Вычислительный эксперимент. Элементы теории погрешности. Вычислительная математика

1.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ
МАТЕМАТИКА
Лекция №1
«Вычислительный эксперимент.
Элементы теории погрешности»

2.

1.Элементы теории погрешности
Значащие цифры. Правила округления.
a (a1 10 n a2 10 n 1 ... am 10 n m 1 ...)
Значащей цифрой приближенного числа а называют:
- любую цифру, не равную нулю;
- нуль, стоящий между значащими цифрами;
- нуль, являющийся представителем (умышленно!) сохраненного десятичного разряда.
0,250100 2 10 1 5 10 2 0 10 3 1 10 4
2 105 5 104 0 103 1 102 0 10 0 100 250100,0
2,501000 10 5 25,01000 10 4
0,2501 2,501 10 3 25,01 10 2
2

3.

2.Элементы теории погрешности
ПРАВИЛА (округления значащих цифр).
Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры, стоящие
справа от n, и заменяют их цифрами по правилам:
1. Если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные
знаки сохраняются. Например 25700203≈25700200
2. Если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся
цифре добавляется 1, например 25700267≈25700300
3. Если первая из отброшенных цифр равна 5, а среди остальных отброшенных
цифр есть ненулевые, то к последней оставшейся цифре добавляется 1,
например 2575002≈2580000
4. Если первая из отброшенных цифр равна 5, а все остальные отброшенные
цифры равны 0 то действует правило четной цифры:
А) если последняя оставшаяся цифра четная, то она сохраняется, например
256500≈256000
Б) если последняя оставшаяся цифра нечетная, то она увеличивается на 1,
например 257000≈258000.
3

4.

Правило подсчета цифр:
- промежуточные вычисления следует получать по крайней мере с одной
запасной цифрой по отношению к значащим цифрам чисел, участвующим
в промежуточном вычислении
- окончательный результат вычисления содержит то количество значащих
цифр, которое имеет исходное число с наименьшим числом значащих
цифр
Пример: Вычислить выражение:
Y 0,125 a 2 (8 b c)
Где а=18; в=2,75; с=3,232.
Решение: Так как погрешность числе а,в,с отсутствует, то
вычисление производим в соответствии с правилом подсчета
цифр (записываем результат в форме с плавающей запятой в
соответствии с числом а=18, у которого две значащие цифры)
c
Y 0,125 a 2 (8 b c) a 2 (b )
8
4

5.

2.Элементы теории погрешности
Верные значащие цифры. Погрешности действий.
ОПР. Значащая цифра числа называется верной, если абсолютная погрешность этого
числа не превосходит ½ единицы разряда, соответствующей этой цифре
ПРИМЕР. Задано число 3572,121±0,02. Определить его верные значащие цифры.
Решение.
1
10 3 0,0005
2
1
a 0,02 10 2 0,005
2
1
a 0,02 10 1 0,05
2
a 0,02
Ответ: 3572,1±0,02.
значащие цифры – это цифры числа, полученные в опыте (при вычислении),
когда погрешность числа отсутствует;
верные (значащие) цифры это цифры, которые у точного числа А и
приближенного числа а совпадают;
округляют только значащие или верные значащие цифры.
5

6.

2.Элементы теории погрешности
ИСТОЧНИКИ ПОГРЕШНОСТИ ОКРУГЛЕНИЯ
случайные
компенсируют друг друга:
c x 1 x 2 ... x n
c x 1 x 2 ... x n
систематич
еские
вызывают накопление
погрешности округления;
являются дефектом
структуры вычислений
(алгоритма)
6

7.

Пример 2.1
Требуется вычислить:
Пример 2.1
Требуется вычислить:
2.Элементы теории погрешности
c 0,476 0,411 1,47 26,2 83.
0,476
0,411
1,47
26,2
83,
111,557
112.
ЭВМ выполняет действия поочередно (складывает пару чисел) и округляет
результат после каждого действия.
+ 0,476
0,411
+ 0,887
1,47
0,887 0,887
2,357 2,36
+ 2,36
26,2
+ 28,6
83,
28,56 28,6
111,6 112.
n
c 83 26,2 1,47 0,411 0,476.
+ 83
26,2
109,2 109
+ 109
1,47
110,47 110
+ 110
0,411
110,411 110
+ 110
0,476
110,476 110
1
x x
i 1
i
n
i n
1
x x
i
i 1
i
i
i n
7

8.

РЕКОМЕНДАЦИИ
ДЛЯ СНИЖЕНИЯ ОШИБОК ОКРУГЛЕНИЯ
1.При сложении и вычитании последовательности
чисел действия необходимо начинать с наименьших по
абсолютной величине значений.
2.Следует избегать вычитания двух близких чисел,
преобразуя выражения.
3.Количество арифметических действий для решения
задачи нужно сводить к минимуму.
4.Для уменьшения ошибки округления расчеты следует
проводить с повышенной разрядностью (double
precision в Pascal).
8

9.

РЕКОМЕНДАЦИИ
ПРИ ВЫБОРЕ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
1. Погрешность метода должна быть на порядок меньше
неустранимой погрешности. Увеличение погрешности
метода снижает точность, уменьшение – увеличивает
время решения задачи.
2. Погрешность округления должна быть значительно
меньше (на два порядка) погрешности метода и
неустранимой погрешности.
9

10.

РЕКОМЕНДАЦИИ
ДЛЯ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ РЕШЕНИЯ
1. Решить
задачу
различными
численными
методами и результаты сравнить.
2. Незначительно изменить исходные данные и
повторно решить задачу. Результаты сравнить.
Если они различаются сильно, задача или метод
ее решения являются неустойчивым – выбрать
другой.
10

11.

2.Элементы теории погрешности
Требования, предъявляемые к вычислительному алгоритму:
1.Требование точности
2.Требование реализуемости
3.Требование экономичности
4.Требование отсутствия аварийной остановки ЭВМ в процессе вычислений.
x 2p
( 1 2 1 2 2 2 ... t 2 t )
Все представимые числа на ЭВМ удовлетворяют неравенствам
0 X0 x X
X 0 2 ( pmax 1)
X 2 pmax
11

12.

2.Элементы теории погрешности
Все числа, по модулю большие
X
не представимы на ЭВМ и рассматриваются
как машинная бесконечность.
X 2n
где n - первое натуральное число,
при котором происходит переполнение.
Все числа, по модулю меньшие X 0
для ЭВМ не отличаются от нуля
и рассматриваются как машинный нуль
X 0 2 m
Машинным эпсилон
где m – первое натуральное число , при котором
M
2 m
совпадает с нулем.
называется относительная точность ЭВМ, то есть граница относительной
погрешности представления чисел в ЭВМ.
M 2 k
где k – наибольшее натуральное число, при котором
сумма вычисленного значения 1+ 2 k еще больше 1.
12