Презентация

1. Логарифмическая спираль в природе. Ее математические свойства.

Выполнил
Недопекин.В

2. Логарифмическая спираль

Кривая, которая пересекает все лучи, выходящие
из одной точки О, под одним и тем же углом.
Логарифмическая спираль

3. История создания

Первым, кто описал ее как механическую
кривую был Декарт, который в 1638 г.
написал монаху Мерсенну о результатах
своих исследований.
Декарт искал возрастающую кривую,
обладающую
свойством,
подобным
свойству
окружности,
так
чтобы
касательная в каждой точке образовывала
с радиус-вектором в каждой точке всегда
один и тот же угол.

4. Свойства логарифмической спирали

1. Угол, составляемый касательной в произвольной точке
логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания, постоянный
и зависит лишь от параметра .
2. Параметр m определяет, насколько плотно и в каком направлении
закручивается спираль. В предельном случае, когда =0 спираль
вырождается в окружность радиуса . Наоборот, когда стремится к
бесконечности ( спираль стремится к прямой линии. Угол, дополняющий
до 90°, называется наклоном спирали
3. Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается,
но их форма остаётся неизменной.
4. Если угол возрастает или убывает в арифметической прогрессии, то
возрастает (убывает) в геометрической.

5. Уравнение логарифмической спирали

r=aϕ
r — расстояние от точки, вокруг которой закручивается
спираль (её называют полюсом), до произвольной точки на
спирали;
ϕ — угол поворота относительно полюса,
а — постоянная.

6. Применение логарифмической спирали в природе

Галактики, штормы и
ураганы дают
впечатляющие примеры
логарифмических
спиралей.
Примеры спиралей
раковин, улиток и
моллюсков.

7. Применение логарифмической спирали в технике

По логарифмической спирали
изгибают трубу, подводящую
поток воды к лопастям турбины.
Пружина амортизатора автомобиля
это ничто иное как растянутая
логарифмическая спираль.

8. Применяется в различных областях

В технике
В природе
В искусстве
Вращающиеся ножи в различных режущих машинах
имеют профиль, очерченный по дуге спирали.
Створ дерева растёт по логарифмической спирали,
рога у большинства горных козлов, усики растений
закручиваются по ней, траектория полёта бабочки,
раковины моллюсков и улиток, большинство пауков
плетут свою паутину по логарифмической спирали.
Сальвадор Дали нарисовал некоторые свои
картины по линиям логарифмической спирали.
Картина «Кружевница» полностью нарисована по
типу этой спирали.

9. Заключение

Важность логарифмической спирали в математике
заключается в том, что она помогает составить
математическую модель того или иного явления.
Например, математики отмечают, что трёхмерные
геометрические фигуры легко трансформируются в
соответствии с формулой логарифмической спирали
золотого сечения.