Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью

1.

Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью:
Центральный
угол
измеряется дугой, на
которую он опирается.
Если отнести длину
этой дуги к радиусу
окружности
то
получится радианная
мера угла.

2.

Взаимное расположение окружности и прямой:
Окружность и прямая не имеют общих точек.
Окружность и прямая имеют 1 общую
точку (l - касательная)
Окружность и прямая имеют 2 общие
точки (l - секущая)

3.

Понятие касательной – одно из древнейших в математике. В
геометрии касательную к окружности определяют как прямую,
имеющую ровно одну точку пересечения с этой окружностью.
Древние с помощью циркуля и линейки умели проводить
касательные к окружности, а в последствии – к коническим
сечениям: эллипсам, гиперболам и параболам.
Интерес к касательным возродился в Новое время. Тогда были
открыты кривые, которых не знали учёные древности.
Например, Галилей ввёл циклоиду, а Декарт и Ферма построили
к ней касательную. В первой трети XVII в.
Начали понимать, что касательная –
прямая,
«наиболее
тесно
примыкающая» к кривой в малой
окрестности заданной точки. Легко
представить себе такую ситуацию, когда
нельзя построить касательную к кривой в
данной точке (рисунок).

4.

Построение касательных – одна из тех задач, которые привели к
рождению
дифференциального
исчисления.
Первый
опубликованный труд, относящийся к дифференциальному
исчислению и принадлежащий перу Лейбница, имел название
«Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных,
для которого не служат препятствием ни дробные, ни
иррациональные величины, и особый для этого род исчисления»
(1684 год).
Лейбниц писал: «То, что человек, сведущий в
этом исчислении, может получить прямо в трёх
строках, другие ученейшие мужи принуждены
были искать, следуя сложными обходными
путями».
Го́тфрид Ви́льгельм Ле́йбниц (1646 — 1716) — саксонский философ, логик,
математик, механик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель и
языковед. Основатель и первый президент Берлинской Академии наук,
иностранный член Французской Академии наук.

5.

Построение 2-х касательных к окружности с центром в точке О
из точки А, расположенной вне окружности.
1. На отрезке ОА как на диаметре строят
окружность радиуса R=0,5[OA];
2. Точки 1 и 2 пересечения полученной
окружности
с
заданной
определяют
положение точек касания;
3. Отрезки [1A] и [2A]
определяют
положение
касательных t1 и t2 проведенных из
точки А к окружности.

6.

Построение внешней касательной к двум дугам окружности
1. Проводят окружность
радиусом
R-r
из
центра О дуги большего
радиуса;
2.
К
полученной
окружности
строят
касательную МO*, проходящую через центр дуги
меньшего радиуса;
3. На продолжении луча ОМ отмечаем точку
касания 1;
4. Из центра O* проводим луч параллельный ОМ до
пересечения с дугой и отмечаем точку касания 2;
5. Через точки 1 и 2 проводим искомую
касательную t.

7.

Построение внутренней касательной к двум дугам окружности
1. Проводят окружность
радиусом
R+r
из
центра О дуги большего
радиуса;
2.
К
полученной
окружности
строят
касательную МO*, проходящую через центр дуги
меньшего радиуса;
3. На луче ОМ отмечаем точку касания 1 - точка
пересечения луча с дугой радиуса R;
4.
Из
центра
O*
проводим
луч
параллельный ОМ
до пересечения с дугой
радиуса r и отмечаем точку касания 2;
5. Через точки 1 и 2 проводим искомую
касательную t.

8.

8.4. Две прямые, проходящие через точку M, лежащую вне
окружности с центром O, касаются окружности в точках A и B.
Отрезок OM делится окружностью пополам. В каком
отношении отрезок OM делится прямой AB?
Ответ: 1 : 3.
8.5. Из одной точки проведены к окружности две касательные.
Длина каждой касательной равна 12, а расстояние между
точками касания равно 14,4. Найдите радиус окружности.
Ответ: 9.
8.14. На основании равнобедренного треугольника, равном 8,
как на хорде построена окружность, касающаяся боковых
сторон треугольника. Найдите радиус окружности, если
высота, опущенная на основание треугольника, равна 3.
Ответ: 20/3.

9.

Две окружности на
плоскости
Взаимное расположение на
плоскости двух окружностей
радиусов r1 и r2 с
центрами O1 и O2 определяет
ся расстоянием d между
центрами этих окружностей
d = O1O2
Каждая из
окружностей лежит
вне другой
Расстояние между центрами
окружностей больше
суммы их радиусов
d > r1 + r2
Внешнее
касание двух
окружностей
Расстояние между центрами
окружностей равно
сумме их радиусов
d = r1 + r2

10.

Вуутреннее касание двух
окружностей
Расстояние между
центрами
окружностей равно
разности их радиусов
d = r1 – r2
Окружности пересекаются
в двух точках
Расстояние между
центрами
окружностей больше
разности их радиусов, но
меньше суммы их радиусов
r1 – r2 < d < r1 + r2
Одна из
окружностей лежит
внутри другой
Расстояние между
центрами
окружностей меньше
разности их радиусов
d < r1 – r2

11.

Внешняя
касательная к двум
окружностям
Прямую называют внешней
касательной к двум
окружностям, если
она касается каждой из
окружностей, а окружности
лежат по одну сторону от
этой прямой.
Внутренняя
касательная к двум
окружностям
Прямую
называют внутренней
касательной к двум
окружностям, если
она касается каждой из
окружностей, а окружности
лежат по разные стороны от
этой прямой.
Внутреннее
касание двух
окружностей
Существует единственная
общая внешняя
касательная. Других общих
касательных нет.

12.

Окружности пересекаются
в двух точках
Существуют две общих
внешних касательных. Других
общих касательных нет.
Внешнее касание двух
окружностей
Существует единственная
общая внутренняя касательная,
а также
две общих внешних
касательных. Других общих
касательных нет.

13.

Каждая из
окружностей лежит вне
другой
Существуют две общих
внешних касательных, а
также две общих
внутренних касательных.
Других общих касательных
нет

14.

Внешняя касательная к
двум окружностям
Длина общей внешней
касательной к двум
окружностям вычисляется
по формуле
Внутренняя касательнаяк
двум окружностям
Длина общей внутренней
касательной к двум
окружностям вычисляется
по формуле
Общая хорда двух
пересекающихся
окружностей
Длина общей хорды двух
окружностей вычисляется
по формуле

15.

Утверждение 1. Если расстояние между центрами двух окружностей
радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим
окружностям вычисляется по формуле
Доказательство. Для того, чтобы найти длину отрезка K1K2, опустим из
точки O2 перпендикуляр O2K3 на прямую O1K1 (рис.1).
Поскольку четырёхугольник O2K2K1K3 – прямоугольник, то справедливы
равенства
O2K3 = K1K2 , K1K3 = r2 , O1K3 = r1 – r2 .
Воспользовавшись этими равенствами, из прямоугольного
треугольника O1O2K3 получаем:
Следовательно,
Чтд
Рис.1

16.

Утверждение 2. Если расстояние между центрами двух окружностей
радиусов r1 и r2 равно d, то длина общей внутренней касательной к этим
окружностям вычисляется по формуле
Доказательство. Для того, чтобы найти длину отрезка K1K2 , опустим из
точки O2 перпендикуляр O2K3 на прямую O1K1 (рис.2).
Поскольку четырёхугольник O2K2K1K3 – прямоугольник, то справедливы
равенства
O2K3 = K1K3 , K1K3 = r2 , O1K3 = r1 + r2 .
Воспользовавшись этими равенствами, из прямоугольного
треугольника O1O2K3 получаем:
Следовательно,
Чтд
Рис.2

17.

Утверждение 3. Если расстояние между центрами двух окружностей
радиусов r1 и r2 равно d, то длина общей хорды AB этих окружностей
вычисляется по формуле
Доказательство. Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух
окружностей, введём, как показано на рисунке 3, следующие обозначения:
O2C = y, CB = x .
Тогда,
воспользовавшись
теоремой
Пифагора
для
треугольников O1CB и O2CB, получим
Рис.3
Таким образом,
Чтд

18.

8.7. Окружности радиусов R и r (R > r) касаются некоторой
прямой. Линия центров пересекает эту прямую под углом 30◦.
Найдите расстояние между центрами окружностей. Ответ: 2(r+R)
или 2(R−r).
8.3. В большей из двух концентрических окружностей (имеющих
общий центр) проведена хорда, равная 32 и касающаяся
меньшей окружности. Найдите радиус каждой из окружностей,
если ширина образовавшегося кольца равна 8.
Ответ: 12 и 20.
9.2. Две равные окружности касаются изнутри третьей и
касаются между собой. Соединив три центра, получим
треугольник с периметром, равным 18. Найдите радиус большей
окружности.
Ответ: 9.
9.3. Три окружности радиусов 6, 7 и 8 попарно касаются друг
друга внешним образом. Найдите площадь треугольника с
вершинами в центрах этих окружностей.
Ответ: 84.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Теорема Птолемея

31.

Углы, связанные с окружностью.
Метод вспомогательной
окружности.
Гордин. Параграф 13.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

Д
о
м
а
ш
н
е
е
з
а
д
а
н
и
е

41.

Д
о
м
а
ш
н
е
е
з
а
д
а
н
и
е

42.

Геометрические познания древних египтян.
Если не учитывать весьма скромный вклад древних обитателей долины между Тигром
и Евфратом и Малой Азии, то геометрия зародилась в Древнем Египте до 1700 до н.э.
Во время сезона тропических дождей Нил пополнял свои запасы воды и разливался.
Вода покрывала участки обработанной земли, и в целях налогообложения нужно было
установить, сколько земли потеряно. Землемеры использовали в качестве
измерительного инструмента туго натянутую веревку. Еще одним стимулом накопления
геометрических знаний египтянами стали такие виды их деятельности, как возведение
пирамид и изобразительное искусство.
Об уровне геометрических познаний можно судить из древних рукописей, которые
специально посвящены математике и являются чем-то вроде учебников, или, вернее,
задачников, где даны решения разных практических задач.
Древнейшая математическая рукопись египтян переписана неким учеником между
1800 – 1600 г.г. до н.э. с более древнего текста. Папирус разыскал русский египтолог
Владимир Семенович Голенищев. Он хранится в Москве - в Музее изобразительных
искусств имени А.С. Пушкина, и называется Московским папирусом.
Другой математический папирус, написанный лет на двести-триста позднее
Московского, хранится в Лондоне. Он называется: „Наставление, как достигнуть знания
всех тёмных вещей, всех тайн, которые скрывают в себе вещи… По старым памятникам
писец Ахмес написал это". Рукопись так и называют „папирусом Ахмеса", или
папирусом Райнда — по имени англичанина, который разыскал и купил этот папирус в
Египте. В папирусе Ахмеса даётся решение 84 задач на различные вычисления, которые
могут понадобиться на практике.