Производные и их применение в математике

1. Производные и их применение в математике

Куимов В.Д.
Школа№31
Ученика класса 10А

2.

Понятие
производной
функции
• Производная функции одной переменной — это
характеристика, показывающая, насколько быстро
меняется значение функции при изменении
аргумента.
• По сути, производная — это мгновенная скорость
изменения. Условно говоря, функция показывает
путь автомобиля, а её производная — скорость
движения в это время

3. Смысл

• Геометрический смысл: производная в точке равна тангенсу угла наклона
касательной к графику функции в этой точке. Если касательная направлена
вверх, производная положительна, если вниз — отрицательна. Если касательная
горизонтальна, производная равна нулю, что соответствует точке максимума
или минимума функции.
• Физический смысл: производная показывает скорость изменения величины во
времени. Иными словами, скорость — это производная пути по времени,
ускорение — производная скорости. Например, если автомобиль двигается и
разгоняется, его путь S(t) — кривая, а наклон касательной к этому графику в
любой момент времени даёт скорость v(t) = S′(t).

4. График производной функции

• Понимание того, как выглядит график производной, помогает быстро находить ключевые
особенности функции. В первую очередь — точки экстремума. Такие точки легко заметить
на графике производной: там она пересекает ось x — значение равно 0, а знак значения
производной меняется.
Чтобы построить график производной по графику функции, нужно выполнить три шага:
1. Определить точки, где касательная горизонтальная. Там производная равна нулю, на исходной
кривой это экстремумы.
2. Определить знак производной на разных участках. Положительный наклон касательной значит,
что она выше оси x, а отрицательный — что ниже.
3. Оценить относительные значения. Чем круче наклон касательной, тем больше по модулю
значение производной.
В экстремумах производная равна нулю, но не каждый ноль производной является экстремумом.
Знак производной на промежутках между нулями показывает, возрастает функция или убывает.

5.

График производной
функции
• Угол α показывает наклон
касательной: чем он больше, тем
выше значение производной.
Величина df (x, Δx) — это
дифференциал функции, то есть
приращение, рассчитанное
по касательной, которое
приближает реальное Δf при
малом Δx

6. Свойства производной

Свойства производной помогают понять, как ведёт себя функция, не выполняя
сложных вычислений. Они позволяют определить участки роста и убывания,
найти экстремумы и выявить особенности графика. Разберём основные
из них.
Связь с непрерывностью. Если функция дифференцируема в точке, она
должна быть в ней непрерывна. Но не наоборот: непрерывная функция может
иметь «излом» и не иметь производной. Например, f (x) = ∣x∣ непрерывна
в нуле, но производной в нуле нет.
Признак экстремума (теорема Ферма). Когда в точке x0 функция имеет
локальный максимум или минимум и дифференцируема, тогда f′(x0) = 0.
К примеру, для f (x) = −x2 + 4 максимум достигается при x = 0 и f′(0) = 0.
Характер функции по знаку производной. В случае f′(x) > 0 на интервале
функция возрастает. А если f′(x) < 0, тогда убывает. Но ноль производной
не всегда означает экстремум. Например, у f (x)=x3 производная f′(x)=3x2 будет
≥0 и обращается в ноль при x = 0. Это точка перегиба, после неё функция
продолжает возрастать.
Влияние величины производной. Чем больше её модуль, тем быстрее
изменяется функция. Наклон касательной к графику будет тем круче, чем
больше значение производной по модулю.

7.

Эти четыре правила позволяют вычислить производную практически любой сложной
функции, комбинируя базовые формулы так же, как из отдельных деталей собирают целый
механизм

8. Правило вычисления производных

• В математике существуют правила вычисления производных (правила дифференцирования) — принципы,
позволяющие находить производные сложных функций путём разложения их на более простые составляющие. Также
для удобства вычисления производных существует таблица производных — справочный инструмент, содержащий
производные основных математических функций: степенных, тригонометрических, показательных и логарифмических.
Правила:
• Некоторые базовые правила вычисления производных:
• Производная суммы или разности функций равна сумме (или разности) их производных: (u + v)’ = u’ + v’, (u — v)’ = u’ —
v’.
• Вынесение константы за знак производной: если функция умножается на число (константу), то это число можно
вынести за знак производной: (c ⋅ f)’ = c ⋅ f’.
• Производная произведения функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую функцию и
первой функции на производную второй функции: (u · v)’ = u’ · v + u · v’.
• Производная частного двух функций представляется дробью: в числителе — разность произведений производной
числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя, в знаменателе — квадрат знаменателя: (u/v)’ = (u'
· v − v' · u) / v².
• Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по её аргументу на производную
внутренней функции: (f(g(x)))’ = f'(g(x)) ⋅ g'(x).

9. Где применяются производные

• Физика
Производные используются для описания скорости изменения величин в физических процессах.
Описание движения тела. Скорость — это производная от координаты тела по времени, ускорение — производная от скорости (или вторая
производная от координаты).
Вычисление скорости изменения других величин. Например, мощность — это производная от работы по времени, теплоёмкость —
производная теплоты по температуре.
Описание силы тока. Сила тока — это производная от величины заряда по времени.
Вычисление скорости радиоактивного распада. Скорость радиоактивного распада — это производная от количества атомов вещества по
времени, взятая с отрицательным знаком.
• Химия
Производные применяются для анализа и понимания различных динамических процессов в химии.
Кинетика химических реакций. Производные описывают скорость реакции, которая может быть выражена как производная концентрации
реагентов или продуктов по времени.
Профили изменения концентрации. Производные позволяют создавать кинетические модели изменения концентраций веществ во
времени, что важно для понимания механизмов реакций.
Термодинамика. Связь между изменением термодинамических свойств, таких как давление, температура и объём, также анализируется с
использованием производных.

10. Где применяются производные

• Экономика
Производные используются для анализа и оптимизации различных экономических процессов и моделирования поведения рынка.
Анализ предельных величин. Например, производная функции издержек по количеству продукции показывает дополнительную стоимость
производства ещё одной единицы продукции, производная функции дохода — дополнительный доход от продажи ещё одной единицы
продукции.
Решение задач по экономической теории. Знание производной позволяет решать вопросы минимизации убытков, максимизации прибыли,
нахождения оптимального выпуска продукции предприятия и т. д.
Поиск экстремумов функций с помощью производных помогает предприятиям минимизировать издержки, максимизировать прибыль и
эффективно распределять ресурсы.
• Информатика
Производные применяются в области информатики, особенно в контексте алгоритмов машинного обучения и нейронных сетей.
Роль производных в алгоритме обратного распространения ошибки — он является ключевым элементом в оптимизации весов нейронных
сетей. Вычисление производных помогает понять, как изменения в весах влияют на выходы сети.
Использование производных в алгоритмах оптимизации. Например, методы, основанные на градиентном спуске и его модификациях, которые
напрямую используют производные для улучшения точности моделей.
Применение производных в машинном обучении вне контекста нейронных сетей. Изучаются различные аспекты обучения моделей, такие как
регрессия и методы классификации, где ключевую роль играют вычисляемые градиенты.
Использование производных в дифференцируемом программировании — парадигме программирования, которая использует автоматическое
дифференцирование для вычисления производных функций с учётом входных значений программы. Это позволяет провести оптимизацию
параметров программы с помощью градиентных методов.

11. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ