Для подготовки к НТК-2сем ВА (вопросы)

1.

Поле комплексных чисел. Действия с комплексными числами
1.
Определить модуль комплексного числа
2.
1 i
Найти Re( z ), если z
1 i
3.
1 i
Найти Im( z ), если z
1 i
z (1 3i )3
2
2
Вычислить аргумент комплексного числа z
4.
(дать ответ в градусах)
1 2i
1 3i

2.

Многочлены в комплексной области
1.
2.
Известны корни x1 , x2 , x3 многочлена P3 ( x) Аx3 Bx 2 Cx D.
Если x1 1 2i, x2 1 2i, x3 1, то сумма коэффициентов ( А B С D) равна...
Найти произведение корней многочлена Р3 ( x) x 3 3x 2 7 x 5

3.

Координаты вектора в разных базисах
Найти координаты вектора x в базисе b1 , b2 , b3 если в базисе a1 , a2 , a3 его
координаты равны x (1 4 8)
b1 a1 a2 5a3
5
a1 a2
4
b1 a1 a2 a3
b1
Выберите правильный ответ:
○
○
○
○
(12 12 4)
( 12 12 4)
(4 12 12)
(4 12 12)

4.

Линейные операторы. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора. Обратимый линейный
оператор.
2 0
A
…..
1 1
1.
Найдите сумму собственных значений оператора
2.
Найдите произведение собственных значений оператора
3.
Скалярное произведение собственных значений оператора A
4.
Сумма всех элементов оператора, обратного к A
2 4
A
…
3 1
4 2
равно….
2 4
1 2
равна….
1 2

5.

2
e3
2x
dy равен...
y
1
1. Повторный интеграл dx
0
2. Изменение порядка интегрирования делает интеграл
1
2 x
0
x
dx f x, y dy равным…
1
y
2
2 y
а) 0
0
1
0
dy f x, y dx dy f x, y dx
1
y
2
2 y
б) 0
0
1
0
1
y
2
2 y
в) 0
0
1
0
dy f x, y dx dy f x, y dx
dy f x, y dx dy f x, y dx
1
y
2
2 y
г) 0
0
1
0
dy f x, y dx dy f x, y dx

6.

3. Области интегрирования D : y x 2 , y 2 x 2 , y 0 x 0 соответствует
интеграл…
1б
а)
б)
в)
1
2 x2
1
x2
1
2 x2
0
x2
1
2 y2
0
y
dx f x, y dy
dx f x, y dy
dy f x, y dx

7.

Замена переменных в двойном интеграле, полярная система координат
x 3uv
, двойной интеграл f ( x, y )dxdy , равен...
y
4
u
5
uv
D
1. При замене переменных
1)
f ( 3uv, 4u 5uv) 12uv dudv
D'
2)
f ( 3uv, 4u 5uv) 12v dudv
D'
3)
f ( 3uv, 4u 5uv) 12u dudv
D'
4)
f ( 3uv, 4u 5uv)12dudv
D'
5)
f ( 3uv, 4u 5uv) 12u v dudv
D'

8.

2. Области интегрирования D : x 2 y 2 2 x в полярной системе координат соответствует интеграл…
1б
а)
б)
2
1
0
2
0
d f cos , sin d
d f cos , sin d
в)
2 cos
0
2
2 sin
0
0
d f cos , sin d

9.

Приложения двойных интегралов
1. Площадь фигуры ограниченной графиками функций y x 2 , y 6 x 2 , x 3 ,
равна...
2. Масса материальной пластины лежащей в плоскости XoY и ограниченной
линиями y 6 x, y 5 x, x 2 , плотность в каждой точке задана функцией
xy , равна...

10.

x 2 y 2 3 x,
3. Площадь области D : y x,
в полярной системе координат вычисляется по
y 0
формуле…
1)
4
3
0
0
d d
2)
4
3
0
0
d d
3)
4
3
0
3
d d
4)
4
3 cos
0
1
d d
5)
4
3 cos
0
0
d d

11.

Криволинейный интеграл
уdx x у dy по дуге параболы у 2 х от точки А(0, 0) до точки В (1, 2) равен…
2
2
АВ
x 2 cos t ,
I
Линейный интеграл I от радиус-вектора r xi y j z k вдоль дуги винтовой линии y 2sin t , 0 t 2 , равен… (в ответе указать
)
2
z 3t ,

12.

Криволинейные интегралы второго рода: приложения
Работа силового поля F x 2 y i 3x 4 y j при перемещении материальной точки по отрезку АВ от точки A 1, 2 до точки B 3, 4
равна…
Модуль циркуляции С F ds вектора F 4 yi 4 x j по окружности x 5 cos t , y 5sin t равен… (в ответе указать
C
C
)

13.

Поверхностные интегралы второго рода, приложения
Поток векторного поля а 5i 3 j k через часть плоскости
образующей острый угол с осью OZ , равен…
x y z
1 , отсеченную координатными плоскостями, в направлении нормали,
1 2 3

14.

Градиент (квадрат значения в точке)
1.
Вычислите квадрат длины вектора градиента скалярного поля U
Производная скалярного поля по направлению
1.
Для скалярного поля U
x y z
в точке A(1, 1,1) .
y z x
U
x y z
в точке A( 1,1,2) по направлению l AB , B( 2,0,1) .
найдите производную
l
y z x

15.

Ротор векторного поля, вычисление
1.
.
Х-координата ротора вектора a xz i
xy j yz k в точке A(25, 1, 4) равна…
2.
Y-координата ротора вектора a xz i
xy j yz k в точке A(25, 1, 4) равна…

16.

Дивергенция векторного поля, вычисление
Дивергенция вектора a x 2 , 2 yz , yz 2 в точке А(1, 1, 4) равна…
Значение div U V , где U 2 xi yi z k , V yi z j x k , в точке
А(1, 1, 4) равно…
x3 y 3 z 3
Для скалярного поля U x, y, z
, div gradU в точке
6 12 24
А(1, 1/2, 1/4) равна…

17.

Дивергенция векторного поля, формула Остроградского-Гаусса
1
1
1
Найдите поток векторного поля a xi y j zk через поверхность правильного октаэдра, длина ребра которого равна 3 2 .
2
3
4