в плоскости β
N
Р
АВ , М В , АМ

5.

Некоторые геометрические тела.
В1
А1
В1
С1
А1
Д1
В
Д1
С
С
В
Д
А
С1
А
куб
Д
параллелепипед
Д
В
А
цилиндр
С
тетраэдр
конус

6.

Назовите какие геометрические тела вам напоминают предметы,
изображенные на этих рисунках:
Назовите предметы из окружающей вас обстановки ( нашей классной
комнаты) напоминающие вам геометрические тела.

7.

Задание 1.
В1
А1
С1
Практическая работа.
1. Изобразите в тетради куб (видимые
линии – сплошной линией, невидимые –
пунктиром).
2. Обозначьте вершины куба заглавными
буквами АВСДА1В1С1Д1
Д1
3. Выделите цветным карандашом:
-вершины А, С, В1, Д1
В
А
С
Д
-отрезки АВ, СД, В1С, Д1С
-диагонали квадрата АА1В1В

8.

Вспомним:
- Что такое аксиома?
Аксиома – это утверждение о свойствах геометрических фигур,
принимается в качестве исходных положений, на основе которых
доказываются далее теоремы и вообще строится вся геометрия.
Аксиомы планиметрии:
Какова бы ни была прямая, существуют
точки, принадлежащие этой прямой,
и точки, не принадлежащие ей.
через любые две точки можно провести
прямую и притом только одну.
М
К
с
К с,
М с
А
В
b
Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между
двумя другими. Каждый отрезок имеет
определённую длину, большую нуля. Длина
отрезка равна сумме длин частей, на
С АВ, АВ = АС+ ВС
которые он разбивается любой его точкой

9.

Аксиомы планиметрии:
Прямая принадлежащая плоскости, разбивает
эту плоскость на две
полуплоскости.
Каждый угол имеет определённую градусную
меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен
180º. Градусная мера угла равна сумме
градусных мер углов, на которые он
разбивается любым лучом, проходящим между
его сторонами.
На любой полупрямой от её начальной точки
можно отложить отрезок заданной длины, и
только один.
От полупрямой на содержащей её плоскости
в заданную полуплоскость можно отложить
угол с заданной градусной мерой, меньшей
180º, и только один.
0 (аb) 180
(аb) = (ас) + (сb)
О
В
М

10.

Аксиомы планиметрии:
Каков бы ни был треугольник, существует
равный ему треугольник в данной плоскости
в заданном расположении относительно
данной полупрямой в этой плоскости.
АВС = А1В1С1
На плоскости через данную точку, не
лежащую на данной прямой, можно провести
не более одной прямой, параллельной данной.
Если М а, то !b: b а и М b
b
М
а

11.

В
А
α
С
С1. Через любые три точки, не лежащие на
одной прямой, проходит плоскость и
притом только одна.
Замечание: Т.к. три точки определяют плоскость
единственным образом, плоскость можно обозначать тремя
буквами - названиями трех точек, лежащими в данной
плоскости, взяв их в круглые скобки.
Например, плоскость можно также обозначить как (АВС).

12.

Пример:
Если ножки стола не одинаковы по длине, то стол
стоит на трех ножках, т.е. опирается на три «точки»,
а конец четвертой ножки (четвертая точка) не лежит
в плоскости пола, а висит в воздухе.

13.

В
А
α
С2. Если две точки прямой лежат в
плоскости, то и все остальные точки этой
прямой лежат в этой плоскости.
Говорят: прямая лежит в плоскости или плоскость
проходит через прямую.

14.

Сколько общих точек имеют
прямая и плоскость?
Прямая лежит в плоскости
а
М
Прямая пересекает плоскость

15.

β
А
α
а
С3. Если две плоскости имеют общую точку, то
они имеют общую прямую, на которой лежат все
общие точки этих плоскостей. Говорят: плоскости
пересекаются по прямой, содержащей общую точку.

16.

Примером пересекающихся плоскостей служат
плоскости двух смежных стен, плоскости стены и
пола комнаты, плоскости стены и потолка.

17.

Наглядной иллюстрацией третьей
аксиомы является пересечение двух
листов книги.
Могут ли две пересекающиеся
плоскости иметь общую точку, не
принадлежащую линии пересечения
этих плоскостей?
Прямые а и b пересекаются в точке С.
Через прямую а проходит плоскость α, а через
прямую b – плоскость β, отличная от α. Как
проходит линия пересечения этих плоскостей?

18.

Решить задачи: №1(а,б); 2(а)
Назовите по рисунку:
№1(а,б)
№ 2(а)
Д
В1
С1
Q
P
А1
Д1
К
К
М
Р
А
М
В
С
С
Е
В
а) плоскости, в которых лежат
прямые ДВ, АВ, МК, РЕ, ЕС; б) точки
пересечения прямой ДК с плоскостью
АВС, прямой СЕ с плоскостью АДВ.
А
Д
а) точки, лежащие в плоскостях
ДСС1 и ВQС
R

19.

Задание 2.
С
Ответьте на вопросы:
1) Какие точки
принадлежат плоскости ?
2) Какие точки не
принадлежат плоскости ?
А
B
D
F

20.

Проверьте себя:
1) Как называется раздел геометрии, который мы изучаем ?
2) Что такое стереометрия?
3) Сформулируйте с помощью рисунка аксиомы стереометрии,
которые вы изучили.
β
В
А
В
α
А
α
А
α

21.

Следствия из аксиом стереометрии:
Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку
проходит плоскость и притом только одна.
Дано: а;
О
Р
а
М
М а
Доказать: а и М
Доказательство :
1. Согласно аксиоме планиметрии 1: Какова бы ни была прямая ,
существуют точки, принадлежащие ей: Р а и О а .
Т.к. по условию М а , т.е. М ОР (точки М, Р, О, не лежат на одной прямой),
по аксиоме С1: через точки Р, О, М проходит плоскость: Р , О и
М .
По аксиоме С2: т.к. две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся
прямая принадлежит этой плоскости, т.е. а и М
2. Любая плоскость проходящая через прямую а и точку М проходит
через точки Р, О, и М, значит по аксиоме А1 она – единственная. Ч.т. д.

22.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые
проходит плоскость, и притом только одна.
Дано: а ∩ b = М
Н
а
М
b
α
Доказать: 1) а и b
2) α- единственная
Доказательство:
1. Выберем на прямой b точку Н, отличную от точки М.
Т.к. Н а, то по Теореме1 через прямую а и точку Н проходит плоскость α
( : а и Н )
Т.к. М b и Н b , то по аксиоме С2 вся прямая b лежит в плоскости
(b ).
2. Плоскость проходит через а и b и она единственная, т.к. любая
плоскость, проходящая через прямые а и b, проходит и через а и Н, значит
по теореме 1 α – единственная. ч.т.д.

23.

!