Теория чисел и Пьер Ферма

1.

Теория чисел и Пьер Ферма.
Теория чисел или высшая арифметика - раздел
математики, изучающий целые числа и сходные
объекты.
Одним из основателей является французский
математик Пьер Ферма(1601-1665г).

2.

«Быть может, потомство будет
мне признательно за то, что я
показал ему, что Древние
знали не все.»
Пьер Ферма.

3.

Французский математик, один из
создателей аналитической
геометрии, математического
анализа, теории вероятностей и
теории чисел, Пьер Ферма
родился в гасконском городке
Бомон-де-Ломань (Франция).
Родители - Доминик Ферма и Клер
де Лонг. Ферма получил
юридическое образование.

4.

Успешно закончив обучение, Ферма
выкупил должность королевского
советника парламента в Тулузе. В этом
же году он женился на дальней
родственнице матери, Луизе де Лонг. У
них было пятеро детей.
Быстрый служебный рост позволил
Ферма стать членом Палаты эдиктов в
городе Кастр .
Именно этой должности он обязан
добавлением к своему имени признака
знатности — частицы de.

5.

Свои научные результаты Ферма не
публиковал. Он посвящал
математике лишь свободное время и
не рассматривал ее как главное дело
своей жизни. О сделанных им
открытиях известно из его переписки
с другими учеными, а также из бумаг,
оставшихся после его смерти.

6.

В эпоху дуэлей между учеными мужами был общепринят обмен
задачами. Однако Ферма явно не знает меры. Каждое его письмо - это
вызов, содержащий десятки сложных нерешенных задач, причем на
самые неожиданные темы.
То, что Ферма никогда не раскрывал своих доказательств,
вызывало у его коллег чувство горького разочарования. Рене Декарт
называл Ферма «хвастуном», а англичанин Джон Валлис называл его
«проклятым французом». Ферма доставляло особое удовольствие
разыгрывать своих коллег по ту сторону Ла-Манша.
Помимо удовольствия, которое доставляло Ферма
поддразнивание своих коллег, его обыкновение формулировать проблему
и скрывать ее решение имело под собой и более практическую
мотивацию. Прежде всего оно означало, что Ферма не имел времени
подробно излагать полученное им доказательство; он торопился перейти
к решению следующей проблемы.

7.

Начал Ферма с задач про магические
квадраты и кубы, но постепенно переключился
на закономерности натуральных чисел —
арифметические теоремы. Несомненно
влияние Диофанта на Ферма, и символично,
что он записывает свои удивительные
открытия на полях «Арифметики».
«Арифметики» Диофанта (1621).
Главное содержание книги –
неопределенные уравнения, которые
теперь называются диофантовыми
уравнениями..

8.

Малая теорема Ферма
Это классическая теорема теории чисел, утверждающая, что
ap-1 ≡ 1 (mod p)
или
ap - a делится на p
при условии , что p – простое, a - целое и a не делится на p
Примеры:
1) a=5, p=3, тогда 53-5=120, 120 делится на 3
2) a=8, p= 5, тогда 85-8=32760, 32760 делится на 5
ap - a = a(ap-1-1), тогда из теоремы следует, что (ap-1-1) делится на p
Например:
a=5, p=3, тогда 53-5=5(52-1)=5*24, 5*24 делится на 3, т.е. 24 делится
на 3

9.

Теорема: Если p есть простое число, отличное от 2 и 5, то
1
длина периода P является делителем числа p-1.
1 превратим в десятичную
P дробь:
1
3
1. =0,333…=0,(3)
1
2. 7 =0,(142857)
1
3.11 =0,(09)
Связанна ли длина периода с числом P?
Длина периода является делителем
числа Р-1. Для:
1) Длина 1 делитель 3-1=2
2) Длина 6 делитель 7-1=6
3) Длина 2 делитель 11-1=10

10.

Для любого простого числа P разность (10p-1-1) P по малой т. Ферма.
Значит, имеет вид mP, т.е. 10p-1=mP+1.Разделим на P:
1/p*10p-1=m+1/p.То есть переместив в дроби, равной 1/p , запятую на P-1
шагов вправо, получим число с той же самой дробной частью. Это
возможно при условии, что P-1 кратно длине периода.
Из доказательства видно, что в десятичной системе счисления
длина периода дроби 1/p (p≠2,p≠5) равна наименьшему из чисел K, для
которых (10k-1) делится на P. Аналогично и в других системах счисления.

11.

Например:
1
=0,(09)
11
(10k-1) 11, K – делитель 10: 1,2,5,10.
Проверим: (10k-1) 11
(102-1) 11
(100-1) 11, т.е.
99 11 –что и требовалось
доказать.

12.

Великая теорема Ферма
В 1636 году Ферма высказал
предположение, о том, что уравнение вида
an+bn=cn
не имеет решений в натуральных числах
при показателе степени n>2.
Под своим высказыванием он
иронично повествовал: «Я открыл
поистине чудесное доказательство, но
эти поля для него слишком малы.»

13.

За прошедшие столетия одно за
другим были доказаны все утверждения
Ферма, содержавшиеся в примечаниях на
полях «Арифметики» Диофанта, и только
Великая теорема Ферма упорно не
поддавалась усилиям математиков. Великая
теорема ферма обрела известность как самая
трудная «головоломка» математики.

14.

История доказательства:
Леонард Эйлер в 1770 году доказал теорему для случаев
n=3, после для n=4.
Леонард Эйлер.
(1707-1783 гг.)
Дирихле и Лежандр в 1825 – для n=5, Ламе – для n=7.
Куммер показал, что теорема верна для всех простых n,
меньших 100, за возможным исключением иррегулярных
простых: 37, 59, 67. Побужденный задачей, он пришел к
введению идеальных чисел, описал их свойства, что
являлось неоценимым вкладом в современную теорию
чисел.
Д. Гильберт сказал, что теорема Ферма являет разительный
пример того, какое побуждающее влияние оказывает на
науку разрешение, на первый взгляд, малозначительной
проблемы, приводя в пример того же Э. Куммера.
Эрнст Куммер.
(1810-1893 гг.)

15.

В 1908 немец, любитель математики
Вольфскель даже завещал 100000 немецкий марок
тому, кто докажет Великую теорему Ферма.
Однако, после Первой мировой войны премия
обесценилась.
Основательно к проблеме вернулись в
1980-х, опираясь на современные
подтвержденные гипотезы.
В 1993 году Э. Уайлс опубликовал 1-ый
вариант доказательства теоремы, но в ней
обнаружился серьёзный пробел, который
исправили к 1995 с помощью Р. Тейлора.
Его доказательство занимает порядка 130
страниц.

16.

Завещание Ферма
В заключение приведем сводку результатов Ферма по теории чисел,
упомянутых им самим в письме к Каркави, получившем название
«завещание Ферма».
1. Не существует прямоугольного треугольника в числах, площадь
которого была бы квадратом;
2. Нет куба, который разбивался бы на два куба;
3. Уравнение x2+2=y3 имеет единственное решение в целых числах x=5,
y=3;
4. Уравнение x2+4=y3 имеет только два решения в целых числах x1=2,
y1=2 и x2=11, y2=5;
5. Система уравнений
x=2y2-1,
x2=2z2-1;
имеет только два решения в целых числах: x1=y1=z1=1, x2=7, y2=2, z2=5;
6. Каждое целое число может быть представлено суммою не более
четырех квадратов.

17.

«Быть может, потомство будет
признательно мне за то, что я показал ему, что
Древние не все знали, и это может проникнуть в
сознание тех, которые придут после меня для
передачи факела сыновьям, как говорит великий
канцлер Англии, следуя чувствам которого, я
добавлю: «Многие будут приходить и уходить, а
наука обогащается»».

18.

Над проектом работали:
Волков Никита
Захаров Степан
Сироткина Юлия
Жданков Александр
Малькова Анастасия
Руководитель проекта: Ладющенкова Ольга
Евгеньевна