5

1. Начальный курс математики: арифметические действия, сложение и вычитание

Ведущий вебинара: Лободина Наталья Викторовна,
учитель начальных классов МОУ СШ № 103 г. Волгограда;
Почетный работник общего образования Российской Федерации
1

2.

Теоретикомножественный смысл
сложения и вычитания
2

3.

Вопрос об арифметических действиях является центральным в начальном
курсе математики. От правильного его решения зависит успех формирования
понятий о самих действиях, их свойствах, а также умений и навыков
вычислений.
При традиционном подходе к обучению младших школьников конкретный
смысл каждого действия раскрывается в процессе выполнения операций над
конечными множествами (объединение множеств без общих элементов,
удаление части множества, объединение множеств одинаковой численности,
разложение данного множества на ряд равночисленных множеств), что
позволяет опереться на жизненный опыт детей и использовать наглядность
при изучении всех вопросов, связанных с действиями.
В курсе математики начальной школы находит отражение теоретикомножественный подход к истолкованию сложения и вычитания целых
неотрицательных чисел, в соответствии с которым сложение связано с
операцией объединения, вычитание – с операцией дополнения.
3

4.

Сложение с точки зрения определения суммы в количественной теории
числа, называется число элементов в объединении не пересекающихся
множеств А и B таких, что a=n (A); b=n (B).
В программе математики М.И. Моро в качестве основного средства
формирования представлений о смысле действий сложения и вычитания
выступают простые текстовые задачи. В программе Н.Б. Истоминой в основе
лежит выполнение учащимися предметных действий, и их интерпретация в
виде графических и символических моделей.
Для разъяснения действия сложения и вычитания используются:
1. текстовые задачи;
2. предметные модели;
3. графические модели;
4. символические модели;
5. вербальные модели.
4

5.

Можно условно выделить три вида ситуаций, связанных с действием
сложения:
1. составление одного предметного множества из двух данных;
2. увеличение данного предметного множества на несколько предметов;
3. увеличение на несколько предметов множество равносильно данному.
Составление одного предметного множества из двух данных.
Например, детям предлагается картинка на которой Миша и Маша
запускают рыбок в аквариум. Задание: «Расскажите, что делают Миша и
Маша?»
Ответы детей: Запускают рыбок в один аквариум; вместе запускают
рыбок; Миша запускает 2, а Маша - 3 и др.
Анализируя числовые выражения под картинкой, дети находят
подходящее: 2+3 и 3+2.
Выясняется, чем похожи и как по-разному можно прочитать, эти
выражения. Дети говорят, что похожи числами и знаком. Можно прочесть: 2
плюс 3, и к 2-ум прибавить 3.
5

6.

В результате, дети записывают равенство, знакомятся с компонентами
сложения. После числовые равенства интерпретируются на числовом луче.
Увеличение данного предметного множества
на несколько на несколько предметов.
Указанием к выполнению предметных действий может стать задание:
«Покажи…».
Например, учитель предлагает задание: «У Коли было 4 марки. Ему
подарили ещё 2. Покажи сколько марок стало у Коли?»
Дети выкладывают 4 марки (круг, квадрат, треугольник) и показывают
движением руки, сколько марок было. Затем, добавляют 2 марки и движение
руки показывают сколько стало. Далее выясняется, как можно записать
выполненное предметное действие используя для этой цели цифры и знак
«=» и «+»: 4+2=6. Целесообразно на этом этапе употреблять термины
«выражение» и «равенство».
6

7.

Увеличение на несколько предметов множества
равносильного данному.
Например, учитель даёт задание: На одной тарелке 5 яблок, а на другой на
3 яблока больше. Покажи сколько яблок на второй тарелке?
В процессе выполнения таких предметных действий, у школьников
формируются понятия «больше на…» («увеличить на…»), представления о
котором связаны с построением совокупности равночисленной данной
(«взять столько же»), и её увеличением на несколько предметов («и ещё»).
С теоретико-множественных позиций разность натуральных чисел a и b
представляет собой число элементов в дополнении множества B множества
А, если а=n(A), b=n(B) и В подмножество А.
7

8.

При формировании у детей представлений о вычитании можно условно
ориентироваться на следующие предметные ситуации:
1.Уменьшение данного предметного множества на несколько предметов
(предметы, которые удаляются, зачеркиваются).
Например, предлагается задание: «У Маши было шесть шаров. Два она
подарила Тане. Покажи шары, которые у неё остались?» Дети рисуют 6
шаров, 2 зачёркивают и показывают движением руки количество оставшихся
шаров. Дети получают выражение 6-2 или равенство 6-2=4.
2. Уменьшение множества, равносильного данному, на несколько
предметов.
В процессе выполнения таких ситуаций у детей формируется
представления о понятии «меньше на…» («уменьшить на…»), которые
связаны с построением совокупности, равносильной данной, и её
уменьшением на несколько предметов.
8

9.

Усвоение понятий «больше на…», «меньше на…» даётся детям легче,
если организовать их деятельность, используя предметные и символические
модели.
3. Сравнение двух предметных множеств, т. е. ответ на вопрос: «На
сколько предметов в одном множестве больше (меньше), чем в другом?».
В процессе выполнения данных действий у учеников формируется
представление о вычитании, как о действии, которое связано с уменьшением
количества предметов. В результате у первоклассника формируется
представление о разности, которое можно обобщить в правило: «Что бы
узнать на сколько одно число больше(меньше) другого, нужно из большего
числа вычесть меньшее». Например: На сколько больше сердец, чем
облаков?
Формирование вычислительных умений и навыков – одна из основных
задач начального курса математики.
9

10.

Вычислительное умение – это развёрнутое осуществление действия, в
котором каждая операция осознаётся и контролируется. В отличие от умения
навыки
характеризуются
свёрнутым,
в
значительной
мере
автоматизированным выполнением действия, с пропуском промежуточных
операций, когда контроль переносится на конечный результат.
В начальном курсе математики учащиеся должны усвоить на уровне
навыка:
1.таблицу сложения (вычитания) в пределах 10;
2.таблицу сложения однозначных чисел с переходом через разряд и
соответствующие случаи вычитания;
3.таблицу умножения и соответствующие случаи деления.
Методика ознакомления учащихся со сложением и вычитанием в пределах
10.
10

11.

Подход к формированию навыков сложения и вычитания в пределах 10
предполагает осознанное составление таблиц и их непроизвольное или
произвольное запоминания в процессе специально организованной
деятельности. Осознанное составление таблиц может обеспечиваться
теоретической линией курса, предметными действиями, методическими
приёмами и наглядными средствами. Для произвольного и непроизвольного
запоминания таблиц используется специальная система упражнений.
Таблицы сложения и вычитания в пределах 10 можно условно разделить
на четыре группы, каждая из которых связана с теоретическим обоснованием
и соответствующим способом действия:
1) принцип построения натурального ряда чисел – присчитывание и
отсчитывание по 1;
2) смысл сложения и вычитания – присчитывание и отсчитывание по
частям;
3) переместительное свойство сложения – перестановка слагаемых.
11

12.

Взаимосвязь сложения и вычитания – правило: если из значения суммы
вычесть одно слагаемое, то получим другое слагаемое.
В формировании вычислительных навыков в школьной практике
используются различные подходы:
a) выучивание таблиц;
b)
знакомство
с
различными
вычислительными
приёмами,
самостоятельное составление таблиц, непроизвольное запоминание в
процессе выполнения упражнений;
c) после использования предметных действий и вычислительных приёмов,
ученику даётся установка на запоминание.
В учебнике Н.Б. Истоминой при изучении табличных случаев сложения
(вычитания) ориентир направлен на усвоение состава числа.
12

13.

Это связанно с тем, что изучение таблицы с последовательным
составлением каждой группы сложения (вычитания) в соответствии с
выделенными этапами, на практике не всегда оказывается эффективным для
формирования автоматизированных навыков сложения и вычитания в
пределах 10.
Дело в том, что, формируя навыки табличного значения «
+ 2», учитель
сначала фиксирует внимание детей на вычислительном приёме,
включающем операции, которые у большинства сформированы на уровне
вычислительного навыка (6+1+1; 7+1+1). Параллельно ведётся аналогичная
работа со случаем «
- 2». Затем составляются две таблицы: 1+2, 2+2, 3+2 и
т.д. и 3-2, 4-2, 5-2 и т.д.
Учитель даёт задание выучить таблицу, т.е. запомнить 16 случаев.
13

14.

Формирование понятий
и представлений об
арифметических
действиях
14

15.

Важным этапом в формировании понятия натурального числа у учащихся
является
рассмотрение
арифметических
действий.
В
изучении
арифметических действий следует выделить несколько взаимосвязанных
вопросов:
формирование
конкретного
смысла
арифметических
действий,
составление таблиц сложения;
изучение свойств арифметических действий;
изучение приемов устных вычислений;
формирование навыков устных вычислений;
изучение приемов письменных вычислений, формирование навыка
письменных вычислений.
В качестве теоретической основы разъяснения смысла арифметических
действий выступает теоретико-множественная трактовка суммы, разности,
произведения, частного. Разъяснить конкретный смысл – значит, раскрыть
связь действий над числами с операциями над множествами.
15

16.

Усвоение смысла действий предполагает сформированность умения
осуществлять переход от непосредственного предметного действия или его
изображения к числовому выражению или равенству и наоборот. Таким
образом осознается предметный смысл числовых выражений и равенств.
Следовательно,
деятельность
учащихся
при
изучении
смысла
арифметических действий включает:
выполнение предметных действий (объединения множеств, удаление
части множества, объединение нескольких равномощных множеств,
деление по содержанию и на равные части);
перевод предметного действия на математический язык;
установление соответствия между предметными действиями и
математическими записями.
16

17.

Программой по математике в начальной школе предусмотрено изучение
свойств
арифметических
действий.
Изучение
данного
вопроса
осуществляется на практическом уровне, по возможности без введения
соответствующих развернутых формулировок. Последовательность их
изучения определяется логикой введения вычислительных приемов, которые
опираются на эти свойства. В основе методики лежит идея преобразования
эмпирического материала и перевод ситуации на математический язык.
Изучение свойств арифметических действий предполагает выполнение
ряда учебных действий:
чтение символической записи;
предметная конкретизация символической записи через обращение к
жизненному опыту ребенка, к жизненной ситуации;
отыскание способа преобразования этой ситуации на язык математических
символов;
отыскание другого способа преобразования ситуации с последующим
переводом в знаково-символическую форму;
17

18.

Арифметические действия над целыми неотрицательными числами
рассматриваются в курсе по аналогии с операциями над конечными
множествами. Действия сложения и вычитания изучаются совместно.
Осваивая данный курс математики, младшие школьники учатся
моделировать ситуации, иллюстрирующие арифметическое действие и ход
его выполнения.
Для этого в курсе предусмотрены вычисления на числовом отрезке, что
способствует усвоению состава числа, выработке навыков счёта группами,
формированию навыка производить вычисления осознанно.
Работа с числовым отрезком (или числовым лучом) позволяет ребёнку на
начальном этапе обучения решать достаточно сложные примеры, глубоко
понимать взаимосвязь действий сложения и вычитания. А также готовит
учащихся к открытию соответствующих способов вычислений, в том числе и
с переходом через десяток, решению задач на разностное сравнение и на
увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц.
18

19.

Вычисления на числовом отрезке (числовом луче) не только способствуют
развитию пространственных и логических умений, но и обеспечивают
закрепление в сознании ребёнка конкретного образа алгоритма действий,
правила.
В
первом
классе
начинается
формирование
первоначальных
представлений о натуральном числе: учащиеся знакомятся с названиями
чисел первых двух десятков, учатся называть их в прямом и в обратном
порядке; затем, используя изученную последовательность слов (один, два,
три… двадцать), учатся пересчитывать предметы, выражать результат
пересчитывания числом и записывать его цифрами.
Параллельно с формированием умения пересчитывать предметы
начинается подготовка к решению арифметических задач, основанная на
выполнении практических действий с множествами предметов.
19

20.

При этом арифметическая задача предстает перед учащимися как
описание некоторой реальной жизненной ситуации; решение сводится к
простому пересчитыванию предметов. Упражнения подобраны и
сформулированы таким образом, чтобы у учащихся накопился опыт
практического выполнения не только сложения и вычитания, но и
умножения и деления, что в дальнейшем существенно облегчит усвоение
смысла этих действий. Далее внимание учащихся привлекается к числам,
данным в задаче.
Решение описывается словами: «пять и три – это восемь», «пять без двух
– это три», «три по два – это шесть», «восемь на два – это четыре».
Ответ задачи пока также находится пересчитыванием. После введения
знаков арифметических действий и знака равенства учащиеся переходят к
обычным записям решения задач.
20

21.

В качестве теоретической основы разъяснения смысла арифметических
действий выступает теоретико-множественная трактовка суммы, разности,
произведения, частного. Разъяснить конкретный смысл – значит, раскрыть
связь действий над числами с операциями над множествами. Усвоение
смысла действий предполагает сформированность умения осуществлять
переход от непосредственного предметного действия или его изображения к
числовому выражению или равенству и наоборот. Таким образом осознается
предметный смысл числовых выражений и равенств. Следовательно,
деятельность учащихся при изучении смысла арифметических действий
включает:
выполнение предметных действий (объединения множеств, удаление
части множества, объединение нескольких равномощных множеств,
деление по содержанию и на равные части);
перевод предметного действия на математический язык;
установление соответствия между предметными действия-ми и
математическими записями.
21

22.

Программой по математике в начальной школе предусмотрено изучение
свойств
арифметических
действий.
Изучение
данного
вопроса
осуществляется на практическом уровне, по возможности без введения
соответствующих развернутых формулировок. Последовательность их
изучения определяется логикой введения вычислительных приемов, которые
опираются на эти свойства. В основе методики лежит идея преобразования
эмпирического материала и перевод ситуации на математический язык.
Изучение
свойств
арифметических
действий
предполагает
выполнение ряда учебных действий:
чтение символической записи;
предметная конкретизация символической записи через об-ращение к
жизненному опыту ребенка, к жизненной ситуации;
отыскание способа преобразования этой ситуации на язык математических
символов;
отыскание другого способа преобразования ситуации с последующим
переводом в знаково-символическую форму.
22

23.

Свойства сложения и
вычитания
23

24.

Свойства (или законы) арифметических действий на числовых примерах
мы рассматривали в теме «Законы арифметики» для начальной школы.
Рассмотрим эти свойства в виде буквенных выражений.
Свойства сложения
Переместительное свойство сложения.
От перестановки слагаемых сумма не меняется.
В буквенном виде свойство записывается так: a + b = b + a
В этом равенстве буквы a и b могут принимать любые натуральные
значения и значение 0.
Сочетательное свойство сложения
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число можно к первому числу
прибавить сумму второго и третьего числа.
В буквенном виде: (a + b) + c = a + (b + c)
Так как результат сложения трёх чисел не зависит от того как поставлены
скобки, то скобки можно не ставить и писать просто a + b + с.
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
24

25.

Переместительное и сочетательное свойство сложения позволяют
сформулировать правило преображения сумм.
При сложении нескольких чисел их можно как угодно объединять в
группы и переставлять.
Свойство нуля при сложении
Сумма двух натуральных чисел всегда больше каждого из слагаемых. Но
это не так, если хотя бы одно из слагаемых равно нулю.
Если к числу прибавить нуль, получится само число.
a+0=0+a=a
Свойства вычитания
Свойство вычитания суммы из числа
Чтобы вычесть сумму из числа, можно из него вычесть одно слагаемое и
затем из результата вычесть другое слагаемое.
a - (b + c) = (a - b) - c или a - (b + c) = (a - с) - b
Скобки в выражении (a - b) - c не имеют значения и их можно опустить.
(a - b) - c = a - b - c
25

26.

Свойство вычитания числа из суммы
Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого,
а к результату прибавить оставшееся слагаемое.
(a + b) - c = (a - c) + b (если a > c или а = с)
или (a + b) - c = (b - c) + a (если b > c или b = с)
Свойство нуля при вычитании
Если из числа вычесть нуль, получится само число.
a-0=a
Если из числа вычесть само число, то получится нуль.
a-a=0
26

27.

Название компонентов
сложения и вычитания,
взаимосвязи
компонентов и
результата сложения и
вычитания
27

28.

Выражение вида 3+5 называют суммой.
Числа 3 и 5 в этой записи называют слагаемыми.
Запись вида 3+5=8 называют равенством. Число 8 называют значением
выражения. Поскольку число 8 в данном случае получено в результате
суммирования, его также часто называют суммой.
Например: найдите сумму чисел 4 и 6 (Ответ: сумма чисел 4 и 6 – это 10).
Выражения вида 8-3 называют разность.
Число 8 называют уменьшаемым, а число 3 – вычитаемым.
Значение выражения – число 5 также могут называть разностью.
Например: найдите разность чисел 6 и 4.(Ответ: разность чисел 6 и 4 – это
2.)
Поскольку названия компонентов действий сложения и вычитания
вводятся по соглашению (детям сообщает эти названия учитель и их
необходимо запомнить), педагог активно использует задания, требующие
распознания компонентов действий и употребления их названий в речи.
28

29.

Например:
1. Среди данных выражений найдите такие, в которых первое слагаемое
(уменьшаемое, вычитаемое) равно 3:
3+2; 7-3; 6+3; 8+1; 3+5; 3-2; 7-3; 3+4; 3-1.
2. Составьте выражение, в котором второе слагаемое (уменьшаемое,
вычитаемое) равно 5. Найдите его значение.
3. Выберите примеры, в которых сумма равна 6. Подчеркните их красным
цветом. Выберите примеры, в которых разность равна 2. Подчеркните их
синим цветом.
4. Как называют число 4 в выражении 5-4? Как называют число 5?
Найдите разность. Составьте другой пример, в котором разность равна тому
же числу.
5. Уменьшаемое 18, вычитаемое 9. Найдите разность.
6. Найдите разность чисел 11 и 7. Назовите уменьшаемое, вычитаемое.
29

30.

Во 2 классе дети знакомятся с правилами проверки результатов действий
сложения и вычитания:
Сложение можно проверить вычитанием:
57+8 = 65.
Проверка: 65 – 8 =57
Из суммы вычли одно слагаемое, получили другое слагаемое. Значит,
сложение выполнено верно.
Данное правило применимо к проверке действия сложения в любом
концентре (при проверке вычислений с любыми числами).
Вычитание можно проверить сложением:
63-9=54.
Проверка: 54+9=63
К разности прибавили вычитаемое, получили уменьшаемое. Значит,
вычитание выполнено верно.
Данное правило также применимо к проверке действия вычитания с
любыми числами.
30

31.

В 3 классе дети знакомятся с правилами взаимосвязи компонентов
сложения и вычитания, которые являются обобщением представлений
ребенка о способах проверки сложения и вычитания:
Если из суммы вычесть одно слагаемое, то получится другое
слагаемое.
Если сложить разность и вычитаемое, то получится уменьшаемое.
Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое.
Данные правила являются основой для подготовки к решению уравнений,
которые в начальной школе решаются с опорой на правило нахождения
соответствующего неизвестного компонента равенства.
Например:
Решите уравнение 24-х-19.
В уравнении неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное
вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность:
х = 24 – 19,
х=5.
31

32.

Ознакомление со
смыслом действий
сложения и вычитания,
взаимосвязью
компонентов и
результатов действий
сложения и вычитания
32

33.

В основе разъяснения смысла действия сложения лежит определение
суммы в количественной теории числа. А именно: суммой целых
неотрицательных чисел а и b называется число элементов в объединении
непересекающихся множеств А и B – таких, что a=n(A), b= п(В).
Возможность перевода этого определения на язык предметных действий
позволяет организовать восприятие школьниками предметного смысла
сложения, опираясь при этом на жизненный опыт детей, на их
самостоятельную деятельность и учитывая психологические особенности
данного возраста.
Наблюдая или выполняя предметные действия, суть которых сводится к
объединению двух совокупностей предметов, ребята интерпретируют эти
действия на числовом луче (графическая модель) и переводят их на язык
математики, записывая числовые выражения или равенства (символическая
модель).
33

34.

Таким образом, для разъяснения действия сложения используются
предметные, вербальные, графические и символические модели, между
которыми устанавливается соответствие.
Например, детям предлагается картинка, на которой Миша и Маша
запускают рыбок в один аквариум, и дается задание: «Расскажи, что делают
Миша и Маша».
34

35.

Организуя деятельность учащихся с этой картинкой, педагог
ориентируется на такую последовательность в работе:
• Дети разглядывают картинку, которая служит предметной моделью.
Выполняют задание, выражая свои наблюдения в словах (вербальная модель,
соответствующая картинке).
Ответы учеников обычно выглядят так: «Запускают рыбок в один
аквариум; запускают рыбок вместе в аквариум, объединяют рыбок; Миша
запускает в аквариум 2 рыбок, Маша – 3». Ответы могут быть разными,
важно, чтобы класс обратил внимание на то, сколько рыбок запускает в
аквариум Миша, а сколько Маша, и что рыбки Миши и Маши объединяются
вместе в одном аквариуме.
• Затем учитель обращает внимание первоклассников на записи под
картинками (это числовые выражения) и предлагает им найти ту запись,
которая, по их мнению, подойдет к картинке. Анализируя выражения и
ориентируясь на числа, имеющиеся в них, дети находят подходящие (2+3 и
3+2).
35

36.

Выясняется, чем похожи эти выражения (в каждом два числа и знак «+») и
как можно прочитать их по-разному (2 плюс 3, к двум прибавить три,
сложить числа 2 и 3). Дети упражняются в чтении выражений.
Помимо выражений к рассматриваемой картинке можно поставить в
соответствие определенное число. (Об этом ученики также могут догадаться,
пересчитав предметы на ней.)
В результате проведенной работы дети записывают равенства, а также
знакомятся с названиями результата сложения и его компонентов.
После этого числовые равенства интерпретируются на числовом луче.
36

37.

Можно условно выделить три вида ситуаций, связанных с операцией
объединения:
а) составление одного предметного множества из двух данных: такая
ситуация рассмотрена выше;
б) увеличение данного предметного множества на несколько предметов;
в) увеличение на несколько предметов множества, равночисленного
данному.
Ситуации вида а (составление одного предметного множества из двух
данных: такая ситуация рассмотрена выше). Указанием к выполнению
предметных действий в этом случае может стать задание: «Покажи ...».
Например, учитель предлагает задание: «У Коли было 4 марки. Ему
подарили еще 2. Покажи, сколько марок стало у Коли».
37

38.

Дети выкладывают 4 марки (круга, квадрата, треугольника) и движением
руки показывают, сколько марок было у Коли. Затем добавляют 2 марки. И
движением руки показывают, сколько марок стало у Коли. Далее выясняется,
как можно записать выполненное предметное действие математическими
знаками, используя для этой цели цифры, знаки «плюс» и «равно» (4+2=6).
Целесообразно уже на этом этапе употреблять термины «выражение» и
«равенство».
Ситуации вида б (увеличение данного предметного множества на
несколько предметов) фактически можно свести к ситуациям вида а),
рассматривая марки, которые были у Коли, как одно предметное множество,
а марки, которые ему подарили, как другое предметное множество.
Для разъяснения смысла сложения можно также опираться на
представления детей о соотношении целого и его частей. В данной ситуации
все марки Коли (целое) будут состоять из двух частей: марки, которые у него
«были», и марки, которые ему «подарили».
38

39.

Обозначая части их числовыми значениями, дети получают выражение
(4+2), или целое, значение которого равно 6 (4+2=6).
Ситуация вида в) увеличение на несколько предметов множества,
равночисленного данному:
В этом случае деятельность учащихся можно так же, как при увеличении
данного множества предметов, организовать с помощью задания «Покажи...»
Например: «На одной тарелке 5 яблок, а на другой на 3 яблока больше.
Покажи, сколько яблок на второй тарелке».
В процессе выполнения предметных действий, соответствующих
ситуациям вида в (увеличение на несколько предметов множества,
равночисленного данному), у школьников формируется понятие «больше
на...» («увеличить на...»), представления о котором связаны с построением
совокупности, равночисленной данной («взять столько же»), и ее
увеличением на несколько предметов («и еще»), то есть объединяются
совокупности «столько же» и «еще».
39

40.

При формировании у первоклассников представлений о вычитании
можно условно ориентироваться на следующие предметные ситуации:
Ситуация а) уменьшение данного предметного множества на несколько
предметов (предметы, которые удаляются, зачеркиваются).
Рассмотрим конкретный пример: «У Маши было шесть шаров. Два она
подарила Тане. Покажи шары, которые у нее остались». Дети рисуют 6
шаров, зачеркивают 2 из них и показывают движением руки те шары,
которые остались у Маши.
Для разъяснения смысла вычитания, так же как и сложения, можно
использовать представления детей о соотношении целого и части. В этом
случае шары, которые были у Маши («целое»), состоят из двух частей:
«шары, которые она подарила» и «шары, которые у нее остались».Часть
всегда меньше целого, поэтому нахождение части связано с вычитанием.
Обозначая целое и части их числовыми значениями, дети получают
выражение (6-2) или равенство (6-2=4).
40

41.

Ситуация б) уменьшение множества, равночисленного данному, на
несколько предметов.
В процессе выполнения предметных действий, соответствующих
ситуациям б), у детей формируются представления о понятии «меньше на...»
(«уменьшить на...»), которые связаны с построением совокупности,
равночисленной данной («взять столько же»), и ее уменьшением на
несколько предметов («без»). В этом случае совокупность, обозначаемая
термином «без», включается в совокупность, обозначаемую термином
«столько же». Совокупность, полученная в результате вычитания, является
дополнением совокупности, обозначаемой термином «без», до совокупности
предметов, обозначаемой термином «столько же».
Усвоение понятий «больше на...», «меньше на...» дается детям легче, если
организовать их деятельность, используя предметные и символические
модели. Приведем примеры возможных заданий.
41

42.

1. Сравни картинки. Что изменилось слева направо? Что изменилось
справа налево?
Что изменилось? Запиши ответ равенством.
2. Что изменяется? Разгадай правило.
Выбери ряд числовых выражений, который соответствует данному
рисунку: 8, 8-2, 6-2, 4-2.
9, 9-1, 8-1, 7-1 9, 9-2, 7-2, 5-2
42

43.

Ситуация в) сравнение двух предметных множеств, т. е. ответ на вопрос:
«На сколько предметов в одном множестве больше (меньше), чем в другом?»
В процессе выполнения предметных действий у младших школьников
формируется представление о вычитании как о действии, которое связано с
уменьшением количества предметов.
При рассмотрении ситуации в) в практике обучения обычно учащимся
предлагается иллюстрация, по которой проводится следующая беседа:
Учитель задает вопрос:
Учитель задает вопрос:
- В каком ряду кругов больше? (Вопрос почти никогда не вызывает
затруднений.)
- На сколько в верхнем ряду предметов больше, чем в нижнем? (Вопрос
также не вызывает затруднений, потому что дети ориентируются на
количество предметов, оставшихся без пары.)
43

44.

Однако свой ответ первоклассники никак не связывают с выполнением
вычитания, так как никаких действий с предметами они не выполняют. Для
того чтобы ребята могли осознать связь вопроса: «На сколько больше
(меньше)?» с вычитанием, нужно направить их деятельность на решение
этой задачи. Опишем возможный вариант.
К доске вызываются два ученика. Каждому из них дается фланелеграф с
кругами. У одного из мальчиков (Вити) 7 кругов, у другого (Коли) – 5 кругов.
Ученики встают так, чтобы не видеть кругов на фланелеграфе друг у друга.
Класс также не видит этих кругов. Учитель обращается к классу:
- Никто не знает, сколько кругов у каждого ученика на фланелеграфе, и не
может пока ответить на вопрос, у кого их больше или меньше. Поступим так:
мальчики, стоящие у доски, будут одновременно снимать по одному кругу.
Может быть, выполнение этого действия поможет ответить на поставленный
вопрос.
44

45.

Дети приступают к выполнению задания. Наступает момент, когда один из
учеников говорит:
- У меня нет больше кругов.
- А у тебя еще остались круги? – спрашивает учитель у другого. (Да.)
Учитель обращается к классу:
- Может быть, теперь кто-нибудь догадался, у кого кругов больше, у кого
меньше?
- Как ты догадался? (У кого круги остались, у того больше.)
- А вот сколько кругов осталось, мы не знаем. Но я вам скажу, сколько
кругов было у Вити. Может быть, тогда вы догадаетесь, какое нужно
выполнить действие, чтобы ответить на вопрос: «На сколько больше кругов у
Вити, чем у Коли?» (Дети в раздумье...)
- Хорошо, давайте посчитаем, сколько кругов мне дал Коля, а сколько
Витя. (Одинаково. Коля – 5 и Витя – 5.)
45

46.

- А если я вам скажу, что у Вити было 7 кругов. Тогда вы сможете
ответить на вопрос: «Сколько кругов у него осталось?» или «На сколько у
Вити кругов больше, чем у Коли?» (Нужно из 7 вычесть 5.)
В истинности ответа учащиеся могут убедиться, проанализировав
рисунки.
Какие числовые равенства нужно записать, чтобы ответить на вопрос под
каждой картинкой:
46

47.

На сколько больше цыплят, На сколько больше черепах, чем яиц? Чем
листочков?
В результате у первоклассников формируется представление о разностном
сравнении чисел, которое можно обобщить в виде правила: «Чтобы узнать,
на сколько одно число больше (меньше) другого, нужно из большего числа
вычесть меньшее».
При сравнении совокупностей двух предметных множеств также можно
опираться на представления детей о соотношении целого и части. Для этого
необходимо обратить их внимание на то, что для ответа на вопрос: «На
сколько больше ... (меньше)?» мы выделяем в большей совокупности такую
часть предметов, которая равночисленна другой данной совокупности, и
находим другую часть большей совокупности, т. е. выполняем вычитание.
47

48.

Для упражнений в переводе реальных ситуаций на язык математических
знаков можно использовать также пары рисунков. Например:
В этом случае детям целесообразно предложить задание:
- Рассмотрите левую картинку. (Три цветочка.)
- А теперь скажите: что изменилось на правей картинке по сравнению с
левой? Более коротко этот вопрос можно сформулировать так: «Что
изменилось слева направо?» (Справа цветков больше. Слева 3 цветка, справа
5. Справа на 2 цветочка больше.)
Учитель предлагает детям записать это изменение на языке математики
(3+2=5).
48

49.

Затем можно взять пары картинок с разными предметами
В этом случае на вопрос: «Что изменилось слева направо?» дети могут
ответить: «Слева телефоны, справа флажки», «Справа флажков больше, чем
телефонов слева».
- А можно ли ответить на вопрос так: «Справа количество предметов на
три больше, чем слева? – спрашивает учитель. – Давайте опишем изменения
с точки зрения количества предметов».
Предлагая такое задание, учитель задает признак, по которому нужно
проанализировать изменение, произошедшее при переходе от левой
картинки к правой.
49

50.

С этой же целью можно дать задание: «Пользуясь рисунком, вставьте
числа в "окошки"».
При работе с этим рисунком знак «+» служит ориентиром для описания
картинки: «Слева 3 гриба, справа – 1. Всего на рисунке 4 гриба». Названные
числа расставляют в «окошки», и получается равенство 3+1=4.
Возможно, некоторые дети опишут данную картинку иначе: «Справа один
гриб, а слева на два больше». Тогда в «окошки» нужно вставить другие
числа: 1+2=3.
Если к этому же рисунку предложена запись: - = , то описание картинки
будет другим: «Слева три гриба, а справа на два гриба меньше».
Математическая запись этого описания будет выглядеть так: 3-2=1.
50

51.

Вычислительные
приемы сложения и
вычитания
в пределах 10
51

52.

Первым вычислительным приемом, который осваивает первоклассник,
является прием вида а±1. Основой данного приема является принцип
образования чисел в натуральном ряду: каждое следующее число на единицу
больше предыдущего.
Усвоение ребенком этого принципа являлось центральной задачей
изучения нумерации первого десятка.
Следствием этого принципа является способ нахождения значений
выражений вида 5+1; 8+1; 6-1; 7-1 и т.п. путем называния либо следующего
либо предыдущего числа. Иными словами, для нахождения значения данных
выражений нет необходимости выполнять какой-то прием арифметических
действий, достаточно понимать, что добавление 1 ведет к получению
следующего по счету числа, а убавление 1 – к появлению предыдущего по
счету числа. Именно для получения результатов в таких выражениях ребенок
заучивал наизусть названия чисел в прямом и обратном порядке.
52

53.

Число предыдущее стоит в ряду чисел левее данного. При счете
называется непосредственно перед данным, количественно оно содержит на
одну единицу меньше данного.
Число последующее (следующее) стоит в ряду чисел правее данного. При
счете называется непосредственно после данного, количественно оно
содержит на одну единицу больше данного. Хорошее понимание принципа
построения натурального ряда чисел ведет к легкому освоению приемов
присчитывания и отсчитывания по 1 и легкому выполнению вычислительной
деятельности в случаях:
7+1
17+1
177+1
10
277+1
7-1
17-1
177-1
10
277-1
Во всех случаях ссылка на принцип построения натуральной
последовательности чисел является наиболее рациональной вплоть до 4
класса (общий прием вычислений):
- Прибавляя к числу 1, получаем следующее по счету;
- Вычитая из числа 1, получаем предыдущее по счету.
53

54.

Этот же прием является действующим и в трудных случаях (вплоть до 4
класса):
9+1
19+1
199+1
999+1
99999+1
10-1
20-1
200-1
1000-1
100000-1
При нахождении ответа в данных примерах удобно ссылаться на порядок
счета: следующим за числом 99999 является число 100000;
предшествующим числом для 1000 является 999. Под руководством учителя
дети составляют таблицы «прибавить 1» и «вычесть 1» и затем заучивают их
наизусть».
При хорошем усвоении принципа образования чисел в натуральном ряду
нет необходимости организовывать специальное заучивание результатов этой
таблицы, поскольку умение ребенка называть ее результаты связано с
хорошим знанием прямой и обратной последовательности чисел в пределах
10.
54

55.

Использование линейки в качестве наглядной опоры для запоминания
последовательности чисел, а также для усвоения способа нахождения числа
последующего и предыдущего создает хорошие условия для интериоризации
(усвоения образа во внутреннем плане, формирования наглядно
представимой модели ряда натуральных чисел) способа нахождения
результатов присчитывания и отсчитывания для детей с ведущим нагляднообразным мышлением.
Для детей с ведущим кинестезическим восприятием и ведущим
кинестезическим типом памяти (т.е. требующим обязательной поддержки
словесной информации мышечным усилием, двигательным действием)
следует не только допускать, но и поощрять использование пальцевого счета
при изучении всех вычислительных приемов первого десятка. Естественно,
этот вариант внешнего подкрепления вычислительной деятельности является
более медленным, многим учителям он кажется недопустимым для
школьников, а потому старательно искореняется уже при обучении
вычисления в пределах первого десятка.
55

56.

Однако, при исключении двигательных действий у этих детей и при
ориентации на заучивание результатов без подкрепления предметной
деятельностью усвоение происходит на формальном уровне, по принципу
зазубривания без понимания, а в дальнейшем это крайне осложняет
формирование вычислительной деятельности с числами в пределах сотни,
тысячи и т.п.
В третьих, при выполнении данного вида вычислений не нужны
специальные вычислительные действия какого-то нового вида, а требуется
лишь последовательное применение принципа образования чисел в
натуральном ряду.
Например: вычислите 6+1+1. (Прибавляя к 6 единицу, получаем число
следующее – это 7; прибавляя к 7 единицу, получаем следующее число – это
8. Значит, 6+1+1=8).
56

57.

В качестве наглядной модели удобно использовать линейку – прибавляя
единицу дважды, ребенок делает вправо от числа 6 два «шага», получая
ответ наглядно (на первых порах эти «шаги» полезно прослеживать
пальцем). При использовании пальцевого счета, ребенок отгибает (или
загибает) последовательно два пальца, присчитывая их к 6 пальцам, или, в
крайнем случае, сосчитывая заново все количество отогнутых (загнутых)
пальцев.
Аналогично ребенок действует в случае вычислений вида а-1-1. В этом
случае используется понимание образования числа предыдущего к данному
и знание последовательности чисел в обратном порядке. Вычислительный
прием а±1 является случаем, объединяющим последовательное
присчитывание (отсчитывание) двух единиц к числу, производимое в
предыдущем случае. При прибавлении к любому числу двух, ребенок
заменяет его на сумму двух единиц и последовательно присчитывает
(отсчитывает) их от числа.
Например: 3 + 2 =
3 + 1 + 1=
57

58.

В качестве наглядной модели удобно использовать линейку – прибавляя
два, ребенок делает вправо от числа два «шага», получая ответ наглядно.
В качестве наглядной модели удобно также использовать счеты, поскольку
прибавляя или вычитая 2, ребенок чаще всего перебрасывает дважды по
одной косточке, фактически моделируя приведенную выше схему приема.
При использовании пальцевого счета, ребенок отгибает (или загибает) два
пальца, присчитывая (или отсчитывая) два или сосчитывая весь результат.
Методически ставится цель довести умение ребенка прибавлять и
отнимать 2 до состояния навыка, то есть до запоминания результатов
прибавления и вычитания двух в пределах 10 наизусть:
1+2=3
2+2=4
3+2=5
4+2=6
5+2=7
6+2=8
7+2=9
8+2=10
3-2=1
4-2=2
5-2=3
6-2=4
7-2=5
8-2-6
9-2=7
10-2=8
58

59.

Таблица сложения и вычитания двух содержит самое большое количество
случаев, а поскольку она изучается первой, многие дети испытывают
большие трудности, пытаясь заучить этот объем.
Если ребенок хорошо владеет приемами присчитывания и отсчитывания,
он всегда может вычислить забытый случай из таблицы, используя
осознанную вычислительную деятельность.
Для многих детей с проблемами процессов запоминания (это характерно
для многих часто болеющих детей, что обусловлено действием некоторых
медицинских препаратов, для детей с синдромом дефицита внимания, с
гиперподвижностью, для детей с задержкой развития и т.д.) формирование
осознанной вычислительной деятельности – это единственно возможный
путь избежать мучительного и бессмысленного зазубривания.
59

60.

Если при изучении чисел в пределах 10 (в разделе «Нумерация в пределах
10»), ребенок выучил наизусть состав однозначных чисел и легко его
воспроизводит, то проще всего для запоминания таблицы сложения и
вычитания связать соответствующие случаи с составом однозначных чисел:
3=1+2
тогда
1 + 2 = 3,
а
3–2=1
7=5+2
тогда
5 + 2 = 7,
а
7–2=5
При опоре на состав числа имеет смысл сразу ориентировать ребенка на
составление и запоминание тройки взаимосвязанных равенств:
6+2=8,
8-2=6,
8-6=2
Умение прибавлять и вычитать 2 является опорным умением для
формирования дальнейшей вычислительной деятельности.
Вычислительные приемы а±3 и а±4 могут выполняться последовательным
присчитыванием или отсчитыванием по 1:
8–4=8–1–1–1–1;
6+3=6+1+1+1.
60

61.

В этом случае используется ссылка на понятие числа предыдущего и
последующего. Может быть использована линейка, по которой ребенок
делает нужное количество «шагов» вправо или влево от заданного числа, или
пальцевый счет. Методически этот способ считается менее совершенным,
чем прибавление и вычитание по частям для данных вычислительных
приемов.
Прибавление (или вычитание) по частям предполагает раскладывание
второго слагаемого (или вычитаемого) на удобные для выполнения
вычислений составные части, и последовательное их прибавление (или
вычитание):
Например: 8 – 3 =
8 – 2 – 1=
5+4=
5 + 2 + 2=
61

62.

Приведенные примеры показывают, что с примерами а±3 и а ±4 легче
справиться тем детям, которые помнят наизусть результаты случаев
прибавления и вычитания двух, или могут достаточно быстро найти
(вычислить) эти результаты.
Именно для освоения вычислений вида а±3 и а ±4 предыдущую таблицу
для случая а±2 учитель требовал заучивать наизусть.
После освоения приема вычислений по частям, составляют таблицы для
случае а±3:
1+3=4
2+3=5
3+3=6
4+3=7
5+3=8
6+3=9
7+3=10
4-3=1
5-3=2
6-3=3
7-3=4
8-3=5
9-3=6
10-3=7
62

63.

а также а ±4:
1+4=5
2+4=6
3+4=7
4+4=8
5+4=9
6+4=10
5-4=1
6-4=2
7-4=3
8-4=4
9-4=5
10-4=6
Очень многие дети на этапе изучения табличного сложения и вычитания в
пределах 10 испытывают массу трудностей, в связи с необходимостью в
достаточно короткие сроки заучить наизусть большой объем
формализованного материала.
При этом единственным мотивом изучения этого объема наизусть для
ребенка выступает требование учителя.
Все задания на решение примеров в этот период (а также на решение
задач, на сравнение выражений и т.п.) требуют воспроизведения наизусть
табличных случаев сложения и вычитания вразбивку.
63

64.

Поэтому, если ребенок учил таблицу наизусть подряд (например, по
возрастанию результатов и т.п.), то даже легко отвечая ее результаты подряд,
он может ошибаться при воспроизведении таблицы вразбивку, и тем более
при необходимости воспроизводить разбивку случаи из разных таблиц.
В связи с этим при запоминании таблиц для случаев вида а±3 и а ±4
многие учебники математики для 1 класса ориентируют ребенка на
использование состава числа как основы для запоминания таблиц сложения
и вычитания. При ориентации на состав числа удобнее делать акцент не на
составление и заучивание таблицы каждого случая целиком, а на
составление и запоминание взаимосвязанных троек.
В качестве внешней опоры при вычислении случаев вида а±3 и а ±4 может
быть использована линейка, счеты, пальцевый счет.
64

65.

Сущность понятия
«вычислительный
прием», классификация
вычислительных
приемов
65

66.

Вычислительный прием (прием вычисления) можно определить, опираясь
на понятие операции, как элементарной единицы, из которых составляется
вычислительный прием. Рассмотрим сначала пример – пусть надо 14
умножить на 6. С этой целью можно выполнить такие операции:
1) заменить число 14 суммой разрядных слагаемых 10 и 4,
2) умножить первое слагаемое 10, на 6, получится 60,
3) умножить второе слагаемое 4 , на 6, получится 24,
4) сложить полученные результаты 60 и 24, получим 84.
Как видим, здесь предусмотрены такие операции и такой порядок их
введения, выполнение которых приводит к нахождению результата, т. е.
предусмотрена система операций. При этом система операций определялась
соответствующим теоретическим положением – в данном случае
распределительным свойством умножения (замена числа суммой, умножение
на число каждого слагаемого, сложение полученных произведений).
66

67.

Итак, вычислительным приемом называется ряд последовательных
операций (система операций), выполнение которых приводит к нахождению
результата арифметического действия над данными числами. Система
операций в каждом конкретном случае определяется соответствующими
теоретическими положениями, называемыми теоретической основой
вычислительного приема.
В большинстве случаев для нахождения результата арифметического
действия можно использовать в качестве теоретической основы различные
теоретические положения, что приводит к разным приемам вычислений.
Например, если для рассмотренного случая (14 умножить на 6) использовать
в качестве теоретической основы свойство умножения числа на
произведение, то будем иметь следующую систему операций:
1) замена числа 6 произведением чисел 3 и 2,
2) умножение числа 14 на первый множитель 3,
3) умножение полученного произведения, 42, на второй множитель 2.
67

68.

Можно использовать и другие положения в качестве теоретической
основы, конструируя другие вычислительные приемы. Такая возможность
является предпосылкой построения различных систем изучения
вычислительных приемов и вместе с тем необходимым условием
формирования рациональных вычислительных навыков.
Операции, составляющие вычислительный прием, имеют разный
характер. Многие из них сами являются арифметическими действиями. Эти
операции играют особую роль в овладении учащимися вычислительными
навыками, а именно: выполнение приема в свернутом плане сводится к
выделению и выполнению операций, являющихся арифметическими
действиями. Такие операции называют основными, а все другие –
вспомогательными. Например, в приеме для случая 14 умножить на 6
операция замены числа 14 суммой разрядных слагаемых – вспомогательная,
а все остальные (10 на 6; 4 на 6; 60+24) – основные. Заметим, что все
операции, составляющие прием, одинаково важны.
68

69.

Число операций, составляющих вычислительный прием, зависит от
выбора теоретической основы. Так, в рассмотренном примере 14 умножить
на 6 первый прием включая четыре операции, а второй – три. Кроме того,
при одной и той же теоретической основе число операций зависит и от
чисел, над которыми выполняются арифметические действия. Например,
прием умножения чисел 16 и 4 будет содержать меньше операций, чем прием
умножения чисел 816 и 4.
Рассмотрим вопрос классификации вычислительных приемов.
Вычислительные приемы классифицируют по разным основаниям, имея
при этом в виду, что деление приемов на группы должно быть рабочим
аппаратом.
В современных условиях, когда требуется сформировать осознанные
вычислительные навыки, целесообразно прежде всего выделить группы
вычислительных приемов по общности их теоретической основы, поскольку
теоретическая основа является направляющей в системе операций для
целого ряда вычислительных приемов.
69

70.

Такая классификация послужит целям построения эффективной системы
изучения вычислительных приемов каждой группы и всей совокупности
приемов.
Вычислительные приемы, изучаемые в начальных классах, по общности
их теоретической основы можно разделить на шесть групп:
I. Вычислительные приемы, теоретической основой которых
является конкретный смысл арифметических действий.
К ним относятся приемы для следующих случаев:
1) приемы сложения и вычитания чисел в пределах 10 для случаев вида: а
± I (на начальной стадии), а ± 2, а ± 3, а ± 4 и а ± 0 (на начальной стадии);
2) прием нахождения табличных результатов умножения;
3) прием нахождения табличных результатов деления (на начальной
стадии) и деления с остатком (на начальной стадии); прием умножения
единицы и нуля на натуральное число (на начальной стадии).
70

71.

II. Вычислительные приемы, теоретической основой которых служат
свойства арифметических действий.
К этой группе относится большинство вычислительных приемов:
1) приемы сложения и вычитания для случаев вида: 2 + 8, 64 ± 20, 56 ± 4,
70 – 8, 9 + 5, 14 – 6, 57 ± 6, 60 ± 17, 75 ± 43, 63 ± 28 и аналогичные приемы
для случаев сложения и вычитания чисел больших ста;
2) приемы сложения и вычитания для случаев вида 7409 ± 5836 (приемы
письменного сложения и вычитания);
3) приемы умножения и деления для случаев вида 19 * 3, 3 * 19, 91 : 7, 36
* 40, 360 : 40 и аналогичные приемы над большими числами;
4) приемы умножения и деления многозначных чисел на однозначные
числа, разрядные двузначные и трехзначные, неразрядные двузначные и
трехзначные (приемы письменного умножения и деления).
71

72.

III. Вычислительные приемы, теоретической основой которых
являются математические положения о связях между компонентами и
результатами арифметических действий.
К ним относятся:
1) прием вычитания чисел в пределах 10, когда вычитаемое не меньше,
чем 5;
2) прием табличного деления (24:6);
3) приемы внетабличного деления для случаев вида: 60 : 30, 51 : 17 и
аналогичные приемы для чисел больших ста;
4) прием деления на единицу (на начальной стадии);
5) прием деления нуля (на начальной стадии).
72

73.

IV. Вычислительные приемы, теоретической основой которых
являются математические положения об изменении результатов
арифметических действий в зависимости от изменения одного из
компонентов.
К этой группе относятся:
1) приемы сложения и вычитания чисел, близких к круглым (46 + 19, 612 –
298);
2) приемы умножения и деления чисел на 5, 25, 50. Эти приемы называют
приемами округления чисел.
V. Вычислительные приемы, теоретической основой которых служат
теоретические положения, относящиеся к нумерации чисел.
В эту группу входят такие приемы:
1) прибавление и вычитание единицы (а ± 1);
2) выполнение действий сложения и вычитания над разрядными
слагаемыми числа: 10 + 8, 8 + 10, 18 – 10, 18 – 8;
3) умножение и деление на 10, 100, 1000.
73

74.

VI. Эта группа включает приемы:
1) сложение и вычитание с числом нуль: а ± 0, 0 ± А, 0 ± 0 (а > 0);
2) умножение и деление на единицу: а * I, а : I;
3) умножение и деление с числом нуль: а * 0, 0 * а, 0 : а (а > 0).
Выделенные шесть групп приемов охватывают все случаи вычислений,
изучаемых в начальных классах.
Случаи вычислений принято также делить
на устные и
письменные.
К устным относят случаи выполнения арифметических действий на
числами в пределах ста и аналогичные случаи вычислений на числами
большими ста, которые легко сводятся к случаям вычислений над числами в
пределах 100, например, для случая 8 + 6 аналогичными будут: 80 + 60, 800 +
600 и т. д.
74

75.

К письменным вычислениям относят случаи выполнения арифметических
действий над числами большими ста, приемы для которых непосредственно
не сводятся к приемам вычислений над числами в пределах ста ( 587 ± 395,
736 * 27, 4782 : 6 и т. п.). Вычислительные приемы для соответствующих
случаев принято называть устными и письменными.
Заметим, что случаи устных вычислений в ряде случаев допускают
использование различных вычислительных приемов, тогда как письменные
вычисления выполняются только одним способом, например, прием
письменного сложения – это всегда поразрядное сложение, начиная с единиц
первого разряда. При выполнении письменных вычислений для удобства
используется особая запись «в столбик». При устных вычислениях тоже
используются записи, но они выполняются «в строчку». При этом размечают
развернутую запись устного приема вычислений, когда записываются все
операции, например: 84 – 3 = (60 + 24) : 3 = 60 : 3 + 24 : 3 = 28, и краткую
запись, когда записывается арифметическое действие и результат, например:
84 : 3 = 28.
75

76.

Деление вычислительных приемов на устные и письменные позволяет
раскрыть в методике особенности их изучения.
Выделяются «внутри» многих приемов случаи вычислений без перехода и
с переходом через разряд, что обусловлено особенностями чисел, над
которыми выполняются действия. Например, 452+237 будет случаем
письменного сложения трехзначных чисел без перехода через разряд, а
452+239 и 452+289 будут случаями сложения с переходом через один и два
разряда, легко установить, что число операций здесь увеличивается от
случая к случаю, что указывает на возрастание их сложности.
Следовательно, такое выделение случаев вычислений помогает расположить
их от простого к сложному.
Вычислительные приемы группируются также по признаку их включения
в тот или иной концентр. Так, выделяются приемы сложения и вычитания в
пределах 10, в пределах 100, приемы умножения и деления в пределах 100 и
т. п.
76

77.

Из всего разнообразия случаев вычислений выделяются табличные случаи
арифметических действий. К ним относятся случаи сложения и вычитания
однозначных натуральных чисел и обратные по отношению к ним случаи
вычитания, а также случаи умножения однозначных чисел не меньших 2-х, и
обратные по отношению к ним случаи деления. Выделение табличных
случаев связано с их исключительной ролью в формировании
вычислительных навыков, так как почти все вычислительные приемы
включают в качестве основных операций табличные случаи вычислений.
77

78.

Сущность понятия
«вычислительный
навык», показатели
вычислительного
навыка
78

79.

Вычислительные навыки – это способность выбирать и выполнять для
каждого случая вычислений систему
операций, составляющую
вычислительный прием.
Чтобы овладеть методикой формирования вычислительных навыков,
учителю надо знать, какими качествами в современных условиях обучения
должен обладать вычислительный навык или показатели его
сформированности. Охарактеризуем эти качества.
Правильность – ученик правильно выбирает и выполняет операции,
составляющие прием, т. е. правильно находит результат арифметического
действия.
Осознанность – ученик актуально осознает теоретическую основу
вычислительного приема и в соответствии с этим может обосновать выбор
системы операций, составляющей вычислительный прием, т. е. в
определенном смысле «доказать» правильность выбора системы операций.
79

80.

Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может дать
обоснование выбора системы операций, применяя соответствующие знания.
например, выполняя сложение чисел 30 и 26, ученик рассуждает: число 26
заменю суммой разрядных слагаемых 20 и 6, получился пример: к 30
прибавить сумму числе 20 и 6, прибавлю к 30 первое слагаемое 20,
получится 50, и к результату, к 50, прибавлю второе слагаемое 6, получится
56.
Как видим, ученик сразу «запланировал» прием, основанный на свойстве
прибавления суммы к числу, а затем в своем объяснении показал, что
использовал это свойство «получился пример: к числу … прибавить сумму»
и выстроил все операции в соответствии с одним из способов прибавления к
числу суммы.
В этом и проявилась осознанность выполнения операций, что
характеризует осознанность вычислительного навыка.
80

81.

Рациональность – ученик, сообразуясь с конкретными условиями,
выбирает для данного случая более рациональный прием: выбирает те из
возможных систем операций, выполнение которых легче других и быстрее
приводит к нахождению результата арифметического действия.
Разумеется, это качество навыка может проявляться тогда, когда для
данного случая ученику известны различные вычислительные приемы и он
выбирает более рациональный.
Надо иметь в виду, что на выбор учеником рационального приема могут
влиять и субъективные факторы: наиболее – легким может оказаться для
него тот вычислительный прием, который он лучше усвоил, хотя этот прием
и не будет рациональным, или же ученик может использовать тот прием,
который первым воспроизвел, хотя ему известны и другие, более
рациональные приемы.
81

82.

Обобщенность – ученик может применить вычислительный прием к
большому числу аналогичных случаев и использовать его в новых условиях,
причем новыми условиями, как правило, является новая область чисел,
определяемая новым концентром.
Например, навык сложения двузначных чисел будет обобщенным, если
ученик может сложить любые двузначные числа, а перейдя к новой области
чисел, например, к числам в пределах 1000, он может самостоятельно
сконструировать прием для случаев аналогичных рассмотренным ранее (так,
при сложении чисел 300 и 260 он использует известный ему прием для
случаев вида 30 + 26).
Это качество навыка образуется благодаря овладению учащимися
теоретической
основой
вычислительного
приема,
следовательно,
обобщенность непосредственно связана с осознанностью вычислительного
навыка и определяется ею.
82

83.

Автоматизм (свернутость) – ученик выбирает и выполняет операции
свернуто и предельно быстро. Это качество формируется благодаря
специальным упражнениям (об этом речь пойдет дальше). Заметим, что
свернутость выполнения операций
не исключает осознанности
вычислительного навыка, они выступают в единстве: при свернутом
выполнении операций осознанность сохраняется, но обоснование выбора
системы операции происходит свернуто в плане внутренней речи. Благодаря
этому ученик может в любой момент дать развернутое обоснование выбора
системы операций. По отношению к различным случаям вычислений
целесообразно и нужно формировать вычислительные навыки разного
уровня свернутости (автоматизации).
Самый высокий уровень автоматизации должен быть достигнут по
отношению к табличным случаям арифметических действий, а именно –
ученик должен сразу же соотносить с двумя данными числами третье число,
являющееся результатом: 9 * 6 > 54.
83

84.

Такой уровень необходим потому, что табличные случаи чаще других
встречаются в жизни, но главное – все другие случаи вычислений включают
в качестве основных операций преимущественно табличные случаи,
следовательно, если по отношению к табличным случаям не будет достигнут
высокий уровень автоматизма, то возникнут непреодолимые трудности при
нахождении результатов для случаев отличных от табличных вследствие
обилия операций. По отношению к другим случаям, не являющимися
табличными, достигается частичная автоматизация, т. е. автоматизируется
выполнение отдельных операций. В этих случаях ученик предельно быстро
выбирает и выполняет систему операций, не фиксируя внимания на том,
почему выбрал эти операции и как выполнял каждую из них.
Прочность – ученик сохраняет сформированные навыки на длительное
время. Это качество также тесно связано с другими: благодаря осознанности,
обобщенности и свернутости знание систем операций надолго запоминается
и быстро восстанавливается в случае забывания.
84

85.

Рациональные способы
сложения и вычитания
85

86.

Рациональные приемы сложения основываются на коммутативном
(переместительном) и ассоциативном (сочетательном) законах сложения, а
также на свойствах изменения суммы.
Коммутативный закон сложения: от перемены мест слагаемых сумма не
изменяется, например: 3 + 7 = 7 + 3. Ассоциативный закон сложения: если
заменить какую-либо группу рядом стоящих слагаемых их суммой сумма не
изменится, например: 73 + 4 + 27 = (73 + 27) + 4 = 100 + 4 = 104
Свойства изменения суммы:
1) если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на некоторое число,
то сумма соответственно увеличится или уменьшится на это число.
2) если одно из слагаемых увеличить на некоторое число, а другое
уменьшить на это же число, то сумма не изменится.
3) если все слагаемые данной суммы увеличить или уменьшить в одно и
то же число раз, то сумма соответственно увеличится или уменьшится во
столько же раз.
86

87.

Рассмотрим рациональные приемы сложения.
1) Округление одного или нескольких слагаемых. Одно или несколько
слагаемых заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят сумму
«круглых» чисел, а затем соответствующее дополнение (дополнения) до
«круглого» числа прибавляют к полученной сумме или вычитают из нее,
например: 37 + 49 = 37 + 50 – 1 = 36 + 50 = 86
или 68 + 29 = 70 – 2 + 30 – 1 = 100 – 3 = 97
2) Поразрядное сложение. При сложении нескольких многозначных чисел
сначала находят суммы соответствующих разрядных единиц всех чисел, а
затем складывают полученные суммы. В частности, при сложении
нескольких двузначных чисел сначала находят сумму всех десятков, потом –
всех единиц, а затем складывают полученные суммы, например:
13 + 29 = (10 + 20) + (3 + 9) = 30 + 12 = 42
87

88.

3) Группировка вокруг одного и того же «корневого» числа, например:
37 + 34 + 29 (все числа близки к числу 30, его считают корневым) а)
находим сумму корневых чисел: 30 * 3 = 90 (так как в сумме 3 слагаемых) б)
находим сумму отклонений каждого числа от «корневого»; при этом, если
число больше «корневого», отклонение берется со знаком «плюс», если
число меньше «корневого» – со знаком «минус»: 7 + 4 – 1 = 10.
Тогда: 37 + 34 + 29 = 90 + 10 = 100. Прием округления нескольких
слагаемых и прием группировки вокруг одного и того же «корневого» числа
не являются основными и необходимыми для изучения.
88

89.

Все приемы рациональных вычислений, связанные с вычитанием,
основываются на законах сложения, правилах вычитания числа из суммы и
суммы из числа, свойствах изменения разности.
Свойства изменения разности:
1) если уменьшаемое увеличилось или уменьшилось на некоторое число,
то разность соответственно увеличится или уменьшится на это число.
2) если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то
разность изменится в противоположном смысле на столько же единиц.
3) если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить на одно и
то же число, то разность не изменится.
4) если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить в одно и то
же число раз, то разность соответственно увеличится или уменьшится во
столько же раз.
89

90.

Рассмотрим рациональные приемы вычитания.
1) Увеличение или уменьшение уменьшаемого и вычитаемого на одно и то
же число единиц, например: 92 - 26 = (92 - 2) - (26 - 2) = 90 - 24 = 66
или 85 - 26 = (85 + 4) - (26 + 4) = 89 - 30 = 59. Прием не является основным и
необходимым для изучения.
2) Округление вычитаемого. Вычитаемое заменяют ближайшим к нему
«круглым» числом, находят разность, а затем соответствующее дополнение до
«круглого» числа прибавляют к полученной разности или вычитают из нее,
например: 57 – 28 = 57 – 30 + 2 = 27 + 2 = 29 или 57 – 32 = 57 – 30 – 2 = 25
3) Разложение вычитаемого на части: 71 – 45 = 71 – 40 – 5 = 31 – 5 = 26
4) Округление уменьшаемого: 102 – 36 = 100 + 2 – 36 = (100 - 36) + 2 = 64 + 2
= 66.
5) Поразрядное вычитание. При вычитании нескольких двузначных чисел
сначала находят разность всех десятков, потом – всех единиц, а затем
складывают полученные разности, например:
29 + 13 = (20 - 10) + (9 - 3) = 10 + 6 = 16
90