Задачи на теорию вероятности (задание В6)

1.

Задание В6
Задачи на теорию
вероятности

2.

• Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из
пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного
револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10
револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху,
наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите
вероятность того, что Джон промахнётся.
• Решение: Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и
промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер и
промахнется из него. По формуле условной вероятности
вероятности этих событий равны соответственно 0,4·(1 − 0,9) = 0,04 и
0,6·(1 − 0,2) = 0,48. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна
сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52.
• Решение 2: Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер
и попадет из него, или если схватит непристрелянный револьвер и попадает из
него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны
соответственно 0,4·0,9 = 0,36 и 0,6·0,2 = 0,12. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,36 + 0,12 = 0,48.
Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его
вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52.
• Ответ: 0,52.

3.

• По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух
интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из
магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из
магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих
магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от
друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
• Решение: Вероятность того, что первый магазин не доставит товар
равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар
равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их
произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению
вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.
• Ответ: 0,02

4.

• Брошена игральная кость. Найдите
вероятность того, что выпадет нечетное
число очков.
• Решение: 1,3,5 — нечетные числа; 2,4,6—
четные. Вероятность нечетного числа очков
равна 1/2
• Ответ: 0,5

5.

• Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент
должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов —
математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на
специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому
из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент получит не менее 70 баллов по математике,
равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по
обществознанию — 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух
упомянутых специальностей.
• Решение:
Вероятность набрать 70 баллов по математике для него равна 0,6.
Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна 0,6 • 0,8.
Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты,
когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по
обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не
набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный
не ниже чем на 70 баллов равна
1 – 0,5 • 0,3.
В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или
иностранный равна
0,6 • 0,8 • (1 — 0,5 • 0,3) = 0,408.

6.

• Бросаем две игральные кости. Какова вероятность, что в
сумме выпадет 10? (округлить до сотых)
• Решение: Для одного кубика 6 возможных исходов.
Значит, для двух, по вышеупомянутому правилу, 6·6=36.
Какие исходы будут благоприятными для того, чтоб в
сумме выпало 10?
10 надо разложить на сумму двух чисел от 1 до 6. Это
можно сделать двумя способами: 10=6+4 и 10=5+5.
Значит, для кубиков возможны варианты:
(6 на первом и 4 на втором)
(4 на первом и 6 на втором)
(5 на первом и 5 на втором)
Итого, 3 варианта. Искомая вероятность: 3/36=1/12=0,08
•Ответ: 0,08

7.

• Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону
участников разбивают на игровые пары случайным образом с
помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26
бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том
числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре
Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из
России?
• Решение: «Зафиксируем» Руслана Орлова. Теперь осталось
найти вероятность того, что в паре с ним окажется бадминтонист
из России. Если мы исключили Руслана Орлова из списка
спортсменов (мы его «зафиксировали»), то нам осталось выбрать
ему пару из 25 спортсменов, из которых 9 участников из России.
То есть число всех возможных исходов равно 25, а число
благоприятных исходов равно 9.
Следовательно, p=9/25=0,36
• Ответ: 0,36

8.

• В случайном эксперименте симметричную монету
бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орел
не выпадет ни разу.
• Решение. Чтобы решить эту задачу, нам нужно
вспомнить правило умножения вероятностей. Так как
результат каждого бросания монеты не зависит от
результата бросания монеты в другие разы, мы имеем
дело с независимыми событиями.
Вероятность того, что произойдут независимые события А
и В, равна произведению вероятностей события А и
события В.
В нашей задаче орел не выпадет ни разу, если в
результате бросания монеты каждый раз будет выпадать
решка. Вероятность выпадения решки в каждом случае
равна 1/2. Значит, вероятность того, что решка выпадет в
результате всех четырех бросаний равна
0,5х0,5х0,5х0,5=1/16=0,0625
• Ответ: 0,0625

9.

• Во время вероятностного эксперимента монету
бросили 1000 раз, 532 раза выпал орел. На сколько
частота выпадения решки в этом эксперименте
отличается от вероятности этого события?
• Решение: Частота события x — отношение N(x) / N
числа N(x) наступлений этого
события в N испытаниях к числу испытаний N.
Если орел выпал 1000 раз, то решка выпала 1000532=468
Частота этого события равна
Вероятность выпадения решки равна 0,5
Следовательно, частота выпадения решки в этом
эксперименте отличается от вероятности этого события
на |0,5-0,468|=0,032
• Ответ: 0,032

10.

• Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75
докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены
поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов
определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М.
окажется запланированным на последний день конференции?
• Решение. Заметим, что доклад профессора М. окажется запланированным
на последний день конференции с той же вероятностью, что и доклад
любого другого участника конференции. Поэтому вопрос задачи можно
переформулировать так: с какой вероятностью любой участник
конференции выступит в последний день.
Найдем, какое количество докладчиков должно выступить в последний
день конференции.
Так как всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17
докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым
днями, на два последних дна запланировано
75-17х3=24 доклада.
Значит, на последний день запланировано 12 докладов, то естьколичество
благоприятных исходов равно 12.
Число всех возможных исходов равно 75, так как всего запланировано 75
докладов.
Итак, р=12/75=0,16
• Ответ: 0,16.