Трёхгранный угол

1. Тема урока:

Трёхгранный угол

2.

Определение
Трёхгранный угол – это часть пространства, ограниченная
тремя углами с общей вершиной, не лежащих в одной
плоскости и имеющими попарно общие стороны
∠OEFG — трёхгранный угол
О — вершина трёхгранного угла
OE, OF, OG — рёбра
∠EOF, ∠EOG, ∠GOF — плоские
углы (грани трёхгранного угла)
углы GOEF, EOFG, EOGF —
двугранные углы
O
E
F
G

3.

Свойство
Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы
двух других плоских углов
Дано:
OEFG — трёхгранный угол
(OE – общая, OS = OR — по
построению, ∠EOG = ∠EOS) ⇒
Доказать:
⇒ ES = ER ⇒ SF < RF
∠EOF < ∠EOG + ∠GOF
3) EF < ER + RF,
Доказательство:
где EF = ES + SF и ES = ER
∠EOF ≥ ∠EOG ≥ ∠GOF
4) ON — биссектриса ∠SOR
I. Если EOF = EOG ⇒
∆OSR — равнобедренный
∠EOF < ∠EOG + ∠GOF ⇒
OS = OR ⇒ ON — медиана и
∠EOF < ∠EOF + ∠GOF
высота
II. Если EOF > EOG ⇒
E
SN = NR, ON ⏊ SR ⇒ ON ∩ ER
1) Построим S ∈ EF, где
∠EOG = ∠EOS и ∠ EOG < ∠ EOF ∠ROF = ∠RON + ∠NOF ⇒ ∠SOF < ∠ROF
⇒ S находиться между E и F ∠EOF = ∠EOS + ∠SOF = ∠EOG + ∠SOF < ∠EOR
+ + ∠ROF = ∠EOG + ∠GOF
2) R ∈ OG, где OS = OR ⇒
Что и требовалось доказать
⇒ ∠EOR = ∠EOS
O
O
F
S
N
R
G
R
S
F

4.

Задача 1
T
Дано: TMNL — трёхгранный угол
T — вершина угла
Доказать, что:
Доказательство:
1) Построим ∆MNL ⇒ по св-ву трёхгран.угла
∠TML + ∠TMN > ∠LMN
+ ∠TLM + ∠TLN > ∠MLN
⇒
∠TNL + ∠TNM > ∠LNM
∠TML + ∠TMN + ∠TLM + ∠TLN + ∠TNL + ∠TNM >
∠LMN + ∠MLN + ∠LNM
1800 - ∠MTL + 1800 - ∠MTN + 1800 - ∠NTL > 1800
L
M
- ( ∠MTL + ∠MTN + ∠NTL ) >1800 - 5400
- ( ∠MTL + ∠MTN + ∠NTL ) > - 3600
N
Ч.т.д.

5. Домашнее задание

• П. 25-26 прочитать и выучить, теорему
из п.26 оформить с доказательством
самостоятельно
• № 211
• Повторить п. 22-23 определения и
теорему

6.

Свойство
Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы
двух других плоских углов
Дано:
O
OEFG — трёхгранный угол
Доказать:
∠EOF < ∠EOG + ∠GOF
O
Доказательство: оформить самостоятельно по учебнику
F
S
E
N
R
G
R
S
F