Расчёт ферм матричным методом

1.

Расчёт ферм
матричным
методом
Выполнила Червякова Анна Алексеевна,
СММ-142

2.

Общие сведения
• Фермой называется жесткая конструкция из прямолинейных
стержней, соединенных на концах шарнирами.
• Если все стержни фермы лежат в одной плоскости, ферма
называется плоской.
• Места соединения стержней фермы называют узлами.
• Все внешние нагрузки к ферме прикладываются только в узлах.

3.

4.

Классификация ферм
А) По очертанию внешнего контура:
С параллельными поясами
Полигональные фермы
Треугольного очертания
С параболическим очертанием

5.

Классификация ферм
Б) По типу решетки:
С треугольной раскосной
решеткой
С полураскосной решеткой
С ромбической решеткой

6.

Классификация ферм
В) По количеству степеней свободы системы:
Статически определимые
Статически неопределимые
Г) По типу опирания: балочные, консольные, консольно-балочные.
Д) По назначению: стропильные, крановые; башенные; мостовые.

7.

Метод вырезания
узлов
Этим методом пользуются, когда надо
найти усилия во всех стержнях фермы.
Он состоит в том, что усилия в элементах
фермы определяют путем
последовательного мысленного
вырезания узлов и составления
уравнений равновесия сил, сходящихся в
рассматриваемом узле фермы.

8.

Метод сечений
Этим методом удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях
фермы, в частности для проверочных расчетов. Идея метода состоит в том, что ферму
разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в
одном из которых) требуется определить усилия, и рассматривают равновесие одной
из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами,
направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т.е. считая стержни растянутыми
(как и в методе вырезания узлов). Затем составляют уравнения равновесия так, чтобы
в каждое уравнение вошло только одно неизвестное усилие.

9.

10.

Расчёт ферм матричным
методом
A N P
N A P
1

11.

Excel. Лист 1 «Геометрия»
Заполняем исходные данные и
координаты улов.
Схема.

12.

Создаём листы в файле Exel в
соответствии с количеством
стержней

13.

Заполняем 2 таблицы: «Координаты
узлов стержня» и «Дополнительные
геометрические характеристики».
Заполняем матрицу усилий стержня:
в столбец, соответствующий нужному
стержню, вводим посчитанные
значения Nx (cos a) и Ny(sina).

14.

Следующие листы в файле Exel
заполняем по аналогии.
Координаты узлов стержня
№ Узлов
X
Y
Уз_Нач
2
2
Уз_Кон
3
4
Длина стержня
2.828427
Координаты узлов стержня
№ Узлов
X
Y
Уз_Нач
2
2
Уз_Кон
4
2
Длина стержня
2
2
0
Дополнительные геометрические характеристики
Узел
2
3
dx =
2
-2
dy =
-2
2
Nx = N * cos a
-0.70711 0.707107
Ny = N * sin a
0.707107 -0.70711
Дополнительные геометрические характеристики
Узел
2
4
dx =
0
0
dy =
-2
2
Nx = N * cos a
0
0
Ny = N * sin a
1
-1
Матрица усилий стержня
Узел
1
2
3
4
Проекция
Nx
Ny
Nx
Ny
Nx
Ny
Nx
Ny
N1
0
0
0
0
0
0
0
0
Координаты узлов стержня
№ Узлов
X
Y
Уз_Нач
3
4
Уз_Кон
4
2
Длина стержня
2
2
0
Дополнительные геометрические характеристики
Узел
3
4
dx =
-2
2
dy =
0
0
Nx = N * cos a
1
-1
Ny = N * sin a
0
0
Матрица усилий стержня
N2
0
0
-0.7071
0.70711
0.70711
-0.7071
0
0
N3
0
0
0
0
0
0
0
0
N4
0
0
0
0
0
0
0
0
N5
0
0
0
0
0
0
0
0
R1x
0
0
0
0
0
0
0
0
R1y
0
0
0
0
0
0
0
0
R3y
0
0
0
0
0
0
0
0
Узел
1
2
3
4
Проекция
Nx
Ny
Nx
Ny
Nx
Ny
Nx
Ny
N1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Матрица усилий стержня
N2
0
0
0
0
0
0
0
0
N3
0
0
0
1
0
0
0
-1
N4
0
0
0
0
0
0
0
0
N5
0
0
0
0
0
0
0
0
R1x
0
0
0
0
0
0
0
0
R1y
0
0
0
0
0
0
0
0
R3y
0
0
0
0
0
0
0
0
Узел
1
2
3
4
Проекция
Nx
Ny
Nx
Ny
Nx
Ny
Nx
Ny
N1
0
0
0
0
0
0
0
0
N2
0
0
0
0
0
0
0
0
N3
0
0
0
0
0
0
0
0
N4
N5
R1x
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
Координаты узлов стержня
-1
0
0
№ Узлов
X
Y
0
01
Уз_Нач
00
R1y
0
0
0
0
0
0
0
0 0
Уз_Кон
4
Длина стержня
0
2
2
R3y
0
0
0
0
0
0
0
0
Дополнительные геометрические характеристики
Узел
1
4
dx =
2
-2
dy =
0
0
Nx = N * cos a
-1
1
Ny = N * sin a
0
0
Матрица усилий стержня
Узел
1
2
3
4
Проекция
Nx
Ny
Nx
Ny
Nx
Ny
Nx
Ny
N1
0
0
0
0
0
0
0
0
N2
0
0
0
0
0
0
0
0
N3
0
0
0
0
0
0
0
0
N4
0
0
0
0
0
0
0
0
N5
-1
0
0
0
0
0
1
0
R1x
0
0
0
0
0
0
0
0
R1y
0
0
0
0
0
0
0
0
R3y
0
0
0
0
0
0
0
0

15.

На любом листе Exel следует заполнить
матрицу опорных усилий, в соответствии
с узлом, в котором находится опора.
Узел
1
2
3
4
Проекция
Nx
Ny
Nx
Ny
Nx
Ny
Nx
Ny
N1
-0.7071068
-0.7071068
0.70710678
0.70710678
0
0
0
0
N2
0
0
0
0
0
0
0
0
N3
0
0
0
0
0
0
0
0
N4
0
0
0
0
0
0
0
0
N5
0
0
0
0
0
0
0
0
R1x
-1
0
0
0
0
0
0
0
R1y
0
-1
0
0
0
0
0
0
R3y
0
0
0
0
0
-1
0
0

16.

Создаём лист «Результат», где в матрицу равновесия
фермы суммируем полученные данные с листов,
соответствующих всем стержням фермы.
='Стержень 1'!C20:J27+'Стержень 2'!C20:J27+'Стержень 3'!C20:J27+'Стержень 4'!C20:J27+'Стержень 5'!C20:J27
Узел
1
2
3
4
Проекция
N1
Nx
-0.70711
Ny
-0.70711
Nx
0.707107
Ny
0.707107
Nx
0
Ny
0
Nx
0
Ny
0
N2
0
0
-0.70711
0.707107
0.707107
-0.70711
0
0
N3
0
0
0
1
0
0
0
-1
N4
0
0
0
0
1
0
-1
0
N5
-1
0
0
0
0
0
1
0
R1x
-1
0
0
0
0
0
0
0
R1y
0
-1
0
0
0
0
0
0
R3y
0
0
0
0
0
-1
0
0
P
0
0
10
0
0
0
0
-20

17.

18.

N A P
1
Перемножаем матрицу равновесия фермы на
матрицу-столбец нагрузок.
С помощью функции Exel «МУМНОЖ».
=
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0,707107 0,707107
-0,70711 0,707107
0
0
0,5
-0,5
0,5
-0,5
-1
0
-0,5
-0,5
0,5
-0,5
Транспонируем матрицу A – матрицу равновесия
фермы с помощью функции в Exel «МОБР».
0
0
0
1
1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
-1
0
0
0,707107
0,707107
-1
-0,5
-0,5
0
-0,5
-0,5
×
0
0
10
0
0
0
0
-20

19.

Узел
1
2
3
4
Проекция
N1
Nx
-0,70711
Ny
-0,70711
Nx
0,707107
Ny
0,707107
Nx
0
Ny
0
Nx
0
Ny
0
N2
0
0
-0,70711
0,707107
0,707107
-0,70711
0
0
N3
0
0
0
1
0
0
0
-1
N4
0
0
0
0
1
0
-1
0
N5
-1
0
0
0
0
0
1
0
R1x
-1
0
0
0
0
0
0
0
R1y
0
-1
0
0
0
0
0
0
R3y
0
0
0
0
0
-1
0
0
P
0
0
10
0
0
0
0
-20
ГОТОВО! Получили матрицу-столбец,
соответствующую значению усилия в каждом
стержне и реакциям в опорах.
Узел
1
2
3
4
Проекция
Nx
Ny
Nx
Ny
Nx
Ny
Nx
Ny
N1
0
0
0
0
0
-1
0
0
N2
0
0
0
0
0
0
-1
0
N3
N4
0,707107 0,707107
-0,70711 0,707107
0
0
0,5
-0,5
0,5
-0,5
-1
0
-0,5
-0,5
0,5
-0,5
N5
0
0
0
1
1
-1
0
0
R1x
0
0
0
0
0
0
0
-1
R1y
0
0
0
0
1
-1
0
0
R3y
0,707107
0,707107
-1
-0,5
-0,5
0
-0,5
-0,5
N
-7,0711
-21,213
20
15
15
-10
5
15
N1
N2
N3
N4
N5
R1x
R1y
R3y

20.

Блок 2. Программа в VBA
Координаты узлов
№
X
Y
Закрепления
Нагрузки
Ux
Px
Uy
Топология стержней
Py
№ стержня
1
Стержень 1
2
Стержень 2
3
Стержень 3
4
Стержень 4
5
Стержень 5
6
Стержень 6
Уз_Нач
Уз_Кон