Методы оптимизации в прикладной математике: историческое развитие и современные применения

1.

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Тульский государственный университет»
Институт прикладной математики и информатики
Кафедра прикладной математики и информатики
ИСТОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
Реферат
направление 01.03.02
Прикладная математика и информатика
Методы оптимизации в прикладной математике: историческое развитие
и современные применения
(тема работы)
Студент группы 221211
Руководитель работы
Борисов А.В.
(фамилия и инициалы)
доцент Смирнов О.И.
(уч. степень, фамилия и инициалы)
Тула, 2025

2.

Введение
Оптимизация — поиск наилучшего решения при
заданных ограничениях.
Ключевые области применения:
Инженерия, экономика, ИИ, медицина, логистика.
Цель презентации:
Проследить эволюцию методов от античности до
современных алгоритмов.
Показать роль оптимизации в технологиях и науке.

3.

Историческое развитие (Античность — XIX
век)
Античность:
Архимед: задачи на минимизацию поверхности
сферы.
Евклид: геометрические методы.
Средневековье:
Аль-Хорезми: алгоритмы решения уравнений.
XVII–XIX вв.:
Ньютон и Лейбниц: дифференциальное исчисление.
Лагранж: метод множителей.
Гаусс и Лежандр: метод наименьших квадратов.

4.

XX век — революция оптимизации
1940-е:
Дж. Данциг: симплекс-метод (линейное
программирование).
Нелинейные методы:
Градиентный спуск, алгоритмы Ньютона.
Новые направления:
Теория игр (Дж. Нэш), динамическое
программирование (Р. Беллман).
Роль компьютеров:
Решение многомерных задач в экономике и
инженерии.

5.

Основные классы методов оптимизации
-Линейное программирование:
Симплекс-метод, алгоритмы внутренней точки.
-Нелинейное программирование:
Градиентные методы, метод штрафных
функций.
-Стохастические методы:
Генетические алгоритмы, имитация отжига.
-Выпуклая оптимизация:
ADMM для Big Data и нейросетей.

6.

Применение в машинном обучении
Градиентный спуск:
Обучение нейронных сетей (Adam, RMSProp).
Примеры задач:
Классификация изображений, NLP.
Big Data:
Распределенные вычисления с использованием
ADMM.

7.

Применение в разных сферах
-Экономика и финансы
Модель Марковица:
Оптимизация портфеля (риск vs доходность).
Теория игр:
Равновесие Нэша в микроэкономике.
-Инженерия и проектирование
Аэрокосмическая отрасль:
Топологическая оптимизация (минимум веса, максимум прочности).
Энергетика:
Оптимальное распределение нагрузки между электростанциями.
Робототехника:
Планирование траекторий с учетом препятствий.
-Транспорт и логистика
Задача коммивояжера (TSP):
Решение с помощью генетических алгоритмов.
Муравьиные алгоритмы:
Оптимизация маршрутов грузоперевозок.
Городское планирование:
Проектирование сетей общественного транспорта.
-Медицина и биология
Молекулярный докинг:
Поиск оптимальной структуры белков.

8.

Заключение
Оптимизация — мост между теорией и
практикой.
Будущее:
Роль в борьбе с изменением климата,
цифровизации, развитии ИИ.
Успех зависит от:
Междисциплинарного подхода, вычислительных
мощностей, этических стандартов