Исследование функций и построение графиков
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
Исследование функций
1.28M
Category: mathematicsmathematics

Исследование функций и построение графиков. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа

1. Исследование функций и построение графиков

2. Исследование функций


Теорема Ферма.
Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа.

3. Исследование функций


Теорема Ферма.
Пусть функция y f (x)
удовлетворяет условиям:
Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа.

4. Исследование функций


Теорема Ферма.
Пусть функция y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда : f (c) 0
Теорема Ролля.
Теорема Лагранжа.

5. Исследование функций


Теорема Ферма.
Пусть функция y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда : f (c) 0
Теорема Ролля.
Пусть функция
y f (x)
удовлетворяет условиям:
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
y f (x)
удовлетворяет условиям:

6. Исследование функций


Теорема Ферма.
Пусть функция y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда : f (c) 0
Теорема Ролля.
Пусть функция
y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
y f (x)
удовлетворяет условиям:

7. Исследование функций


Теорема Ферма.
Пусть функция y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда : f (c) 0
Теорема Ролля.
Пусть функция
y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
в) в концах отрезка принимает
одинаковые значения
f (a) f (b)
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
y f (x)
удовлетворяет условиям:

8. Исследование функций


Теорема Ферма.
Пусть функция y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда : f (c) 0
Теорема Ролля.
Пусть функция
y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
в) в концах отрезка принимает
одинаковые значения
f (a) f (b)
Тогда :
f (c) 0
хотя бы в одной внутренней
точке c є (a,b).
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
y f (x)
удовлетворяет условиям:

9. Исследование функций


Теорема Ферма.
Пусть функция y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда : f (c) 0
Теорема Ролля.
Пусть функция
y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
в) в концах отрезка принимает
одинаковые значения
f (a) f (b)
Тогда :
f (c) 0
хотя бы в одной внутренней
точке c є (a,b).
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);

10. Исследование функций


Теорема Ферма.
Пусть функция y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда : f (c) 0
Теорема Ролля.
Пусть функция
y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
в) в концах отрезка принимает
одинаковые значения
f (a) f (b)
Тогда :
f (c) 0
хотя бы в одной внутренней
точке c є (a,b).
Тогда :
f (c)
f (b) f (a)
b a
хотя бы в одной внутренней
точке c є (a,b).

11. Исследование функций


Теорема Ролля.
Теорема Ферма.
Пусть функция y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда : f (c) 0
Геометрический смысл.
y
0
a
c
b
x
Пусть функция
y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
Теорема Лагранжа.
Пусть функция
y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
в) в концах отрезка принимает
одинаковые значения
f (a) f (b)
Тогда :
f (c) 0
хотя бы в одной внутренней
точке c є (a,b).
Тогда :
f (c)
f (b) f (a)
b a
хотя бы в одной внутренней
точке c є (a,b).

12. Исследование функций


Теорема Ролля.
Теорема Ферма.
Пусть функция y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда : f (c) 0
Геометрический смысл.
y f (x)
a
c
y f (x)
Пусть функция
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
b
x
y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
в) в концах отрезка принимает
одинаковые значения
Тогда :
f (a) f (b)
Тогда :
точке c є (a,b).
y f (x)
f (a) f (b)
0
a
f (b) f (a)
b a
точке c є (a,b).
хотя бы в одной внутренней
c
f (c)
хотя бы в одной внутренней
f (c) 0
Геометрический смысл.
y
y
0
Пусть функция
Теорема Лагранжа.
c1
b x

13. Исследование функций


Теорема Ролля.
Теорема Ферма.
Пусть функция y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
в) принимает наибольшее или
наименьшее значение
во внутренней точке c є (a,b).
Тогда : f (c) 0
Геометрический смысл.
Пусть функция
Теорема Лагранжа.
y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
y f (x)
удовлетворяет условиям:
а) непрерывна на отрезке [a,b];
б) имеет производную f (x)
во всех внутренних точках (a,b);
в) в концах отрезка принимает
одинаковые значения
Тогда :
f (a) f (b)
Тогда :
f (c)
f (b) f (a)
b a
хотя бы в одной внутренней
f (c) 0
точке c є (a,b).
хотя бы в одной внутренней
Геометрический смысл.
y
точке c є (a,b).
Геометрический смысл.
y
y
y f (x)
Пусть функция
f (b)
y f (x)
f (a) f (b)
y f (x)
f (a)
0
a
c
b
x
0
a
c
c1
b x
0
a
c
b
x

14. Исследование функций

y
Монотонность функции.



Определение 1.
Функция y f (x) называется
возрастающей в (a,b) , если
f ( x2 )
f ( x1 )
x1 , x2 (a, b) : x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ).



Определение 2.
Функция y f (x) называется
убывающей в (a,b) , если
x1 , x2 (a, b) : x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ).
y f (x)
0
a x1
f ( x1 )
y
f ( x2 )
0
a x1
x2
b
x
y f (x)
x2
b
x

15. Исследование функций


Теорема.
Пусть
Тогда:
f ( x) x (a, b) .
1) f ( x) 0 f ( x) возраст аетв (a, b) ;
2) f ( x) 0 f ( x) убывает в (a, b) .
Доказательство.
1.
2.
x1 , x2 (a, b) : x1 x2
f ( x2 ) f ( x1 ) f (c)( x2 x1 ) ; c ( x1 , x2 ) (a, b).
f ( x) 0 x (a, b) f (c) 0
f ( x2 ) f ( x1 ) 0 f ( x2 ) f ( x1 ) ( убывает) .
3.
f ( x) 0 x (a, b) f (c) 0
f ( x2 ) f ( x1 ) 0 f ( x2 ) f ( x1 ) (возрастает) .

16. Исследование функций


y
Экстремум функции.








Определение 1.
Точка x0 оси ОХ называется
точкой minimum`а функции y f (x),
если - окрестность точки x0 такая, что
f ( x) f ( x0 ) x окрестности , x x0
Определение 2.
Точка
0 оси ОХ называется
точкой maximum`а функции y f (x) ,
если
- окрестность точки 0 такая, что
x
x
f ( x) f ( x0 ) x окрестности , x x0





Определение 3.
Точками экстремума называются
точки minimum`а и точки maximum`а.
Значения функции в этих точках
Называют экстремальными значениями.
f (x)
x 0 x
f ( x0 )
0
окрестность
x
y
f ( x0 )
f (x)
0
x x 0
x
окрестность

17. Исследование функций


Необходимый признак экстремума.


Теорема.
1. y f ( x )
определена
в окрест ности т очки x0

( включая т очку x0 )
.
2. точка x0 точка экстремума

Доказательство.

Пусть

Определение 3.

Критическими точками называются

точки оси ОХ , в которых

либо
f ( x0 )
f ( x ) 0
f ( x0 ) 0 либо
f ( x0 ) не существует
y f (x) - удовлетворяет теореме Ферма
f ( x) 0
не существует.
f ( x0 ) 0

18. Исследование функций


Достаточные признаки экстремума.


Определение.
Пусть y f (x) определена и непрерывна


в δ - окрестности точки x0 (включая точку x0 ).
Пусть f (x) в δ - окрестности точки x0

(за исключением, быть может, точки

Говорят, что

меняет знак с « + » на « - », если

Говорят, что

меняет знак с « - » на « + » , если
x0 ).
f (x) при переходе через точку x0
при x x0 : f ( x) 0 , при x x0 : f ( x) 0 .
f (x)
при переходе через точку
x0
при x x0 : f ( x) 0 , при x x0 : f ( x) 0 .

19. Исследование функций


Первый достаточный признак экстремума.

Теорема.

1.
y f ( x) определена
в окрест ности т очки x0
(включая т очку x0 ) ;

2.

3.


точка x0 критическая ;
f (x) при переходе через точку x0
меняет знак с « + » на « - »
4.

f (x)
при переходе через точку
меняет знак с « - » на « + »



Доказательство.
1. f (x) меняет знак
с «+» на «-»


2.
f (x)
меняет знак
с «-» на «+»
x0
Точка
x0 - точка maximum`а
Точка
x0
- точка minimum`а
при x x0 : f ( x) 0 f ( x) возраст ает
при x x0 : f ( x) 0 f ( x) убывает
при x x0 : f ( x) 0 f ( x) убывает
при x x0 : f ( x) 0 f ( x) возраст ает
f ( x) f ( x0 )
x0 точка max
f ( x) f ( x0 )
x0 точка min

20. Исследование функций


Второй достаточный признак экстремума.

Теорема.

1.
y f ( x) определена
в окрест ности т очки x0
(включая т очку x0 ) ;

2.
f ( x0 ) 0 ;

3.
f ( x0 ) 0
Точка

4.
f ( x0 ) 0
Точка
x0
- точка minimum`а
x0 - точка maximum`а

21. Исследование функций







Определение 1.
График функции y f (x) называется
выпуклым вверх в ( a, b) , если
график расположен не выше
любой своей касательной при x (a, b)





Определение 2.
График функции y f (x) называется
выпуклым вниз в ( a, b) , если
график расположен не ниже
любой своей касательной при x (a, b)
Определение 3.
Точка M 0 ( x0 , y0 ) графика функция
называется точкой перегиба, если
окрестность точки x0 ,в которой
слева от точки x0 график расположен
по одну сторону, а справа по другую сторону
от касательной, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 )
y f (x)
b
a
0
y f (x)
y
x
0







y
Выпуклость и точки перегиба графика функции.
x
b
a
y f (x)
y
y0
M (x , y )
0
x0
0
0
0
x
окрестность

22. Исследование функций


Достаточный признак выпуклости.

Теорема.

1.

2.
f ( x) x (a, b) ;
f ( x) 0
x ( a, b)

3.
f ( x) 0
x ( a, b)
График функции
выпуклый вниз
y f (x)
в ( a, b)
y f (x)
выпуклый вверх в ( a, b)
График функции

23. Исследование функций


Необходимый признак перегиба.

Теорема.

1. График функции


в точке
2.
y f (x)
M 0 ( x0 , y0 ) имеет перегиб;
f ( x0 )
f ( x0 ) 0
Достаточный признак перегиба.
Теорема.
f ( x0 ) x (a, b) ;
2. f ( x0 ) 0 при x0 (a, b) ;
1.
3.
f ( x0 ) меняетзнак при
переходечерез точку x0
M 0 ( x0 , y0 ) точка перегиба.

24. Исследование функций


y
Асимптоты графика функции.

Определение.

Прямая
L называется асимптотой графика

функции
y f (x) , если расстояние

на графике до прямой

неограниченном удалении точки от начала координат.
от точки
M
y f (x)
M
M
L
d
M
L стремится к нулю при
0
x

25. Исследование функций


y
Асимптоты графика функции.

Определение.

Прямая
L называется асимптотой графика

функции
y f (x) , если расстояние

на графике до прямой

неограниченном удалении точки от начала координат.
y
L
y f (x)
M
L
d
M
0
M
M
d
a
y f (x)
M
L стремится к нулю при
M
0
от точки
M
x
x

26. Исследование функций


y
Асимптоты графика функции.

Определение.

Прямая
L называется асимптотой графика

функции
y f (x) , если расстояние

на графике до прямой

неограниченном удалении точки от начала координат.
y
L
от точки
M
y f (x)
M
d
M
y f (x)
0
x
y
M
y
M
1
x 1
d
a
L
L стремится к нулю при
M
0
M
x
0
-1
1
x

27. Исследование функций


Теорема 1.


x a
Прямая
является вертикальной асимптотой,
если хотя бы один из пределов
lim f ( x) или lim f ( x)
x a 0

равен
x a 0
или
Теорема 2.
y kx b является
f ( x)
lim
k
x
x
Прямая
если
и
наклонной асимптотой,
lim f ( x) kx b
x
Замечание. Горизонтальная асимптота - частный случай
наклонной асимптоты при k 0

28. Исследование функций


Общая схема исследования функции.







Первый этап.
1. Область определения, точки разрыва.
2. Четность, нечетность.
3. Периодичность.
4. Точки пересечения с осями координат.
5. Асимптоты графика.
6. Поведение при x
Уточненное исследование с помощью
первой производной.
1. Точки экстремума (вычислить экстремальные значения).
2. Интервалы монотонности.
Исследование с помощью второй производной.
1. Точки перегиба (вычислить значение функции и угловой коэффициент).
2. Интервалы выпуклости.

29. Исследование функций


Пример 1.
y x 8x 16 x
3

Исследовать функцию и построить график

1. О.О.Ф.

2. Четность, нечетность:
2
x R
y( x) ( x) 8( x) 16( x) x 8x 16 x ( x 8x 16 x)
y ( x) y ( x) ; y ( x) y ( x) Функция общего вида
3
2
3

3. Непериодическая.

4. Точки пересечения с осями координат:
с Оу:
С Ох:
2
3
2
x 0 y 0 M 0 (0,0)
y 0 x 8 x 16 x 0
3
2
x( x 8 x 16) 0
2
x( x 4) 0
2
x0 0, x1 4
M 0 (0,0), M 1 (4,0)

30. Исследование функций


5. Асимптоты.
а) вертикальных асимптот нет;
б) наклонные:
y kx b
f ( x)
x 8x 16 x
2
k lim
lim
lim ( x 8 x 16)
x
x
x
x
x
3
2
Наклонных асимптот нет

x
3
2
lim ( x 8 x 16 x)
6. Поведение при
x
lim ( x 8 x 16 x)
3
x
2

31. Исследование функций


Исследование с помощью первой производной.
2
y 3x 16 x 16
16 16 4 3 16 16 8
6
6
2
y 0 3x 16 x 16 0 x1, 2
4
x1 4, x2
3
2
y
+
max
4
3
4
4 3
4 2
4 256
y ( ) ( ) 8 ( ) 16
9,5
3
3
3
3 27
y (4) 0
-
min
4
+
х

32. Исследование функций

y
Построение графика.
256
27
0
4
3
4
x

33. Исследование функций


Исследование с помощью второй производной.
y (3x 16 x 16) 6 x 16
2
y 0 6 x 16 0 x
y
+
16 8
6 3
8
3
х

34. Исследование функций

y
Построение графика.
256
27
128
27
0
4
3
8
3
4
x

35. Исследование функций


Пример 2.


Исследовать функцию и построить график
.
2
x
1. О.О.Ф.: x 1 ; lim
1 x
x2
lim
x 1 o 1 x
x 1 o




x2
y
1 x
x 1 т очка разрыва
вт орогорода.
2. Четность, нечетность:
( x) 2
x2
y ( x)
1 ( x) 1 x
y( x) y( x) ; y( x) y( x)
3. Непериодическая.
4. Точки пересечения с осями координат:
5. Асимптоты:
• а) вертикальные: x 1 .
• б) наклонные: y kx b ;
Функция
общего
вида.
x 0; y 0.
f ( x)
x
lim
1 ;
x
x
x
1 x
x2
b lim f ( x) kx lim
x 1 .
x
x 1 x
k lim
y x 1

36. Исследование функций


График функции.
y
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
x

37. Исследование функций


График функции.
y
-1
0
1
2
-1
-2
-3
-4
-5
?
3
x

38. Исследование функций


Исследование с помощью первой производной.
2 x(1 x) x 2 ( 1) x(2 x)
y
;
(1 x) 2
(1 x) 2
y 0 x1 0 ; x2 2 ;
y1 0 ; y2 4 ;
y не существует: x 1
y
min
0
1
max
2
x

39. Исследование функций


Уточненный график.
y
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
x
English     Русский Rules