М5Функции

1.

Функции

2.

1. Понятие функции
Функция (отображение) – бинарное отношение f ⊆ X Y,
обладающее свойством однозначности:
(x,y1)∈f, (x,y2)∈f ⇒ y1=y2.
(второй элемент пары однозначно определяется первым).
Обозначение: f:X Y, y=f(x).
x∈X – аргумент (прообраз элемента y),
y∈Y – значение функции (образ элемента x).
Свойство однозначности: у всякого прообраза есть
единственный образ.
Если аргумент – упорядоченный набор n переменных, то это
функция n переменных.

3.

1. Понятие функции
Область определения fx={x∈X ∃ y∈Y: y=f(x)} ⊆ X.
Если fx = X, функция называется тотальной, иначе – частично
определенной.
Область значения fy={y∈Y ∃ x∈X: y=f(x)} ⊆ Y.
Если fy = Y, функция называется сюръекцией.
Инъекция: (x1,y)∈f, (x2,y)∈f ⇒ x1=x2
(у каждого образа есть единственный прообраз).
Биекция (взаимно однозначное соответствие) – функция,
одновременно инъективная и сюръективная.
Если функция инъективна, то обратное ей отношение тоже
является функцией.

4.

1. Понятие функции
Утверждение. Если f:X Y тотальная биекция, то f-1:Y X также
тотальная биекция.
Доказательство:
1. f-1 – функция:
(y,x1)∈f -1, (y,x2)∈f -1 ⇒ (x1,y)∈f, (x2,y)∈f ⇒ y=f(x1), y=f(x2).
f – инъекция ⇒ x1=x2 ⇒ f-1 – функция.
2. f-1 тотальна:
f – биекция ⇒ f – сюръекция ⇒ fx-1 = Y ⇒ f-1 тотальна.
3. f-1 сюръекция:
f тотальна ⇒ f – сюръекция ⇒ fy-1 = X ⇒ f-1 сюръекция.
4. f-1 инъекция:
От противного: пусть ∃ y1,y2∈Y, y1 y2, ∃ x∈X: (y1,x)∈f -1,
(y2,x)∈f -1 ⇒ (x,y1)∈f, (x,y2)∈f ⇒ f не функция⇒ fx-1 = Y ⇒
⇒ противоречие ⇒ f-1 инъекция ⇒ f-1 биекция .

5.

2. Композиция функций
f:X Z
z=f(x);
g:Z Y
y=f(z).
f○g={(x,y) x∈X, y∈Y , z∈Z : (x,z)∈f, (z,y)∈g} =
= {(x,y) ∃ z∈Z : z=f(x), y=g(z)} = {(x,y) y=g(f(x))} .
Композиция функций – также функция.
Утверждение. Композиция ассоциативна.
Доказательство:
(f○g)(x)○h(x) = h(f○g)(x)=h(f(g(x)))
f○(g○h)(x)=(g○h)(f(x))= h(g(f(x)))

6.

2. Композиция функций
Утверждение. Композиция взаимно однозначных функций есть
взаимно однозначная функция и (f○g)-1=g-1○f-1.
Доказательство:
1. (f○g)-1=g-1○f-1 верно для бинарных отношений, а
композиция функций есть бинарное отношение.
2. Если (f○g)(x1)= (f○g)(x2), то g(f(x1))= g(f(x2))=y.
g взаимно однозначная ⇒ f(x1)= f(x2);
f взаимно однозначная ⇒ x1= x2 ⇒
⇒ f○g взаимно однозначная функция.

7.

3. Ядро функции
Ядро функции Kerf= f○f-1⊆ X X.
Если y=f(x) биекция, то x =f-1(x) определяется однозначно.
f○f-1(x) = f-1(f(x)) = f-1(y) = x ⇒ f○f-1(x) = Ix.
Ядро биективной функции – это тождественное
отображение области определения функции на нее же.

8.

3. Ядро функции
Утверждение . Ядро функции – это отношение эквивалентности
на области определения функции.
Доказательство:
1. Пусть (x1, x2) ∈f○f-1 ⇔
⇔ ∃y: (x1,y) ∈f, (y,x2) ∈f-1 ⇔
⇔ ∃y: (x1,y) ∈f, (x2,y) ∈f ⇔
⇔ f(x1)=y, f(x2)=y ⇔
⇔ f(x1) = f(x2).
Пара элементов принадлежит ядру ⇔ у элементов этой
пары один и тот же образ.
2. f○f-1 рефлексивно:
f(x1) = f(x2) ⇔ (x,x) ∈Ker f.

9.

3. Ядро функции
3. f○f-1 симметрично:
Если f(x1) = f(x2), то f(x2) = f(x1), ⇒
⇒ (x1,x2) ∈Ker f, то (x2,x1) ∈Ker f.
4. f○f-1 транзитивно:
Если f(x2) = f(x1) и f(x2) = f(x3) , то f(x1) = f(x3), ⇒
⇒ если (x1,x2) ∈Ker f и (x2,x3) ∈Ker f, то (x1,x2) ∈Ker f.
5. Ядро f○f-1 рефлексивно, симметрично и транзитивно
⇒ оно делит множество на непересекающиеся непустые
классы эквивалентности.
Класс эквивалентности состоит из всех элементов
области определения, имеющих один и тот же образ.

10.

3. Ядро функции
Соответствие X/Kerf Imf= f○f-1⊆ X X – тотальная биекция,
где:
X/Kerf – фактор-множество области определения X
функции f по её ядру Kerf
Imf –
область значений функции f.

11.

ВОПРОСЫ?