Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

1. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Лекция 4

2.

1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение
второго порядка
y py qy 0 ,
(1.1)
где p и q – постоянные действительные числа.
Известно, что если y1 и y 2 - линейные независимые решения
уравнения (1.1), то общее решение этого уравнения будет
y c1 y1 c2 y2 , где c1 , c2 const.
Частные решения будем искать в виде
y e kx ,
kx
2 kx
Тогда y ke , y k e .
Подставим (1.2) в (1.1), получим
где k=const.
k 2 e kx pkekx qe kx 0
e kx (k 2 pk q) 0
kx
e
0, то
Т.к.
(1.2)

3.

k 2 pk q 0 .
(1.3)
Отсюда, если k будет удовлетворять уравнению (1.3), то y e
решением уравнения (1.1).
kx
будет
Уравнение (1.3) называется характеристическим по отношению к
уравнению (1.1).
2
Характеристическое уравнение k pk q 0 есть квадратное уравнение.
Находим корни характеристического уравнения
p
k1
2
p2
p
q, k 2
4
2
p2
q .
4
Возможны 3 случая:
1) корни k1 и k 2 - действительные и различные ( k1 k2 ),
2) корни k1 и k 2 - действительные, равные числа ( k1 k 2 ),
3) корни k1 и
k 2 - комплексные числа.

4.

ВЫВОД.
Для нахождения общего решения линейного
однородного дифференциального уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами вида
y py qy 0 (p,q - const)
надо:
1) составить характеристическое уравнение k 2 pk q 0 и найти
его корни k1 и k 2 ,
2) по виду корней k1 и k 2 выписываем общее решение линейного
однородного уравнения из следующей таблицы
Корни характеристического
уравнения
1.корни действительные и
различные, ( k1 k 2 )
2.корни действительные и
равные ( k1 k 2 )
3.корни комплексные и
сопряженные ( k1, 2 i)
Общее решение линейного
однородного уравнения
y c1e k1x c2 e k2 x
y c1e k1x c2 xek1x e k1x (c1 c2 x)
y e x (c1 cos x c2 sin x)

5.

2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
y py qy f (x) ,
(1.4)
где p и q – вещественные числа, f (x) – непрерывная функция.
Согласно теореме 2 общее решение уравнения (1.4) является суммой
общего решения y соответствующего однородного уравнения и частного
решения y неоднородного уравнения, т.е.
y y y .
Нахождение общего решения y было рассмотрено в предыдущей лекции
Для нахождения частного решения y , если правая часть f (x) уравнения
(1.4) имеет так называемый «специальный вид», можно воспользоваться методом
неопределенных коэффициентов.
1) Если f ( x) Pn ( x) e x , где Pn (x) – многочлен степени n , то частное
решение y уравнения (1.4) ищем в виде
y * x r Qn ( x)e x ,
где r – число корней характеристического уравнения (1.4), совпадающих с ,
Qn (x) – многочлен с неопределенными коэффициентами той же степени, что и
Pn (x) .

6.

2) Если f ( x) (a cos x b sin x) e x , то частное решение y уравнения
(1.4) ищем в виде
y * x r ( A cos x B sin x)e x ,
где r – число корней характеристического уравнения (1.4), совпадающих с
i , A и B – неопределенные коэффициенты.
После подстановки y * , y *
и
в уравнение (1.4) вместо
y*
соответственно y , у и у находим неопределенные коэффициенты.
3 Решение линейных неоднородных уравнений методом вариации
произвольных постоянных (Метод Лагранжа)
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
y py qy f (x) .
(1.4)
Решение этого уравнения можно найти методом вариации произвольных
постоянных.
Находим общее решение соответствующего однородного уравнения
y py qy 0
(1.5)
в виде
у c1 y1 c2 y2 ,
(1.6)
где y1 , y 2 – линейно независимые решения уравнения (1.5),
c1 , c 2 – произвольные постоянные.

7.

Решение уравнения (1.4) будем искать в виде
y c1 ( x) y1 c2 ( x) y2 ,
(1.7)
где c1 ( x), c2 ( x) – некоторые непрерывно дифференцируемые функции, которые
необходимо найти.
Можно показать, что функция (1.42) будет частным решением уравнения
(1.4), если c1 ( x) и c 2 ( x ) удовлетворяют следующей системе уравнений
c1 y1 c2 y 2 0
.
(1.8)
c
y
c
y
f
(
x
)
1 1
2
2
Эта система имеет единственное решение
c1 1 ( x) и c 2 2 ( x) ,
т.к. ее определитель
y1 y 2
0.
y1 y 2
Интегрируя эти функции, находим c1 ( x) и c 2 ( x ) .
Следовательно, по формуле (1.7) составляем частное решение уравнения
(1.4).