Познание и творчество. Стартовый тур конкурса по математике для учащихся 8-9 классов

1.

2. «Познание и Творчество» Стартовый тур конкурса по математике для учащихся 8-9 классов

«Математика
для любознательных»

3. 1 вопрос

Юный
математик Федя на досуге
развлекался тем,что в лежащем перед ним
календаре на текущий месяц обводил
квадратной рамочкой четыре числа,
находящиеся рядом друг с другом.Когда
ему наскучило это занятие ,он стал
перемножать числа ,стоящие на одной и
другой диагонали в каком нибудь квадрате
и вычитать один результат из другого.
Какую закономерность мог обнаружить
Федя?

4. Ответ:

3*11-10*4=-7
12*20-13*19=-7
22*28-21*29=7
Пусть
х – любое число в календаре,
Тогда х+1 – следующее число в календаре,
Х+7 число в календаре снизу
Х+8 число в календаре справа- снизу
(х+1)(х+7)-х(х+8)=7
В результате всегда будет получаться 7

5. 2 вопрос

Когда
Андрей был вдвое старше Ольги
,ему было столько лет, сколько ей сейчас.
Когда Ольге исполнится столько лет
,сколько Андрею сейчас , произведение их
возрастов будет в 24 раза больше их
суммы. Сколько сейчас лет Андрею и
Ольге?

6. Ответ:

О
иА
28 и 42
42 и 56
42*56=2252
2252/24=98
42+56=98 (произведение больше в 24 раза.)
Ответ : Ольге -28 лет,а Андрею-42 года….

7. 3 вопрос

В
прямоугольном треугольнике из вершины
прямого угла опущена высота и проведена
биссектриса.Растояние между точками их
пересечения с гипотенузой составляет 3
см.Найдите площадь треугольника ,если
расстояние от точки Н до одного конца
гипотенузы в 4 раза больше расстояния от
точки Н до другого конца гипотенузы,а
точка Н – это пересечение гипотенузы и
проведенной высоты.

8. Ответ:

Обозначим
АН=х и ВН=4х. Из подобия
треугольников АСН и АСВ имеем
Из подобия треугольников ВСН и АСВ
имеем
(1/2 посторонний корень).
Пусть СК биссектриса. Т к ВН больший
отрезок гипотенузы, то точка К лежит на
ВН. По свойству биссектрисы
Получаем равенство
AH=4,5; BH=18. СН=9 АВ=5х=22,5
Из подобия треугольников АСН и СВН
имеем S=1/2*22,5*9=101,25 кв.см
Ответ 101,25 кв. см

9. 4 вопрос

Назовем
четырехзначное число
интересным , если разность между двумя
произвольными числами этого числа
превосходит 2.Определите сумму всех
цифр всех интересных четырехзначных
чисел.

10. Ответ

Сумма
всех интересных чисел 18*18=324

11. 5 вопрос

Эксперт
Персиков обнаружил,что,если во
фразе «ЭКПЕРТ ПЕРСИКОВ» заменить
буквы цифрами так,чтобы одинаковым
буквам соответствовали одинаковые
цифры, а разным буквам –разные цифры,
то ЭКСПЕРТ без остатка делится на ПИ,О
*О=В,ИКС+КСИ=760,а ЭКС+ПЕР+Т
+1=1000

12. Ответ

Э=7
К=1 С=4 П=2 Е=8 Р=0 Т=5 И=6 О=3 В=9
ИКС + КСИ = 760 614+146 =760
О * О = В 3*3=9
ЭКС+ПЕР+Т+1=1000
714+280+5+1=1000

13. 6 вопрос

Внучка случайно разбила дедушкину
копилку с советскими монетами
.Оказалось ,что половина монет и еще
одна -20 копеечные , половина
оставшихся и еще полмонеты 15
копеечные,17 полтинников ,а остальные
– двух – и трехкопеечные . Могло ли в
копилке быть ровно 100 рублей , если
всего было меньше 500 монет?

14. Ответ:

Пусть
было всего 480 монет
241*20=48р20коп
120*15=1р70коп +пол копейки
17*50=8р 50
480-388=92
90 двухкопеечные 1р 80 копеек
2 трехкопеечные 6 кропеек
48,20+15,70+8,50+1,80+6
+пол.копейки.=71р 46 копеек+полкопеек
Нет не могло быть 100 рублей ровно.

15. 7 вопрос

Какое
максимальное число коней можно
расставить на шахматной доске 9*9 так ,
чтобы они не угрожали друг другу . А
сколько кородей?

16. Ответ

к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
Коней 41
к
к
к
к
к
к
к
к
к
К
к
К
к
к
к
к
к
к
к
к
к
К
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
к
Королей 25

17. 8 вопрос

На
книжной полке в правильном порядке
стоят два тома энциклопедии . В первом
томе 726 страниц , во втором – 704
страницы . Книжный червь прогрыз
насквозь от 16 й страницы первого тома до
694 страницы второго тома , которая
осталась нетронутой. Сколько листов
прогрыз червь, не считая обложек?

18. Ответ

1)
728 -16 = 712(стр) 1 тома прогрыз червь
2) 712 : 2 = 356(лист) 1 тома прогрыз червь
3) 694 страница и 693 страница 2 тома
составляют 1лист, который остался
нетронутым. Значит червь прогрыз
листы 2 тома до 692 страницы.
4) 692 : 2 = 346(листов) 2 тома прогрыз
червь.
5) 352 + 346 = 698(лист)
Ответ: 698 листов всего прогрыз червь.

19. 9 вопрос

20-(13+(20*(1-(3:х))))=2013
20-(13+20-(60/х))=2013
20-13-20+60/х=2013
60/х=2026
Х=60/2026
Х=30/1013

20. 10 вопрос

Можно
ли число 444 разделить на четыре
неравные целые части так,что если к
первой прибавить 4,от второй отнять 4,
третью увеличить в 4 раза , а четвертую
уменьшить в 4 раза, то получился бы
одинаковый результат?

21. 10 вопрос

1)68+4=72
2)76-4=72
3)18*4=72
4)282/4=70,5
Нет
невозможно.