примеры решения задач

1. Дерево вероятности. Решение задач.

2.

№1. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что
готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка
проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует
неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке
забракует исправную батарейку, равна 0,05.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет
забракована.
Решение. Построим дерево вероятностей (см. рис.).
Все
батарейки,
1
Исправная, 0,98
Забракует, 0,05
Не забракует,
0,95
Неисправна, 0,02
Забракует, 0,97
Не забракует,
0,03
По формуле умножения вероятностей: 0,98 ∙ 0,05 и 0,02 ∙ 0,97.
Т.к. события несовместны 0,98 ∙ 0,05 + 0,02 ∙ 0,97 = 0,0684

3.

№2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая
фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55% Первая фабрика выпускает
1% бракованных стекол, а вторая – 3%.
Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется
бракованным.
Решение. Построим дерево вероятностей (см. рис.).
Купленное стекло, 1
1 фабрика, 0,45
брак, 0,01
хорошее, 0,99
2 фабрика, 0,55
брак, 0,03
хорошее, 0,97
По формуле умножения вероятностей: 0,45 ∙ 0,01 и 0,55 ∙ 0,03.
Т.к. события несовместны 0,45 ∙ 0,01 + 0,55 ∙ 0,03 = 0,021

4.

№3. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если
анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У
больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с
вероятностью 0,8. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать
ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 35%
пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны
гепатитом.
Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в
клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
Решение. Построим дерево вероятностей (см. рис.).
Пациент, 1
болен, 0,35
+, 0,8
не болен, 0,65
-, 0,2
+, 0,01
-, 0,99
По формуле умножения вероятностей: 0,35 ∙ 0,8 и 0,65 ∙ 0,01.
Т.к. события несовместны 0,35 ∙ 0,8 + 0,65 ∙ 0,01 = 0,2865

5.

4. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из
пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного
револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10
револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху,
наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите
вероятность того, что Джон промахнётся.
Решение. Построим дерево вероятностей (см. рис.).
Револьвер,
10 шт/1
пристрелянные,
3шт/0,3
попадает, 0,9
промахивается,
0,1
непристрелянные,
7шт/0,7
попадает, 0,2
промахивается,
0,8
По формуле умножения вероятностей: 0,3 ∙ 0,1 и 0,7 ∙ 0,8.
Т.к. события несовместны 0,3 ∙ 0,1 + 0,7 ∙ 0,8 = 0,59