Отношения. Функции. Отображения (продолжение)

1. 2. Отношения. Функции. Отображения (продолжение)

2. 2.3. Отношения эквивалентности. Отношения порядка

3.

Отношение эквивалентности – бинарное отношение, являющееся
рефлексивным, симметричным и транзитивным.
Примеры отношений эквивалентности: отношения равенств;
параллельности прямых; отношение между элементами множества всех
многоугольников – "имеют одинаковое число углов"; отношение
принадлежности к одной студенческой группе на множестве студентов
института.
Классом эквивалентности, порожденным элементом х, называется
подмножество множества Х, состоящее из тех элементов у Х, для которых
х у – класс эквивалентности порожденный элементом х, обозначается через
[х]: [х] = {у‫ ׀‬у Х и х у}.
Примеры. 1) Множества подобных друг другу треугольников; в разных
классах – треугольники разной формы.
2) Для отношения принадлежности к одной студенческой группе
классом эквивалентности является множество студентов этой группы.

4.

Разбиением множества Х называется совокупность попарно
непересекающихся подмножеств Х таких, что каждый элемент множества Х
принадлежит одному и только одному из этих подмножеств.
Примеры разбиений множества.
1) Х = {1, 2, 3, 4, 5}, тогда {{1, 2}, {3, 5}, {4}} – разбиение множества Х.
2) Пусть Х – множество студентов института. Тогда разбиением
этого множества является, например, совокупность студенческих групп.
Отношения порядка – важный тип бинарных отношений. Отношение
строгого порядка – бинарное отношение, являющееся антирефлексивным,
антисимметричным и транзитивным: Примерами могут служить
отношения: "больше", "меньше", "старше" и т.п. Для чисел обычное
обозначение – знаки <, >.

5.

Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение
называется отношением частичного (нестрогого) порядка на множестве Х и
обозначается символом .
Примеры отношений частичного порядка.
1) Отношение х у на множестве R есть отношение частичного
порядка.
2) Во множестве подмножеств некоторого универсального множества
U отношение А В есть отношение частичного порядка.
3) Схема организации подчинения в учреждении отношение частичного
порядка на множестве должностей.

6.

Отношение частичного порядка на множестве Х, для которого любые
два элемента сравнимы, то есть для любых х, у Х х у или у х,
называется отношением линейного порядка.
Примеры отношений линейного порядка. 1) Отношение х у на
множестве R есть отношение линейного порядка.
2) Во множестве подмножеств некоторого универсального множества
U отношение А В не является отношением линейного порядка.

7. 2.4. Функции и отображения.

8.

Функцией называется любое функциональное соответствие между
двумя множествами. Если функция f устанавливает соответствие между
множествами А и В, то говорят, что функция f имеет вид A→B (обозначение
f : A→B). Каждому элементу a из своей области определения функция
ставит в соответствие единственный элемент b из области значений. Это
записывается в традиционной форме f(a)=b. Элемент a называется
аргументом функции, элемент b – её значением.
Полностью определённая функция f : A→B называется отображением
А в В; образ множества А при отображении обозначается f(А). Если при
этом f(А)=В, то есть соответствие сюръективно, говорят, что имеет
отображение А на В.
Если f(А) состоит из единственного элемента, то называется функциейконстантой.
Отображение типа A→А называется преобразованием множества А.

9.

Примеры.
а) Функция f(x)=2x, х N является отображением множества
натуральных чисел в себя (инъективная функция). Эта же функция при всех
х Z является отображением множества целых чисел в множество
рациональных чисел.
б) Функция f(x)=|x|, х Z\0 является отображением множества целых
чисел (кроме числа 0) на множество натуральных чисел. Причём в данном
случае соответствие не является взаимно однозначным.
в) Функция f(x)=x3, х R является взаимнооднозначным отображением
множества действительных чисел на себя.
г) Функция f(x)= x, не полностью определена, если её тип N→N, но
полностью определена, если её тип N→R или R+→R.

10.

Функция типа A1×A2×…×An называется n-местной функцией. В этом
случае принято считать, что функция имеет n аргументов: f(a1,a2, …,an)=b ,
где a1 A1, a2 A2, …, an An, b B.
Например, сложение, умножение, вычитание и деление являются
двухместными функциями на R, то есть функциями типа R2→R.
Пусть дано соответствие G A×B. Если соответствие H A×B таково,
что (b,a) H тогда и только тогда, когда (a,b) G , то соответствие называют
обратным к G и обозначают G-1.
Если соответствие, обратное к функции f : A→B является
функциональным, то оно называется функцией, обратной к f.
Пусть даны функции f : A→B и g : B→C. Функция h : A→C называется
композицией функций f и g (обозначается f ο g ), если имеет место
равенство: h(x)=g(f(x)), где x A. Композиция функций f и g представляет
собой последовательное применение этих функций: g применяется к
результату f. Часто говорят, что функция получена подстановкой f в g .

11.

Для многоместных функций f : Am→B, g : Bn→C возможны различные
варианты подстановок f в g, дающие функции различных типов. Особый
интерес представляет случай, когда задано множество функций типа:
f1 : An1→A, …, fm : Anm→A.
В этом случае возможны, во-первых, любые подстановки функций друг
в друга, а во-вторых, любые переименования аргументов. Функция,
полученная из данных функций f1, …, fm некоторой подстановкой их друг в
друга и переименованием аргументов, называется их суперпозицией.