Вписанная окружность. Решение задач

1.

07.05.24
Решение задач по теме
«Вписанная окружность»

2.

1) В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса 2 см. Точка
касания делит гипотенузу на два отрезка длиной 5 см и 3 см. Найдите
периметр треугольника. Ответ дайте в сантиметрах.
В
5 см
5 см
2см М
Р
О
А
К
3 см
3 см
С
Дано: ОМ = 2 см, ВМ = 5 см, МС = 3 см.
Найти: периметр треугольника АВС.
Решение: Т.к. все касательные одной окружности равны между собой, то ВМ
= ВР = 5 см. СМ = СК = 3 см.
В окружности проведем радиусы к каждой стороне, получим квадрат АРОК,
у которого все стороны равны 2 см, тогда
АВ = 2 + 5 = 7 см,
ВС = 5 + 3 = 8 см,
АС = 2 + 3 = 5 см.
Найдем периметр треугольника: 7+8+5 = 20 см.
Ответ: 20 см.

3.

4) Четырёхугольник АВСD описан около окружности, причём АВ =
9 см, CD = 15 см, сторона АD на 8 см меньше, чем сторона ВС.
Найдите сторону ВС. Ответ дайте в сантиметрах.
В
х см
С
х – 8 см
D
9 см
А
Дано: АВСD – четырехугольник описан около окружности,
АВ = 9 см, CD = 15 см, сторона АD на 8 см меньше, чем сторона ВС.
15 см Найти: ВС.
Решение:
Если четырехугольник является описанным около окружности, то суммы
его противолежащих сторон равны.
Значит: = BC + AD = АВ + СD , получим
х+ х – 8 = 9 + 15
2х = 24 + 8
2х = 32
х = 32 : 8
х = 16
ВС = 16 см,
АD = 16 – 8 = 8 см.
Ответ: 16 см.

4.

5) В равнобедренную трапецию вписана окружность. Известно, что
разность оснований трапеции равна 12 см, а боковая сторона 24 см.
Найдите меньшее основание. Ответ дайте в сантиметрах.
В
24 см
А
С
Дано: АВСD – равнобедренная трапеция, окружность вписана в трапецию,
АВ = CD = 24 см, AD – BC = 12 см.
24 см Найти: ВС.
Решение:
Если четырехугольник является описанным около окружности, то суммы
его противолежащих сторон равны.
D
BC + AD = AB + CD
BC + AD = 24 + 24
BC + AD = 48, по условию AD – BC = 12 см.
Выразим AD = BC + 12 и подставим в выражение BC + AD = 48,
ВС + ВС + 12 = 48
2ВС = 48 – 12
2ВС = 36
ВС = 18 см.
Ответ 18 см.

5.

6) В равнобедренную трапецию вписана окружность. Больший угол
трапеции равен 150°, а её высота равна 10 см. Найдите сумму
оснований трапеции. Ответ дайте в сантиметрах.
В
С
10см
А Н
D
Дано: ABCD – равнобедренная трапеция, вписанная окружность, <B = 150°,
BH = 10 см.
Найти: BC + AD.
Решение:
Если <B = 150°, то <C = 150°, тогда <A=<D = 30°.
Треугольник АВН – прямоугольный, <A = 30°, то катет ВН – лежащий напротив угла
в 30°, равен половине гипотенузы, то АВ = 20 см.
Трапеция ABCD – равнобедренная, значит AB = CD = 20 см, а сумма этих сторон =
20+20 = 40 см.
BC + AD = 40 см.
Ответ: 40 см.

6.

Домашнее задание:
Решить в тетради задачи №7 и №8 из тренировочных заданий на
сайте РЭШ. Решение задач отправить учителю в личное
сообщение.
https://resh.edu.ru/subject/lesson/2023/train/#204166