Многогранники

1.

Лекция 7
Многогранники
1

2. Замечания

§1 Многогранники. Основные определения
Важным классом
пространственных фигур являются
многогранники, под которыми
понимают тела, ограниченные
плоскими многоугольниками
(Г10, 2020,с.7-8)
2

3. Замечания

§1 Многогранники. Основные определения
• Эти многоугольники называются
гранями многогранника, их вершины –
вершинами многогранника, а стороны –
ребрами многогранника.
3

4. Замечания

§1 Многогранники. Основные определения
• Многогранник называется выпуклым,
если он расположен по одну сторону от
плоскости каждой своей грани.
4

5. Замечания

§1 Многогранники. Основные определения
В учебнике Александрова А.Д. и др.
доказывается теорема:
• «Тело является выпуклым тогда и
только тогда, когда каждый луч,
исходящий из любой его внутренней
точки, пересекает поверхность тела в
единственной точке».
5

6. Ментальная карта «Многогранники» (Сервис MindMeister) https://www.mindmeister.com/531125465

6

7. Замечания

§2 Призма
Замечания
Латотин Л.А. «Геометрия-10, 2020», с.7-8
Латотин Л.А. «Геометрия-11, 2020», с.6-7 :
Призмой называется многогранник, у
которого:
две грани равные n-угольники,
остальные n граней – параллелограммы.
7

8. Замечания

§2 Призма
Замечания
Латотин Л.А. «Геометрия-10, 2020», с.7-8
Латотин Л.А. «Геометрия-11, 2020», с.6-7 :
Равные грани-многоугольники призмы
называются её основаниями, остальные грани
– боковыми гранями. Рёбра боковых граней, не
принадлежащие основаниям, называются
боковыми рёбрами.
8

9. Замечания

§2 Призма
Замечания
• Призма называется прямой, если все ее
боковые грани являются
прямоугольниками.
• Призма прямая, если боковые ребра
перпендикулярны основанию
9

10. Замечания

§2 Призма
Замечания
• Прямая призма называется
правильной, если её основания
являются правильными
многоугольниками.
• В прямой призме все боковые грани –
прямоугольники, в правильной равные прямоугольники
10

11. Замечания

§2 Призма
Замечания
• Высота призмы - перпендикуляр,
проведенный из какой-нибудь точки
одного основания к плоскости другого
основания.
• У прямой призмы её высота равна
боковому ребру
11

12. Замечания

§2 Призма
Замечания
Дополнительно определяются:
12

13. Замечания

§2 Призма
Замечания
Теорема 1. Площадь боковой поверхности призмы
равна произведению периметра ее
перпендикулярного сечения и длины бокового
ребра: Sбок = P ⋅l (Г 11, с.8)
13

14. Замечания

§2 Призма
Замечания
Следствие 1. Площадь боковой поверхности
прямой призмы равна произведению периметра ее
основания и высоты.(Г 11, с.9)
14

15. Замечания

§2 Призма
Замечания
Теорема 2. Объем произвольного параллелепипеда
равен произведению площади его основания и
высоты: V = Sосн ⋅ h (Г 11, с.10)
Теорема 3. Объем призмы равен произведению
площади ее основания и высоты: V = Sосн ⋅ h
15

16. Замечания

§2 Призма
Замечания
Следствие 2. Объем прямой призмы равен
произведению площади ее основания и бокового
ребра.
Следствие 3. Объем призмы равен произведению
площади ее перпендикулярного сечения и бокового
ребра.
16

17. Замечания

§ 3 Пирамида
Замечания
Латотин Л.А. «Геометрия-10, 2020», с.8-9
Латотин Л.А. «Геометрия-11, 2020», с.38-50:
Пирамидой называется многогранник,
одна грань которого является
многоугольником, а остальные грани –
треугольники имеют общую вершину.
17

18. Замечания

§ 3 Пирамида
Замечания
• Пирамида называется правильной, если ее
основание – правильный многоугольник, а
основание высоты совпадает с центром этого
многоугольника.
18

19. Замечания

§ 3 Пирамида
Замечания
• Высота боковой грани правильной
пирамиды, проведенная к стороне
основания, называется апофемой.
19

20.

В правильной пирамиде:
• боковые ребра равны;
• боковые грани равны;
• апофемы равны;
• двугранные углы при основании равны;
• двугранные углы при боковых ребрах равны;
• каждая точка высоты равноудалена от вершин
основания;
• каждая точка высоты равноудалена от ребер
основания;
• каждая точка высоты равноудалена от боковых
граней.
20

21.

Если в пирамиде равны все:
• боковые ребра, то около ее основания можно описать
окружность и центр этой окружности совпадает с
основанием высоты пирамиды;
• двугранные углы при основании, то в это основание
можно вписать окружность и центр этой окружности
совпадает с основанием высоты пирамиды.
21

22.

Боковая поверхность правильной пирамиды равна
про изведению полупериметра ее основания и апофемы.
22

23. Замечания

§2 Основные определения
2.3 Пирамида
Замечания
Дополнительно определяются:
23

24. Замечания

§ 3 Пирамида
Замечания
Теорема 6. Объем пирамиды равен третьей доли
произведения площади ее основания и высоты: