Биномиальное и геометрическое распределения

1.

Биномиальное и
геометрическое
распределения.

2.

Фундаментальные условия схемы
независимых испытаний.
1. Число опытов фиксировано и проходят в одних и тех же
неизменных условиях.
2. Каждый опыт приводит к одному из двух взаимно
исключающих исходов, которые условно называют «УСПЕХ» и
«НЕУДАЧА» - это взаимно несовместные и противоположные
события.
3. Вероятность «успеха» p остается постоянной от испытания к
испытанию. Вероятность «неудачи» – q.
4. Все испытания независимы.

3.

Формула Бернулли
Вероятность того, что в n независимых испытаниях «успех»
наступит ровно m раз, равна
Pn (m) C p q
m
n
m
n m
где p – вероятность «успеха» в каждом испытании, а q = 1 – p,
и m = 0, 1, 2, …, n.
О случайной величине – число «успехов» в n независимых
испытаниях – говорят, что она имеет биномиальное
распределение с параметрами n и p.

4.

Биномиальное распределение
ПРИМЕР 1. Монету подбрасывают 10 раз подряд. Случайная величина X
равна числу испытаний, в которых на монете выпал орёл.
Найдём закон распределения этой величины.
Очевидно, что возможные значения X — это целые числа от 0 до 10.
Чтобы найти вероятности этих значений, рассмотрим наши десять опытов
как серию из 10 испытаний Бернулли. Если считать выпадение орла
успехом, то X — это число успехов в 10 испытаниях Бернулли.
Получается, что вероятность события {X = k} для любого значения k от 0 до
10 можно посчитать по формуле Бернулли:

5.

Подставить в эту формулу значения k = 0, 1, … , 10 и запишем полученные
значения в таблицу

6.

Полученное распределение будет симметричным, а максимальная
вероятность будет достигаться для значения X = 5. Все эти свойства
хорошо видны на графике

7.

ПРИМЕР 2. Кубик подбрасывают 8 раз подряд. Случайная величина Y равна
числу испытаний, в которых на кубике выпала шестёрка.
Найдём закон распределения величины Y. Её возможными значениями
будут целые числа от 0 до 8. Распределение вероятностей между этими
значениями, конечно, будет уже не симметричным. Вряд ли можно
ожидать, что наиболее вероятным количеством шестёрок будет 4.
Если считать выпадение шестёрки успехом, то Y — это число успехов в 8
1
испытаниях Бернулли. Вероятность успеха в каждом испытании равна .
6
Применяя формулу Бернулли, получаем, что вероятность события {Y = k}
будет равна

8.

Вычислим эти вероятности для k = 0, 1, … , 8
Вероятности двух последних значений получились такими маленькими, что
пришлось записывать их в стандартном виде, с умножением на десять в
отрицательной степени.

9.

Наибольшая вероятность достигается здесь для значения Y = 1.
Диаграмма распределения построена на рисунке.

10.

11.

Задача 1
В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении
2:3. Куплено 4 пары обуви. Найти закон распределения
числа купленных пар обуви, изготовленной первой
фабрикой. Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение этой случайной величины.

12.

По условию поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3.
Вероятность того, что случайно выбранная пара обуви изготовлена первой фабрикой,
p = 2 / (2 + 3) = 0,4,
изготовлена не первой фабрикой q = 1 – p = 0,6.
x1 = 0, событие A1 – ни одна пара не изготовлена 1-й фабрикой.
P(X = 0) = P4 (0)=C40 p0 q 4 – 0= 1∙0.40∙0.64=0,1296
x2= 1, событие A2 – одна пара изготовлена 1-й фабрикой
P(X = 1) =P4 (1)=C41 p1 q 4 – 1= 4∙0.41∙0.63= 0,3456
x3 = 2, событие A3 – две пары изготовлены 1-й фабрикой
P(X = 2) =P4 (2)=C42 p2 q 4 – 2 =6∙0.42∙0.62 = 0,3456
x4 = 3, событие A4 – 3 пары изготовлены 1-й фабрикой
P(X = 3) = P4 (3)= C43 p3 q 4 – 3 = 4∙0.43∙0.61= = 0,1536
x5= 4, событие A5 – 4 пары изготовлены 1-й фабрикой
P(X = 4) = P4 (4)= C44p4 q 4 – 4 = 1∙0.44∙0.60 = = 0,0256

13.

Контроль:
p1+ p2+ p3 + p4 + p5 = 0.1296 + 0.3456 + 0.3456 + 0.1536 + 0.0256 = 1
xi
0
1
2
3
4
pi
0,1296
0,3456
0,3456
0,1536
0,0256
По формуле М(Х) = x1 p1 + x2 p2 +…+ xn pn
М (Х) = 0 · 0,1296 + 1 · 0,3456 + 2 · 0,3456 + 3 · 0,1536 + 4 · 0,0256 = 1,6
По формуле
D (X) = M (X2) – (М (Х))2
M(X2)= 02 · 0,1296 + 12 · 0,3456 + 22 · 0,3456 + 32 · 0,1536 + 42 · 0,0256 = 3,52
D (X) = M (X2) – (М (Х))2= 3,52 – 2,56 = 0,96.

14.

Свойства биномиального распределения.
P ( Х m) C p q
m
n
m
n m
Математическое ожидание биномиального
распределения M(X) = np.
Дисперсия равна: D(X) = npq.

15.

Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение этой случайной величины,
используя свойства биноминального распределения.
M(X) = np = 4 ·0,4=1,6.
Дисперсия равна: D(X) = npq = 4 ·0,4·0,6=0,96.
Среднее квадратическое отклонение
σ(X)=