Функции одной переменной

1.

Российская академия народного хозяйства и
государственной службы при Президенте РФ
Институт права и национальной безопасности
Факультет национальной безопасности
Тема № 7
«ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»
Лекция № 1
профессор Резниченко Александр Васильевич
Москва – 2024

2.

Зачатки методов математического анализа были у древнегреческих
математиков (Архимед, Евдокс Книдский).
Систематическое
же развитие
эти методы
получили
в XVII дисциплин,
веке.
Математическим
анализом
называют
систему
На рубеже
XVII и XVIII
веков И. характерными
Ньютон и Г.В.
Лейбниц в общем и
которые
объединены
следующими
чертами.
целом завершили создание дифференциального и интегрального
Предметом их изучения являются количественные соотношеисчисления, а также положили основу учения о рядах и дифференния действительного мира (в отличие от геометрических дисциплин,
циальных уравнениях.
занимающихся пространственными его свойствами).
Леонард Эйлер в XVIII веке разработал два последних раздела и
Эти соотношения выражаются с помощью числовых величин, но в
заложил основу других дисциплин математического анализа.
отличие от арифметики и алгебры, где рассматриваются преимущестДальнейшее развитие анализа связывают с именами таких ученых
венно постоянные величины (они характеризуют состояния), в
XIX и ХХ веков, как О.Л. Коши и М.Э.К Жордан во Франции,
анализе - это переменные величины, характеризующие процессы.
Н.И. Лобачевский в России и
В основу изучения зависимости между переменными величинами
С.П. Новиков в СССР,
кладутся понятия функции и предела.
Н.Х. Абель в Норвегии,
Г.Ф.Б. Риман и
Г.Ф.Л.Ф. Кантор в Германии и др.
Георг
Фердинанд
Георг
ГеоргФердинанд
Фридрих
Мари
Энмон
Камилл
Георг
Фридрих
Нильс
Хенрик
Абель
Николай
Иванович
Сергей
Петрович
Огюстен
Луи
Коши
Готфрид
Вильгельм
Людвиг
Филипп
Исаак
Ньютон
Людвиг
Филипп
Леонард
Эйлер
Евдокс
Книдский
Архимед
Бернхард
Риман
Бернхард
Риман
Жордан
Лобачевский
Новиков
Кантор
Кантор
Лейбниц

3.

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Понятие функции. Основные свойства
и классификация
2. Предел функции. Основные теоремы
о пределах
3. Непрерывность функции

4.

Литература
1. Попов А.М., Сотников В.Н. Высшая математика для экономистов. В 2 ч.: учебник и практикум для вузов − 2-е изд.,
перераб. и доп. − М.: Юрайт, 2022.
2. Высшая математика для экономического бакалавриата в
3 ч.: учебник и практикум для вузов / Под ред. проф.
Кремера Н.Ш. − 5-е изд., перераб. и доп. − М.: Юрайт,
2022.
3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов:
Учебное пособие. – СПб: Питер, 2016.
4. Ахтямов М.А. Математика для социологов и экономистов.
– М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

5.

ПЕРВЫЙ ВОПРОС
Понятие функции. Основные
свойства и классификация

6.

Определение.
Функция – математическое понятие, отражающее связь между
элементами различных множеств; «закон», по которому каждому
элементу одного множества X ставится в соответствие один и
только один элемент другого множества Y (X отображается в Y ):
Определение.
Определение.
Множество
X значению
называется
областью Xопределения
(задания)
Если
каждому
х множества
(x X) ставится
в соотПравило
каждому
хзначений
X YR(y Y),
единстветствие
вполне
определенное
учислу
множества
то
функции
у =f, fсопоставляющее
(х),
а множествозначение
Y – областью
(измевенное число
R, называется
говорят,
что нау Y
множестве
X задана функцией
функция уу== f (х),
). заданной на
нения) функции
.
множестве
X и принимающей
значения в множестве
Y. Под ред.
«Высшая
математика
для хэкономического
бакалавриата».
При
этом
переменная
называется
аргументом
функции
проф.
Кремера
Н.Ш.
Ахтямов
А. М.
«Математика для социологов и экономистов».
или независимой переменной, а элемент у, соответствующий
Определение.
конкретному
элементу х – значением функции у = f (х) в точке х.
Пусть X и Y - некоторые числовые подмножества множества R
Замечание.
Пример.
и
каждому элементу x X по какому-либо закону f поставлен в
Если множество
специально
не
то под
областью
Область
определения
функции y Y
y = оговорено,
x.2 + √10 - x есть
полуинтерсоответствие
только X
один
элемент
Тогда
определена
функциональная
зависимость
y от xзнапо
определения
функции
подразумевается
область
допустимых
вал
(- ,10],
так
как 10
- x ≥ 0. Если же переменная
x, например,
закону
у = f (хвремя,
).
обозначает
то областью
чений
независимой
переменной
х. определения функции будет
Красс, [0,10].
М.С. Чупрынов Б. П. «Математика для экономистов».
отрезок

7.

Способы задания функции
1. Аналитически – формулой, связывающей элементы x и y:
а) в явном виде; б) в неявном виде; в) параметрически;
г) в виде обратной функции; д) в виде сложной функции.
2. Графически – в виде изображения графика
функции на координатной плоскости, в котором
аргументу х соответствует ось абсцисс,
а значению функции y - ось ординат.
y=2x+1
y
y
(x,y)
1
x
3. Таблицей:
0
x 1
Иоганн Петер Густав
Лежён-Дирихле
4. Алгоритмом ее вычисления или составления (в том числе
вербально), например, функция Дирихле.
5. Рекурсивно – когда одни значения функции определяются
через другие ее значения, например: n! = (n-1)!·n.

8.

Основные свойства функций
Определения.
1. Функция у = f(х) называется четной, если для любых значений х из области определения функции f(-х) = f(х), и нечетной,
если f(-х) = -f(х).
В противном случае у = f(х) – функция общего вида.
2*.
Функция уу==f(х)
f (х)называется
называетсявозрастающей
неубывающей (невозраста2. Функция
(убывающей)
ющей)
на некотором
промежутке
на некотором
промежутке
X, еслиX, если
x11 , x22 X таких, что x11 x22 ( x11 x22) f ( x11) f ( x22) ( f ( x11) f ( x22)).
Возрастающие или
или невозрастающие
убывающие функции
называются
строго
Неубывающие
функции
называются
момонотонными.
нотонными.
3. Функция
(снизу) на
3*.
Функция ff(х)
(х) называется
называется ограниченной
ограниченной сверху
на промежутке
X,
промежутке
X, если
если
существует
такое число M > 0, что | f(х)| ≤ M, для всех х X.
В противном
случае
функция
M (m
) такие,
что xназывается
X f ( xнеограниченной.
) M ( f ( x) m ).
4. Функция у = f(х) называется периодической с периодом Т ≠ 0,
если f (х + Т ) = f (х) для любых х X.

9.

Основные
элементарные
функции:
КЛАССИФИКАЦИЯ
ФУНКЦИЙ
а) степенная функция у = х n;
x, а > 0, ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
б) показательная
функция
у
=
а
а≠1
Алгебраические функции
(X = (- ; +ФУНКЦИИ
); Y = (0; + ));
- целая
рациональная
функцияy = loga x, а > 0, а ≠ 1
в)
логарифмическая
функция
(многочлен или полином);
(X = (0; + ); Y = (- ; + ));
- дробно-рациональная
г)
тригонометрические функция;
функции
- иррациональная функция. y = sin x, y = cos x,
y = tg x, y = ctg x;
Трансцендентные
д) обратные тригонометрические
функции функции
у(неалгебраические)
= arcsin х, у = arccos х,
у = arctg x, у = arcctg х.
- показательная функция;
- логарифмическая функция;
Элементарными называются функции, построенные из
- тригонометрические
функции;
основных элементарных функций
при помощи конечного
числа
тригонометрические
алгебраических действий и- обратные
конечного числа
операций образофункции и т.д.
вания сложной функции.
Определение.

10.

ВТОРОЙ ВОПРОС
Предел функции. Основные
теоремы о пределах

11.

Определение.
Числовая последовательность x1, x2, ..., xn, ... − это пронумерованный набор вещественных чисел (xi ∈ R ∀i ∈ N), среди которых допускаются повторения, причем порядок имеет значение.
Числа x1, x2, ..., xn, ... называются элементами или членами
Определение*.
последовательности, xn – общим членом последовательПоследовательностью
элементов числового множества R
ности,
а число n – его номером.
Примеры.
называется отображение f, определенное на множестве нату{ x1, x2,..., xn, ... }: {{xxnn}}.n 1.
а) Обозначение
xn = чисел
const; N последовательности
ральных
и принимающее значения
в множестве R, т.е.
: N2,
б) xn = n т.е. { xn } равна {f1,
3, R.
... } – натуральные числа;
f называетв) Элементом
xn = 1/n т.е. или
{ xn } членом
равна { 1,последовательности
1/2, 1/3, ... };
ся упорядоченная пара (п, х), х = f (п), п N, х R.
г) Натуральное
xn = n·(-1)n число
т.е. { xпn }называется
равна { -1, 2,
-3, 4, ... }.элемента посленомером
довательности, а число х R – его значением.

12.

Определение.
Число А называется пределом последовательности { xn },
если для любого ε 0 существует такое натуральное число N, что
при всех n ≥ N выполняется неравенство │xn - А│ ε:
0 N=N( ): n ≥ N | xn - А | ε.
Определение.
Если последовательность { xn } имеет своим пределом число А,
Правило f, сопоставляющее
каждому
числу х X R единстто символически
это записывается
так:
венное число у Y R, называется функцией у = f (х), заданной на
xn Α значения
Α.
или lim вxnмножестве
множестве X и принимающей
Y.
n
n
Ахтямов А. М. «Математика
для социологов
и экономистов».
Последовательность
имеющая
предел называется
сходящейся.
Примеры.
Геометрический смысл предела числовой последовательности
а) xn = const; │x – А│ ε равносильно двойному неравенстНеравенство
n
вуб) Аx–n ε= nxn т.е.
А+
{ xε.
n } равна { 1, 2, 3, ... } – натуральные числа;
в) xn = 1/n т.е. { xn } равна { 1, 1/2, 1/3, ... };
г) xn = n·(-1)n
x1
т.е. { xn } равна { -1, 2, -3, 4, ... }.
x3 x5
x7 x9
x8
x6
x4
x2
xn

13.

Определение (предел функции по Гейне).
Число A называется пределом функции f (х) в точке х0, если
для любой последовательности точек
, сходящейся к х0, но
не содержащей х0 в качестве одного из своих элементов (т.е. в
проколотой окрестности х0), последовательность значений функции
сходится к A:
Огюстен Луи Коши
Теорема.
Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.
Определение (предел функции по Коши).
Число A называется пределом функции f(х) в точке х0, если
для любого наперед взятого числа ε > 0 найдется отвечающее ему
число δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех х ≠ х0 и удовлетворяющих
Генрих Эдуард Гейне
условию | х-х0 | < δ, выполняется неравенство
:

14.

Определение.
Число A называется левым (правым) пределом функции f (х)
в точке х0, если для любого наперед взятого числа ε > 0 найдется
отвечающее ему число δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех х ≠ х0 и удовлетворяющих условию х0 - δ < х < х0 ( х0 < х < х0 + δ ), выполняется
неравенство | f (x) – A | < ε:
lim f ( x) A 0 ( ) 0 x ( x0 , x0 ) | f ( x) A | ;
x x0 0
lim f ( x) A 0 ( ) 0 x ( x0 , x0 ) | f ( x)y = sgn
A | х .
x x0 0
Пример - задание.
Функция f (х) = sgn х имеет в точке х0 = 0 правый и левый пределы.
lim sign x 1; lim sign x 1.
x x0 0
Теорема.
x x0 0
Функция f (х) имеет в точке х0 предел тогда и только тогда, когда
в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и они
равны.

15.

Определение.
Число А называется пределом функции у = f (х) при х стремящемся к бесконечности ( х → ), если для любого ε > 0
найдется число S > 0, зависящее от ε, что для всех х, таких что
| х | > S, будет верно неравенство | f(x) – A | < ε:
A lim f ( x) 0 S ( ) 0 x :| x | S | f ( x) A | .
x
Пример - задание.
Функция f (x) = 1/x имеет предел при x → равный нулю.
Геометрический смысл предела
Определение.
Число А называется пределом функции у = f (х) при х → +
( х → - ), если для любого ε > 0 найдется число S > 0, зависящее
от ε, что для всех х > S ( х < - S ), будет верно неравенство
| f(x) – A | < ε.

16.

Свойства бесконечно малых величин
Определение.
Если α(х) и β(х) бесконечно малые величины при х → х0 или
Функция α(х) называется бесконечно малой величиной при
хх →
малыми величинами:
→
х0, то
(х будут
→ ),бесконечно
если ее предел равен нулю:
1. α(х) ± β(х); 2. с∙α(х), с – постоянная; 3. α(х)∙β(х);
lim
(хx)∙α
) (х0), f (
– ограниченная
0 ( ) 0 функция;
x x0 :| x x0 | | ( x) | ;
4.
f
(
х
)
x x0
lim
f (0x) S0( . ) 0 x :| x | S | ( x) | .
5. α((хx)) / f (0х),
lim
x x ( )
x
0
Сравнение порядков бесконечно малых.
Теорема.
Если α(х) и β(х) бесконечно малые величины при х → х0 или
х →Функция
, и lim f (х()x)имеет
/ ( x) kпри
, тох → х0 (х → ) предел, равный А,
x x0 ( )
тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде
- при k = 0 бесконечно малая α(х) называется бесконечно малой
суммы этого числа А и бесконечно малой величины α(х) при
более высокого порядка малости, чем β(х);
х → х0 (х → ):
- при k = – более низкого порядка малости, чем β(х);
- при
А
– одного
lim 0 <f (kx<)
f ( xпорядка
) А малости;
( x), где lim ( x) 0.
x0 ( )k = 1 бесконечно малые α(х) и β(х) называются
x x0 ( )
-x при
эквивалентными, например, при х → 0 sin x х; In (1 + х) х; е х 1 + х.

17.

Определение.
Функция f(х) при х → х0 (х → ) называется бесконечно большой величиной ( lim