По следу чисел Каталана

1. «По следу чисел каталана»

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ КОНКУРС ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ РАБОТ ОБУЧАЮЩИХСЯ «БУДУЩЕЕ
НАЧИНАЕТСЯ СЕГОДНЯ»
Подсекция: математика, физика, информатика, технология.
«ПО СЛЕДУ ЧИСЕЛ КАТАЛАНА»
Автор: Спиридонов Герман
Сергеевич
Ученик 10 “В” класса
Руководитель: Григорьева Ольга
Валерьевна
Учитель математики
Образовательная организация:
Муниципальное бюджетное
общеобразовательное учреждение

2.

Цель: выяснить, какой след
оставили числа Каталана в науках.
Задачи исследования:
1. Изучить числа Каталана и их
свойства.
2. Исследовать исторический аспект
вопроса.
3. Узнать, где числа Каталана
применяются.
4. Научиться решать задачи с
помощью чисел Каталана.
Методы исследования: анализ различный
источников информации, применение
метода дедукции, составление
логической цепочки и обобщение
полученных результатов.

3. Способ определения n-ого числа Каталана :

СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ N-ОГО ЧИСЛА КАТАЛАНА :
(2n)!
Cn =
(n+1)!n!
С3=5
((())), ()(()), ()()(), (())(), (()())

4. История чисел Каталана:

ИСТОРИЯ ЧИСЕЛ КАТАЛАНА:
Леонард Эйлер
1707 - 1783
Иоганн Зегнер
1704 - 1777
Эжен Шарль Каталан
1814 - 1894

5. Информатика

• Путями
Дика
ИНФОРМАТИКА
называются пути на
клетчатой бумаге,
идущие вверх и
вправо и не
поднимающиеся выше
прямой y=x.
Количество путей
Дика из точки
(0,0) в точку
(n,n) называется
n-м числом
Каталана и
обозначается Cn.

6. Физика

• Числа
Каталана
ФИЗИКА
применяются для
составления модели
Изинга. Модель Изинга
— математическая
модель статистической
физики,
предназначенная для
описания
намагничивания
материала. К примеру,
Квантовый компьютер
компании D-Wave
Systems основан на

7. ХИМИЯ

• Хемо-информатика:
Числа
Каталана дают
количество возможных
структурных изомеров
для алканов
(неразветвлённых
углеводородов)
определённого типа,
если игнорировать
пространственную
изомерию. Они описывают
число способов
соединения атомов
углерода в дерево.

8. На уроке физической культуры

НА УРОКЕ ФИЗИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ
• В классе 2n человек,
которых учитель
физкультуры хочет
красиво выстроить в
прямоугольник 2 x n
человек. Для красоты
каждый ученик должен
быть не выше того, кто
стоит за ним и слева от
него. Сколькими
способами учитель может
расставить людей, если
все они разного роста?

9. В шаге от бездны

В ШАГЕ ОТ БЕЗДНЫ
• Турист стоит на
расстоянии одного шага
от края пропасти. Он
шагает случайным образом
либо к краю утёса либо
от него. На каждом шагу
вероятность отойти от
края равна 2/3, а шаг к
краю имеет вероятность
1/3.Каковы шансы туриста
избежать падения?

10. Решение:

РЕШЕНИЕ:
• p2n+1 = pn+1(1-p)n
1-2-3-2-1-0
1-2-1-2-1-0
• p2n+1 имеет вид:
P2n+1= cnpn+1(1-p)n

11. Из раздела химии

ИЗ РАЗДЕЛА ХИМИИ
• Сколько существует
структурных изомеров
не разветвлённых
алканов (углеводородов
формулы CₙH₂ₙ₊₂) без
учёта пространственной
изомерии (только
углеродный скелет)?
Пример для n=4
(углерода):

12.

Вывод:
В ходе своего исследования я выполнил
все задачи и подтвердил свою
гипотезу. На примере различных наук я
выяснил, что числа Каталана
имеют широкий спектр применения,
который с течением времени и с
развитием
компьютерных технологий
Заключение:
будет только расти.
В своей работе я сделал только первые шаги к
познанию чисел Каталана. Но в настоящее время я
получил дополнительные знания в области математики,
укрепил свой интерес к этой науке. А мною
подобранный материал можно использовать школьникам
при подготовке к Всероссийской олимпиаде или
учителям математики во внеурочной деятельности.