Касательная к окружности. Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку

1. Касательная к окружности

2.

Касательная к окружности
Прямая, имеющая с окружностью единственную
общую точку, называется касательной к окружности;
общая точка называется точкой касания.
Отрезки AK и AM называются отрезками касательных,
проведенными из A.
касательная
точка
касания
K
O
A
M
Определени
я
Свойство и признак
касательной
Две касательные из
одной точки
Построение
касательной

3.

Касательная к окружности
Свойство касательной. Касательная к окружности перпендикулярна
к радиусу, проведенному в точку касания.
Признак касательной. Прямая, проходящая через точку окружности
и перпендикулярная к радиусу, проведенному в эту точку, является
касательной.
Свойство + признак: если K – точка окружности, то
KM – касательная KM OK.
Доказательство
K
Пусть d – расстояние от центра O до прямой KM.
Тогда KM – касательная d = R.
O
Но R = OK, а d = OK OK KM, ч.т.д.
Определени
я
Свойство и признак
касательной
Две касательные из
одной точки
d
d=R
M
Построение
касательной

4.

Касательная к окружности
Отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки, равны
и составляют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром.
Докажем, что если AK и AM – отрезки касательных,
то AK = AM, OAK = OAM
K
Доказательство
Δ AOK = Δ AOM
(по гипотенузе и катету)
Поэтому AK = AM, OAK = OAM .
Определени
я
A
Свойство и признак
касательной
M
O
Две касательные из
одной точки
Построение
касательной

5.

Касательная к окружности
Построение касательной к окружности
через данную на окружности точку А
А
O
Определени
я
Свойство и признак
касательной
р
Две касательные из
одной точки
Построение
касательной

6.

п.69
№640, 641