Готовимся к ОГЭ. Текстовые задачи по математике

1.

ГОТОВИМСЯ
к ОГЭ 2014
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ
( 2 часть)

2.

Если вы хотите
научиться плавать,
то смело входите в воду,
а если хотите научиться
решать задачи,
то решайте их!
(Д. Пойа)

3. Содержание

• Памятки по решению различных задач
• Приведено решение – 8 задач
• Для самостоятельной работы – 7 задач

4. Памятка при решении задач на движение

Путь = скорость · время
При движении по реке:
• Скорость по течению = собственная
скорость транспорта + скорость течения
реки
• Скорость против течения = собственная
скорость транспорта - скорость течения
реки

5. Памятка для решения задач на проценты

Процентом числа называется его сотая часть.
Например:
1% от числа 500 – это число 5.
-нахождение процента от числа:
Найти 3 % от числа 500;15 % от числа 60.
-нахождение числа по его процентам:
Найти число, 12% которого равны 30.
-нахождение % отношения чисел:
Сколько % составляет 120 от 600?

6. Памятка для решения задач на концентрацию, смеси, сплавы.

концентрация(доля чистого вещества в
смеси)
-количество чистого вещества в смеси
-масса смеси.
масса смеси · концентрация = количество
чистого вещества.

7. Памятка при решении задач на работу

-время работы
-объем работы
-производительность
Объем работы = время работы ·
производительность

8. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получился

При смешивании первого раствора кислоты,
концентрация которого 20%, и второго раствора
этой же кислоты, концентрация которого 50%,
получился раствор, содержащий 30% кислоты.
В каком отношении были взяты первый и
второй растворы?
Решение.
х 20%=1/5
получили
х+у
30%=3/10
у
50%=1/2
Составим уравнение:
1/5 ·х + 1/2·у = 3/10·(х + у)

9.

Решаем уравнение: 1/5·х + 1/2·у = 3/10·(х + у)
1/5·х + 1/2·у = 3/10·х + 3/10·у
1/5·х - 3/10·х = 3/10·у - 1/2·у
х (1/5 - 3/10) = у (3/10 - 1/2 )
Надо найти отношение первого и второго растворов,
т.е. как х : у, поэтому уравнение делим на у:
Получаем: х/у ·(-1/10) = -1/5
х/у = (-1/5) : (-1/10) = -1/5 · (-10/1) = + 2
Значит х : у = 2:1
Ответ: 2:1

10. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 48%, получился

При смешивании первого раствора кислоты,
концентрация которого 40%, и второго раствора
этой же кислоты, концентрация которого 48%,
получился раствор, содержащий 42% кислоты.
В каком отношении были взяты первый и
второй растворы?
Решение.
(самостоятельно)
Ответ: 2:1

11. Теплоход плывёт из А в В двое суток, из В в А трое суток. Сколько суток плывет из А в В плот?

Решение: если S – путь из А в В
х – собственная скорость теплохода
у – скорость течения реки,
то время движения плота равно S/у
Т.к. S = (х+у)·2 и S = (х-у)·3
составим уравнение: 2х+2у = 3х-3у
-х = -5у; х = 5у
Значит S = 2х+2у = 2·5у+2у = 12у
Тогда S/у = 12у : у = 12
Ответ: 12 суток

12. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 84, а сумма второго и третьего членов равна 112. Найдите первые три члена это

В геометрической прогрессии сумма первого и
второго членов равна 84, а сумма второго и
третьего членов равна 112. Найдите первые три
члена этой прогрессии.
а1 а 2 84
Решение. по условию задачи
а 2 а3 112
но (по опред.геом.прог.) а2= а1·q; а3= а1·q²,
тогда а1 а1 q 84
2
а1 q а1 q 112
а1 (1 q) 84
2
а1 (q q ) 112
84
а1
1 q

13. продолжение

84 (q q )
112 0
1 q
2
84
(q q 2 ) 112
1 q
84
1+q ≠ 0
q ≠ -1
84(q q 2 ) 112(1 q)
0
1 q
84q + 84q² - 112 – 112q = 0
84q² - 28q-112=0 |:28
3q² - q – 4 = 0
т.к. а-в+с=0, то q1=-1
(не подходит по ОДЗ)
q2=4/3
Найдем
а1 ; а2 ; а3
а1
1 q
84 : (1 q )
84 7
84 : (1 4 / 3)
:
1 3
84 3
36
1 7
4
48
3
4
a3 a 2 q 48 64
3
а 2 а1 q 36
Ответ: 36; 48; 64

14. В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 40, а сумма второго и третьего равна 60. Найдите первые три члена этой прогр

В геометрической прогрессии сумма
первого и второго членов равна 40, а
сумма второго и третьего равна 60.
Найдите первые три члена этой
прогрессии.
Решение.
самостоятельно в парах.
Ответ: 16; 24; 36

15. Теплоход проходит по течению до пункта назначения 126 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите собственную скорость теп

Теплоход проходит по течению до пункта
назначения 126 км и после стоянки возвращается
в пункт отправления. Найдите собственную
скорость теплохода, если скорость течения реки
равна 2 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт
отправления теплоход возвращается ровно через
сутки после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть х –
км/ч собственная скорость теплохода
(х+2) – скорость по течению
(х-2) – скорость против течения
т.к. 8 часов длилась стоянка, то (24-8)=16 часов
время движения.

16.

Составим уравнение по условию задачи:
126
126
16
х 2 х 2
(х+2)(х-2) ≠ 0
х≠-2их≠2
126х – 252 + 126х + 252 = 16х² - 64
126х – 252 + 126х + 252 - 16х² + 64 = 0
-16х² + 252х + 64 = 0 |: (-4)
4х² - 63х – 16 = 0
D = 63² -4·4·(-16)= 3969+256=4225=65²
в D 63 65
х1 = 128 : 8 = 16
2a
8
х2 = -2 : 8 <0 (не подходит)
Проверка.
Ответ: 16 км/ч

17. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения160 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, ес

Теплоход проходит по течению реки до пункта
назначения160 км и после стоянки возвращается
в пункт отправления. Найдите скорость течения,
если скорость теплохода в неподвижной воде
равна 18 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт
отправления теплоход возвращается ровно через
20 часов после отплытия из него. Ответ дайте в
км/ч.
Решение.
самостоятельно в парах.
Ответ: 2

18. На изготовление 180 деталей первый рабочий тратит на 3 часа меньше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, чт

На изготовление 180 деталей первый
рабочий тратит на 3 часа меньше, чем
второй. Сколько деталей в час делает
второй рабочий, если известно, что первый
за час делает на 3 детали больше.
Решение.
Пусть х – производительность (дет./час) второго рабочего,
тогда
(х+3) – производительность первого рабочего
180
Значит
время первого рабочего
х 3
180
время второго рабочего
х

19.

Составим уравнение по условию задачи:
180
180
3
х 3
х
х (х + 3) ≠ 0
х≠0; х≠-3
180х + 3х² + 9х = 180х + 540
3х² + 9х – 540 = 0 | : 3
х² + 3х – 180 = 0
D = 9 - 4·(- 180) =9 + 720 = 729 = 27²
в D 3 27
х1 = 24: 2 = 12
2a
2
х2 = -30 : 2 < 0 (не подходит)
Проверка.
Ответ: производительность второго
рабочего 12 деталей в час

20. Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2 часа.За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, если она, де

Бассейн наполняется двумя трубами,
действующими одновременно, за 2 часа.За
сколько часов может наполнить бассейн
первая труба, если она, действуя одна,
наполняет бассейн на 3 часа быстрее, чем
вторая?
Решение.
самостоятельно в парах.
Ответ: 3

21. Туристы на моторной лодке прошли 1 час по течению реки, после чего выключили мотор и плыли по течению реки ещё 30 минут. Затем они, включив мот

Туристы на моторной лодке прошли 1 час по
течению реки, после чего выключили мотор и
плыли по течению реки ещё 30 минут.
Затем они, включив мотор, повернули обратно и
через 3 часа после этого прибыли к месту старта.
Во сколько раз скорость течения реки меньше
собственной скорости лодки.
Решение.
Пусть х –км/ч собственная скорость лодки
у – скорость течения реки
Тогда (х+у) - скорость лодки по течению
(х-у) – скорость лодки против течения
Надо найти х:у?

22.

Знаем, что S = v·t и 30 минут = ½ часа,
Путь лодки по течению: S = (х+у)·1+у·1/2
Путь лодки против течения: S = (х-у)·3
Т.к. путь один и тот же, то составим уравнение:
у
( х у ) 3( х у )
2
у
х у 3х 3 у
×2
2
2х + 2у + у = 6х – 6у
2х – 6х = -3у -6у
х
-4х = - 9у (делим на у) 4 9
у
х 9
1
2 2,25 Ответ: в 2,25 раз….
Значит:
у 4
4

23. Туристы на моторной лодке прошли 2 часа против течения реки, после чего повернули обратно и 12 минут шли по течению, выключив мотор. Затем они

включили мотор и через 1 час
после этого прибыли к месту старта. Во сколько
раз скорость течения реки меньше собственной
скорости лодки?
Решение.
самостоятельно в парах.
Ответ: 3,2

24. Из города А в город В выехала грузовая машина. Спустя 1,2 часа из пункта А вслед за ней выехал автобус. Через 0,8 часа после своего выезда он отс

Из города А в город В выехала грузовая машина.
Спустя 1,2 часа из пункта А вслед за ней выехал
автобус. Через 0,8 часа после своего выезда он
отставал от машины на 24 км. Найдите скорость
автобуса, если известно, что она больше скорости
грузовой машины на 30 км/ч.
Решение.
Пусть х – км/ч скорость автобуса, тогда
(х-30) – скорость грузовой машины.
Время движения автобуса: 0,8 часа
Время движения машины: 1,2 0,8 2,0 часа
Путь, пройденный автобусом: 0,8 · х
Путь, пройденный машиной: 2 · (х-30)

25.

Составим уравнение по условию задачи:
0,8х + 24 = 2(х-30)
0,8х + 24 = 2х – 60
0,8х – 2х = - 24 – 60
- 1,2х = - 84
12х = 840
х = 840 : 12 = 70
Проверка (по условию задачи).
Ответ: скорость автобуса 70 км/ ч

26. Из города А в город В выехал автобус, Спустя 0,5 часа вслед за ним из пункта А выехал автомобиль. Через 1,1 часа после своего выезда он, обогнав

Из города А в город В выехал автобус, Спустя 0,5
часа вслед за ним из пункта А выехал
автомобиль. Через 1,1 часа после своего выезда
он, обогнав автобус, находился на расстоянии 2
км от него. Найдите скорость автобуса, если
известно, что она на 20 км/ч меньше скорости
автомобиля.
Решение.
самостоятельно в парах.
Ответ: 40

27. Теплоход идет по течению реки в 5 раз медленнее, чем скутер против течения, а по течению скутер идёт в 9 раз быстрее, чем теплоход против тече

Теплоход идет по течению реки в 5 раз
медленнее, чем скутер против течения, а
по течению скутер идёт в 9 раз быстрее,
чем теплоход против течения. Во сколько
раз собственная скорость скутера больше
собственной скорости теплохода?
Решение.
Пусть х –собственная скорость теплохода
у – собственная скорость скутера
а – скорость течения реки
у
Надо найти
?
х

28.

Составим систему уравнений по условию
задачи: ( х а) 5 ( у а)
( у а) ( х а) 9
5 х 5а у а
у а 9 х 9а
5 х у 6а
+
9 х у 10а
-4х = - 16а
х = 4а
если у + а = 9х - 9а, то у = 9х – 10а
Найдем у: у = 9·4а – 10а = 26а
Найдем у :
х
у 26а 13
6,5
х
4а
2
Ответ: в 6,5 раза ….

29. Теплоход идёт по течению реки в 2 раза медленнее, чем скутер против течения, а по течению скутер идёт в 4 раза быстрее, чем теплоход против те

Теплоход идёт по течению реки в 2 раза
медленнее, чем скутер против течения, а
по течению скутер идёт в 4 раза быстрее,
чем теплоход против течения.
Во сколько раз собственная скорость
скутера больше собственной скорости
теплохода?
Решение.
самостоятельно в парах.
Ответ: в 2,75 раза

30. Интернет-ресурсы

Фон:
http://www.flywebtech.com/images/bg.jpg
Компьютер:
http://moodle.belmont.gloucs.sch.uk/file.php/1/ICT_2.png
Автор шаблона: Ранько Елена Алексеевна, учитель начальных
классов МАОУ лицей №21 г. Иваново
А.В. Семенов и др. Государственная итоговая аттестация
выпускников 9 классов в новой форме. Математика 2014., М.,
Интелект-Центр, 2014