Similar presentations:
Лекция_11_12_Математический_анализ_Непрерывность_функций
1.
Математический анализ (2)• Бесконечно малые и бесконечно
большие функции
• Замечательные пределы
• Непрерывность функции
2.
Ограниченность функции, имеющейпредел.
Определение.
Функция
называется
Пример.
ограниченной на множестве D, если
Функция
Теорема.
1)
2)
3)
4)
5)
На множестве (1.2) – ограниченная;
На множестве (0.1) - ограниченная снизу;
На множестве (-1.1) – неограниченная;
На множестве (1. ) – ограниченная;
На множестве (0, ) ограниченная снизу.
y
3
2
1
0
-1
1
2
3
х
3.
Теорема (о разности между функцией и еепределом)
где
при
- бесконечно малая
1. Прямая теорема:
–
(необходимость)
2. Обратная теорема:
(достаточность)
где
при
где
при
- бесконечно малая
- бесконечно малая
4.
Доказательство прямой теоремы.
Доказательство обратной теоремы.
где
при
- бесконечно малая
5.
Бесконечно малые величины.(Повторение)Переменная
называется бесконечно малой величиной при
, если
То есть
Например,
(Геометрическую интерпретацию бесконечно малой величины см. ранее, при
определении предела).
6.
Основные свойства бесконечно малыхвеличин.
Пусть
и
- бесконечно малые
при
Тогда при
– 1.
- бесконечно малая
величина.
– 2.
-бесконечно малая
величина.
3.
- бесконечно малая
величина, если
ограниченная
функция.
Доказательство 1 свойства (для суммы).
1.Обозначим
2.Возьмем число
положительное число.
3.Из определения бесконечно малых величин
следует:
Тогда
Д.з. Докажите
свойство 3.
,где
произвольное
7.
СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ.Пусть существуют
• Тогда:
• 1.
Доказательство 1 свойства.
1.
где
2.
и
- бесконечно малые при
• 2.
• 3. Если
число
бесконечно малая
Следовательно
• то
Д.з. Докажите
свойство 2.
8.
Свойства пределов (продолжение)4. Предел постоянной равен самой постоянной.
5. Постоянной множитель можно выносить за знак
предела.
9.
Бесконечно большие величины.4. Бесконечно большие величины при
–
–
–
–
y
.
Определение.
Функция
называется
бесконечно большой при
если
M
0
Связь бесконечно больших
и бесконечно малых величин.
Теорема 1.
Если
- бесконечно большая величина при
то
- бесконечно малая величина.
-M
,
х
10.
Пример2x+5 является бесконечно большой величиной при
11.
Теорема 2.
Если
то
Доказательство.
1. Возьмем произвольное
и обозначим
2. Так как
Следовательно
,то
- бесконечно малая величина при
- бесконечно большая величина.
12.
5. Бесконечно большие при
–
Определение.
–
Геометрическая интерпретация.
.
y
M
-N
0
N
х
х
13.
Типы неопределенностей• Вычислить предел
• Существуют неопределенности вида
14.
Признаки существования пределов.Теорема 1.
Пусть
Геометрическая интерпретация.
y
0
х
15.
16.
Первый замечательный предел.C
B
Доказательство.
1.
2.
3.
0
OBA
OBA
OCA
D
A
17.
4.
5.
6. По первому признаку существования предела:
18.
ПустьОбозначим
19.
20.
Второй замечательный предел.–
1.
–
2. Утверждения:
–
3. По теореме о возрастающей и ограниченной функции:
21.
22.
Следствия второго замечательного предела.1). Если x – действительное число, то
23.
24.
Натуральные логарифмы.Логарифмы с основанием e называются натуральными логарифмами.
25.
Гиперболические функцииГиперболический синус
Гиперболический косинус
26.
Гиперболический тангенсГиперболический котангенс
27.
Из определений следуют формулы:28.
Сравнение бесконечно малых.Определения.
Пусть
Тогда:
- бесконечно малые при
–
1. Если
, то говорят,
–
что бесконечно малая
–
высокий порядок малости, чем
–
2. Если
–
что бесконечно малая
–
более высокий порядок малости, чем
–
3. Если
–
, то говорят, что бесконечно малые
–
имеют одинаковый порядок малости.
имеет более
Обозначение:
, то говорят,
имеет
Обозначение:
4. Если
,то
бесконечно малые
называются эквивалентными.
Обозначение:
29.
Сравнение бесконечно малых.Свойства эквивалентных бесконечно малых.
– 1.
Доказательство свойства 1:
– 2.
– 3.
Доказательство свойства 4:
– 4.
Необходимость:
1.
2.
Д.з. Доказать достаточность.
30.
Доказательство свойства 3:предел бесконечно малых не изменится, если их заменить
на эквивалентные
так как
и
31.
Свойство 5• Если
есть бесконечно малая высшего порядка, чем
, т.е.
,то
Доказательство
то есть
32.
Практический вывод• При раскрытии неопределенности типа
бесконечно малые
сомножители можно заменять на эквивалентные.
• Бесконечно малые слагаемые можно отбрасывать.
• Пример.
33.
Таблица эквивалентных бесконечно малых• При
• 1.
• 2.
(следует из 1 замечательного предела)
• 3.
• Сделаем замену
тогда
34.
Продолжение таблицы эквивалентныхбесконечно малых
• 4.
• 5.
• 6.
• так как
35.
Продолжение таблицы эквивалентныхбесконечно малых
Аналогично докажем
7.
Замена
8.
9.
Частный случай
, тогда
36.
Продолжение таблицы эквивалентныхбесконечно малых
• 10.
37.
Пример38.
Сравнение бесконечно малых.Примеры.
1.
2.
3.
39.
40.
41.
42.
• Наличиесвязано с равенством
левого и правого пределов функции в
точке
, то есть
43.
Из определения следует, что в точке непрерывностиможно менять местами символы функции и предела, т.е.
Действительно,
Пример.
44.
Определение 245.
Рисунок ко второму определению непрерывности46.
47.
Оба определения непрерывности функциив точке эквивалентны.
Доказательство. Из 1
2
Пусть
, тогда по теореме о разности между
функцией и ее пределом будет:
, где
- бесконечно малая при
Но
малой при
является бесконечно
.
48.
Непрерывность основных элементарныхфункций в точках области определения
Основные элементарные функции непрерывны в каждой
точке, в которой они определены.
Доказательство для
Использовано:
49.
Теоремы о непрерывности суммы, разности,произведения и частного двух непрерывных
функций
50.
Доказательство для произведения.Пусть
51.
52.
53.
54.
55.
Непрерывная функция56.
57.
Примерx = 0 - точка разрыва
• X=0 - точка разрыва I рода (скачок)
58.
59.
Пример• Рассмотрим функцию
, x=0 -точка разрыва
• Значит x=0 - точка разрыва I рода.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
• Если функция непрерывна на замкнутом интервале, тоона принимает на нем любое значение, заключенное
между ее наибольшим и наименьшим значениями на
этом интервале.