Нормы систем и синтез регулятора (H₂/H∞)

1.

2.

Представляют интерес следующие вопросы
• Как определить возможную реакцию системы на возмущения?
• Существует ли процедура расчета наихудшей возможной реакции
системы?
• Как оценить качество регулятора и обратной связи?

3.

НОРМА СИСТЕМЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ НОРМЫ СИСТЕМЫ

4.

5.

A = [0 1; -10 -1]; B = [0; 1];
C = [1, 0]; D=0;
sys = ss(A,B,C,D);
impulse(sys), grid on
norm(sys,2)
ans = 0.2236
[y,t]=impulse(sys);
sqrt(trapz(t,y.^2))
ans = 0.2236

6.

7.

sys2=[tf(1,[1 1]) tf(1,[2 1]); tf(2,[1 1]) tf(2,[2 1])]
Transfer function from input 1 to output...
1
#1: ----s+1
2
#2: ----s+1
Transfer function from input 2 to output...
1
#1: ------2s+1
2
#2: ------2s+1
>> norm(sys2,2)
ans = 1.9365
>> [y,t]=impulse(sys2);
>> sum=0;for i=1:2;for j=1:2;sum=sum+trapz(t,y(:,i,j).^2);end;end;sqrt(sum)
ans = 1.9473

8.

9.

A = [0 1; -10 -1]; B = [0; 1];
C = [1, 0]; D=0;
sys = ss(A,B,C,D);
norm(sys,inf)
ans = 0.3203
bodemag(sys,0.1,10), grid on
10^(-9.94/20)
ans = 0.3184

10.

11.

sys2=[tf(1,[1 1 1]) tf(1,[2 1]); tf(2,[1 1]) tf(2,[2 1 1])]
sys2 =
From input 1 to output...
1
1: ----------s^2 + s + 1
2
2: ----s+1
From input 2 to output...
1
1: ------2s+1
2
2: ------------2 s^2 + s + 1
Hinf=norm(sys2,inf)
Hinf = 3.6467
figure(2), sigma(sys2); grid on
(20*log10(Hinf))
ans = 11.2381
sv = sigma(sys2,[0.60 0.61])
sv =
3.6468 3.6425
0.6895 0.7045

12.

Система задана передаточной функцией
Вычислить двумя способами
и
при
Сравнить результаты. Сделать выводы.

13.

Задана система
Ее представление в пространстве состояний
Вычислить двумя способами
Сравнить результаты. Сделать выводы.
и
при

14.

Описание в частотной области задачи
проектирования регулятора ( SISO случай)
На схеме К – синтезируемый регулятор, Ро – заданный объект управления
Сигналы в определенных точках обозначены следующим образом:
r = задание, d= помеха, n= шум измерения, e= ошибка, u= выход регулятора
(управление), yp= выход объекта управления.
Преобразуем схему к стандартному для таких задач LFT-виду
Эта схема соответствует «современной»
H2 или H∞ парадигме. w и u - экзогенный
вход и управляющий сигнал, z и v - экзогенный
выход и измеренный выход (данные для
регулятора)

15.

Результат преобразования

16.

K и P – синтезируемый регулятор и заданный объект управления
• r - задание,
• up и y вход и выход объект управления,
• di и d возмущения на входе и выходе объекта управления,
• n - шум измерения

17.

18.

Итак
Группируя, получаем

19.

Окончательно

20.

Наиболее важные
передаточные функции
S(s) - выходная чувствительность
(Output sensitivity)
T(s) - дополнительная выходная
чувствительность
(Output complementary sensitivity)
Задание на синтез регулятора обычно формулируется
как требования для S(s), T(s), и далее преобразуется
в требования к L(s), а затем к K(s)

21.

1. Преобразовать схему к стандартному LFT-виду
2. Определить L(s), T(s), S(s)
3. Выразить каждый выходной сигнал через входные

22.

Выразить каждый выходной
сигнал через входные