Решение треугольников

1.

19.12.2023
Урок №28
1

2. Самостоятельная работа

19.12.2023
Самостоятельная работа
• Вариант 1
• Вариант 2
Найти 1.
Х
1.
х
8
120º
3
60º
45º
х
2.
5
6
х
45º
2.
14
30º
135º
х
4 2
3. Определите вид треугольника со сторонами
3; 5; 7
4; 5; 6
2

3. Определение

19.12.2023
Определение
Решением треугольника называется
нахождение всех его шести элементов (то
есть трёх сторон и трёх углов) по какимнибудь трём данным элементам.
В
c
А
3
a
С
b
3

4. Для этого вспомним

19.12.2023
Для этого вспомним
Решение данных задач основано на использовании теорем
синусов и косинусов, теоремы о сумме углов
треугольника и следствии из теоремы синусов: в
треугольнике против большего угла лежит большая
сторона, против большей стороны лежит больший угол.
Причем, при вычислении углов треугольника
предпочтительнее использовать теорему косинусов, а
не теорему синусов.
4
4

5. Сумма углов треугольника

19.12.2023
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов
a
b
c
sin A sin B sin C
В
c
А
6
a
С
b
6

6. Теорема синусов

19.12.2023
Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон минус
удвоенное произведение этих сторон на
косинус угла между ними.
a b c 2bc cos A
2
2
2
А
7
В
c
a
С
b
7

7. Теорема косинусов

19.12.2023
Три задачи на решение
треугольника
8
8

8. Три задачи на решение треугольника

19.12.2023
Дано : АВС , ВС a, АС b, C
C
A
В
9

9.

Решение
19.12.2023
с а в 2ав сos , значит
2
с
2
2
а в 2ав cos
2
2
2) Если γ- тупой угол, значит α и β острые углы
Если γ –острый угол, то сравниваем а и b, выбираем меньшую
и находим меньший угол (он точно острый)
Допустим это α
а
c
a sin
sin
sin sin
c
3) β =180º- (α + β)
Задача имеет одно решение
10

10. Решение

19.12.2023
Решаем задачу 1
Решить треугольник АВС, если a=6,3 см, b=6,3 см, C=54º.
Дано: АВС, a=6,3 см,
b=6,3 см, C=54º.
Найти: А, В, c.
В
Ответ
А
11
С
11

11. Решаем задачу 1

19.12.2023
C
A
Дано : АВС , ВС a, C , В
В
12

12.

Решение:
19.12.2023
γ = 180º - (α+β), α+β < 180º
а
b
a sin
b
sin sin
sin
a
c
a sin
c
sin sin
sin
Задача имеет одно решение
13

13. Решение:

19.12.2023
Решаем задачу 2
Решить треугольник АВС, если А=60º В=40º, с =14см.
Дано: АВС, А=60º,
В=40º, с=14см.
Найти: a, b, С.
С
Ответ
В
14
А
14

14. Решаем задачу 2

19.12.2023
Дано : АВС , ВС a, АС b, АВ с
C
A
В
15

15.

19.12.2023
Решение
Пусть а – наибольшая сторона треугольника,
а 2 с 2 в 2 2вс cos
c b a
cos
2cb
a
b
, значит
sin
sin
b sin
sin
a
180 ( )
2
2
2
Задача имеет одно решение
16

16. Решение

19.12.2023
Решаем задачу 3
Решить треугольник АВС, если a=6 см, b=7,7 см, c=4,8 см.
Дано: a=6 см, b=7,7 см,
c=4,8 см.
Найти: А, B, C.
В
Ответ
А
17
C
17

17. Решаем задачу 3

19.12.2023
IV тип задач
по двум сторонам и углу,
лежащему против одной из них
Дано:
∆ АВС
а , в, α
Найти: с, γ, β
а
в
α
18

18. IV тип задач по двум сторонам и углу, лежащему против одной из них

19.12.2023
Решение
а
b
b sin
, значит sin
sin sin
a
1. Если в намного больше а, то sinβ >1 и
задача не имеет решений.
2. Если sinβ =1, то β =90º, γ =90º-α,
с = в cosα
в этом случае задача имеет
единственное решение
19

19. Решение

19.12.2023
3. Если 0 < sinβ < 1 , то β может быть и
острым и тупым углом
Сравниваем а и в
Если а < в, то
существуют два угла β
значит
1 -острый,
треугольник-
остроугольный
1 180 ( 1 )
а sin 1
с1
sin
2 =180º- (α + 1)-тупой,
значит треугольниктупоугольный
2 180 ( 2 )
a sin 2
c2
sin
20
В этом случае задача имеет два решения

20.

19.12.2023
Таблица – памятка
Решение
треугольника по двум
сторонам и углу
между ними
А
В
В
β
B 180 A C
В
С
A 180 B C
a sin B
sin A
a sin С
с
sin A
b
А
b
c
γ
a
С
с a 2 b 2 2ab cos C
b2 c2 a 2
cos A
2bc
Решение треугольника по
трем сторонам
А
b
γ
a
Решение
треугольника по
стороне и
прилежащим к ней
углам
a
С
b2 c2 a 2
cos A
2bc
2
b a2 c2
cos C
2ab
B 180 A 21
C

21. Таблица – памятка

19.12.2023
Ответ к примеру 3
А=54º52´
B=84º16´
C=40º52´
24
24

22. Ответ к примеру 1

19.12.2023
Найди ошибку
à 2 b 2 c 2 2bc cos
sin A sin B sin C
a
b
c
b a c 2bc cos
sin A
2R
a
a 2 a 2 c 2 2ac sin
b
2r
sin B
2
25
2
2
25