082cbb32c7a9f7495d517bb0069a6d8d (1)

1.

l
n

2.

Планиметрия
Стереометрия
Две прямые в
Две прямые на
пространстве называются
плоскости называются параллельными, если они
параллельными, если лежат в одной плоскости
они не пересекаются.
и не пересекаются.
b
a
а II b
а II b

3.

Прямые а и с не
параллельны
с
Прямые b и с не
параллельны
b
a
а II b

4.

Повторим. ПЛАНИМЕТРИЯ. Аксиома параллельности.
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только
одна прямая, параллельная данной.
b
А
а

5.

Теорема
Через любую точку пространства, не лежащую на
данной прямой, проходит прямая, параллельная
данной, и притом только одна.
Прямая и не лежащая
на ней точка определяют плоскость
М
b
a

6.

Повторим.
Следствие из аксиомы параллельности.
b
c
а
Если прямая пересекает одну
из двух параллельных
прямых, то она пересекает и
другую.
aIIb, c b
c a

7.

Параллельность трех прямых
Лемма
a
b
Если одна из двух параллельных прямых
пересекает данную плоскость, то и другая
прямая пересекает данную плоскость.
М

8.

Плоскости
и имеют общую
точку М, значит они пересекаются
по прямой (А3)
a
b
р
М
N
Прямая р лежит в плоскости
и пересекает прямую a в точке М
Поэтому она пересекает и
параллельную ей прямую b
в некоторой точке N.
, поэтому N – точка
Прямая р лежит также в плоскости
плоскости .
Значит, N – общая точка прямой b и
плоскости .

9.

Повторим.
Следствие из аксиомы параллельности.
с
а
b
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они
параллельны.
aIIс, bIIс aIIb
Аналогичное утверждение имеет место и для трех
прямых в пространстве.

10.

Теорема Если две прямые параллельны третьей
прямой, то они параллельны.
Пусть aIIс, bIIс
с
Докажем, что aIIb
a
b
Докажем, что а и b
1) Лежат в одной
плоскости
2) не пересекаются
К
1) Точка К и прямая а определяют плоскость.
Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости.
Допустим, что прямая b пересекает плоскость . Тогда по
лемме с также пересекает . По лемме и а также
пересекает
. Это невозможно, т.к. а лежит в плоскости

11.

Дано: АА1 II СС1,
АА1 II ВВ1,
ВВ1 = СС1
Доказать, что В1С1 = ВС
В1
А1
С1
В
А
С

12.

Дано: А1С1 = АС,
А1В1 II АВ
А1С1 II АС,
Доказать, что CС1 = ВB1
В1
А1
С1
В
А
С
А1В1 = АВ,

13.

Основные способы задания плоскости

14.

Задача № 17
Точки М, N, P и Q – середины отрезков BD, CD, AB и
АС.
D
РMNQP - ?
M
N
В
А
P
Q
С

15.

Три случая взаимного расположения
прямой и плоскости
а II α

16.

Три случая взаимного расположения
прямых в пространстве
m
p
l
n
l II p
n m
a
b
a b