Этот простой, сложный параметр

1.

Подготовила: Гурьянова Ирина,
обучающаяся 8 «А» класса
МБОУ «Акбулакская СОШ №2»
Руководитель: Гришанова Е.С., учитель
математики МБОУ «Акбулакская СОШ
№2»

2.

Объект исследования: уравнения
Предмет исследования: уравнения с
параметрами
Проблема:
изучение
решения
уравнений с параметрами и создание
сборника задач с параметрами для
подготовки к ОГЭ
Методы исследования: изучение
литературы, сравнение, обобщение,
аналогия, анализ и классификация
информации

3. Цель: создать сборник задач с параметрами

Задачи:
- Анализ учебной литературы по
данной теме
- Описание решений различных
уравнений с параметром
- Начать подготовку к ОГЭ

4.

1. Уравнения, содержащие параметр
Переменные a, b, c, ..., k, которые при
решении
уравнения
считаются
постоянными, называются параметрами, x –
действительной переменной величиной, а
само уравнение называется уравнением с
одним
параметры.
неизвестным,
содержащим

5.

Два уравнения, содержащие одни
и те же параметры, называются
равносильными, если:
а) они имеют смысл при одних и тех
же значениях параметров;
б) каждое решение первого уравнения
является решением второго и
наоборот.

6.

7 класс
1. Найдите все целые значения a, при
которых корень уравнения ax = 6
является целым числом.
2. При каком значении a точка A(a; -1,4)
принадлежит
графику
пропорциональности y = 3,5x?
прямой

7.

8 класс
1. Известно, что график функции y = k/x
проходит через точку A(10; 2,4). Проходит
ли график этой функции через точку:
а) B(1; 24); б) C(-0,2; -120)?
2. В уравнении x2 + px – 35 = 0 один из
корней равен 7. Найдите другой корень и
коэффициент p.
3. Один из корней уравнения x2 – 13x +q = 0
равен 12,5. Найдите другой корень и
коэффициент q.

8.

9 класс
1. При каких значениях b и c вершиной параболы y =
x2 + bx + c является точка (6; -12)?
Решение: применим формулу для вычисления
абсциссы вершины параболы m = - b/2a
Получим: 6 = - b/2, b = - 12. Координаты точки (6;-12)
удовлетворяют уравнению y = x2 + bx + c. Подставим их
и найденное значение b в данное уравнение. Получим: 12 = 36 – 72 + c, c = 24
2. При каком значении a осью симметрии параболы
y = ax2 – 16x + 1 является прямая x = 4?
Решение: абсциссой вершины параболы является
m = 4. Применим формулу для вычисления абсциссы
вершины параболы: m = - b/2a. Получим: 4 = 8/a, a = 2

9.

Пример 1. При каких значениях с
уравнение х2+2х+с=0 не имеет корней?
Решение: Если уравнение не имеет корней,
то D<0.
D=4-4с, D<0, то 4-4с<0, -4с<-4, с>1.
Значит при с>1 уравнение не имеет
корней.
Ответ: если с>1, то уравнение не имеет
корней.

10.

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и
совокупности, которые необходимо решить
либо для любого значения параметра
(параметров), либо для значений параметра,
принадлежащих
заранее
оговоренному
множеству.
Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и
совокупности, для которых требуется
определить
количество
решений
в
зависимости
от
значения
параметра
(параметров).

11.

Тип 3 Уравнения, неравенства, их системы и
совокупности, для которых требуется найти
все те значения параметра, при которых
указанные уравнения, неравенства, их
системы и совокупности имеют заданное
число решений (в частности, не имеют или
имеют бесконечное множество решений).
Тип 4 Уравнения, неравенства, их системы и
совокупности, для которых при искомых
значениях параметра множество решений
удовлетворяет заданным условиям в
области определения.

12.

Способ I (аналитический)
Это способ прямого решения, повторяющего
стандартные процедуры нахождения ответа в задачах
без параметра.
Способ II (графический)
В зависимости от задачи (с переменной x и
параметром a) рассматриваются графики или в
координатной плоскости (x; y), или в координатной
плоскости (x; a).
Способ III (решение относительно параметра)
При решении этим способом переменные x и a
принимаются равноправными и выбирается та
переменная, относительно которой аналитическое
решение признается более простым.

13.

Алгоритм решения
линейного уравнения с параметром:
1. Упростить уравнение так, чтобы оно приняло вид
Ax= B.
2. Исследовать коэффициент уравнения (если он
содержит параметр) на равенство нулю (A = 0, A ≠
0).
3. Исследовать корни уравнения при каждом
фиксированном значении параметра (уравнение
имеет единственный корень, бесконечное
множество корней, не имеет корней).
4. Записать ответ с учетом фиксированных значений
параметра.

14.

Пример 1. Решить уравнение ax = 1.
Решение:
На
первый
взгляд
представляется возможным сразу дать
ответ: x =
1
a
. Однако при a = 0 данное
уравнение решений не имеет, и верный
ответ выглядит так:
Ответ. Если a = 0, то нет решений;
если a ≠ 0, то x =
1
a
.

15.

Алгоритм решения
квадратного уравнения с параметром:
1. Упростить уравнение так, чтобы оно приняло вид квадратного
уравнения относительно неизвестного: ax2 + bx + c = 0;
2. Исследовать коэффициент уравнения при x2, если он содержит
параметр, на равенство нулю (a = 0, a ≠ 0);
3. Определить вид уравнения и исследовать корни уравнения при
каждом фиксированном значении параметра:
- если a = 0, то уравнение линейное и необходимо найти его корни
в соответствии с алгоритмом решения линейного уравнения;
- если a ≠ 0, то уравнение квадратное. Исследовать наличие корней
и найти их при каждом фиксированном значении параметра из
условия, что D >0, D < 0, D = 0.
4. Собрав ранее полученные результаты в зависимости от
значений параметра, записать ответ с учетом фиксированных
значений параметра.

16.

Пример 1. При каких a уравнение ax2 –
x + 3 = 0 имеет единственное решение?
Решение: 1) Рассмотрим случай, когда a =
0, то данное уравнение примет вид: -x + 3 = 0,
то оно является линейным и имеет
единственное решение x = 3.
2) Если a ≠ 0, то имеем квадратное уравнение.
D = 1 – 12a.
Чтобы уравнение имело единственный
корень, необходимо, чтобы D = 0. 1 – 12a = 0,
a = 1/12.
Ответ: Уравнение имеет единственное
решение при a = 0 или a = 1/12.

17.

Пример 1. Решить уравнение
x a
0
x 1
Решение: Данное уравнение равносильно системе
x–a=0
x≠1
x = a – единственный корень. Понятно, что условие
x ≠ 1 влечет за собой требование a ≠ 1.
Следовательно, если a ≠ 1, то x = a; если a = 1, то
уравнение не имеет решений.
Ответ. Если a ≠ 1, то x = a; если a = 1, то
уравнение не имеет решений.

18.

Алгоритм решения дробных
рациональных уравнений с параметром
1. Привести уравнение к целому виду
2. Исследовать решение целого уравнения при
каждом
фиксированном
значении
параметра,
применив алгоритм решения линейного и квадратного
уравнений с параметром
3. Провести исследование знаменателя на наличие
посторонних корней (выяснить, при каких значениях
параметра полученные корни обращают знаменатель
в ноль)
4. Собрав
ранее
полученные
результаты
в
зависимости от значений параметра, записать ответ с
учетом фиксированных значений параметра.

19.

Задачи
с
параметром
являются
прообразами тех научно – исследовательских
заданий, которыми предстоит заниматься
будущим студентам на разных этапах
профессиональной подготовки.
Теоретическое
изучение
и
математическое моделирование процессов в
различных
областях
человеческой
деятельности часто приводит к сложным
задачам, в которых «много» различных
неизвестных, которые по существу и
представляют собой параметры.

20.

21. Список использованных источников

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с
параметрами. М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998.
Домбровская Т.В. Задания с параметром. Томск: ТОИПКРО.
Домбровская Т.В. Учебно-методический сборник тестовых заданий
по алгебре, 9 класс. Томск: ТОИПКРО, 2005.
Кузнецова Л.В., Бунимович Е.А., Пигарев Б.П., Суворова С.Б.
Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре
за курс основной школы: 9 класс. М.: Дрофа, 2002.
Лаппо Л.Д., Попов М.А. ЕГЭ. 9 класс. Экспериментальная
экзаменационная работа. Типовые тестовые задания. М.:
Издательство «Экзамен», 2006.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б.
Алгебра: Учебник для 7,8,9 кл. общеобразоват. Учреждений. М.:
Просвещение, 2004.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к
школьному учебнику 8 кл. М.: Просвещение, 1997.
Фальке Л.Я., Лисничук Н.Н., Крыжановская Е.Н. и др. Изучение
сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебнометодические материалы по математике. М.: Народное
образование; Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2005.