Типы правильных многогранников

1.

Типы
правильных
многогранников

2.

Существует 5 типов правильных
многогранников
Правильный
гексаэдр
Правильный
тетраэдр
Правильный
додекаэдр
Правильный
октаэдр
Правильный
икосаэдр

3.

Названия многогранников пришли из
Древней Греции и в них указывается
число граней:
«эдра» - грань
«тетра» - 4
«гекса» - 6
«окта» - 8
«икоса» - 20
«дедека» - 12

4.

Правильные многогранники
Почему их существует 5?
Рассмотрим развертку вершины многогранника.
вершина может принадлежать трем и более граням.
Каждая
Сначала рассмотрим случай, когда грани многогранника равносторонние треугольники. Поскольку внутренний угол
равностороннег треугольника равен 60°, три таких угла дадут
в развертке 180°. Если теперь склеить развертку в
многогранный угол, получится тетраэдр - многогранник, в
каждой вершине которого встречаются три правильные
треугольные грани.
Если добавить к развертке вершины еще один треугольник, в
сумме получится 240°. Это развертка вершины октаэдра.
Добавление пятого треугольника даст угол 300° - мы
получаем развертку вершины икосаэдра. Если же добавить
еще один, шестой треугольник, сумма углов станет равной
360° - эта развертка, очевидно, не может соответствовать ни
одному выпуклому многограннику.

5.

Теперь перейдем к квадратным граням. Развертка из
трех квадратных граней имеет угол 3x90°=270° получается вершина куба, который также называют
гексаэдром. Добавление еще одного квадрата
увеличит угол до 360° - этой развертке уже не
соответствует никакой выпуклый многогранник.
Три пятиугольные грани дают угол развертки
3*108°=324 - вершина додекаэдра. Если добавить
еще один пятиугольник, получим больше 360° - поэтому
останавливаемся.
Для шестиугольников уже три грани дают угол
развертки 3*120°=360°, поэтому правильного выпуклого
многогранника
с
шестиугольными
гранями
не
существует. Если же грань имеет еще больше углов, то
развертка будет иметь еще больший угол. Значит,
правильных выпуклых многогранников с гранями,
имеющими шесть и более углов, не существует.

6.

Правильный тетраэдр
D
Площадь полной
поверхности правильного
тетраэдра: S = a2√3
C
A
B
В
переводе
с
греческого
«тетраэдр» - четырёхгранник .
У правильного тетраэдра грани –
правильные треугольники;
в
каждой вершине сходится по три
ребра.
Тетраэдр
представляет
собой
треугольную пирамиду, у которой
все ребра равны.

7.

Правильный гексаэдр
D1
C1
A1
Площадь поверхности
гексаэдра: S = 6a2
B1
C
D
А
B
Гексаэдр - шестигранник.
У правильного гексаэдра (куба)
все грани - квадраты; в каждой
вершине сходится по три ребра.
Куб представляет собой
прямоугольный параллелепипед
с равными рёбрами.

8.

Правильный октаэдр
F
Площадь поверхности
октаэдра: S = 2a2√3
D
C
A
B
M
Октаэдр - восьмигранник.
У октаэдра грани – правильные
треугольники, но в отличие от
тетраэдра в каждой вершине
сходится по четыре ребра.

9.

Правильный додекаэдр
Площадь поверхности
додекаэдра:
Додекаэдр двенадцатигранник.
У додекаэдра грани –
правильные пятиугольники.
В каждой вершине сходится
по три ребра.

10.

Правильный икосаэдр
Площадь поверхности
икосаэдра: S = 5a2√3
Икосаэдр - двадцатигранник.
У
икосаэдра
грани
правильные треугольники.
–
В каждой вершине сходится по
пять рёбер.

11.

Леонард Эйлер (1707-1783 г.г.)
Эйлер - швейцарский математик и механик,
академик Петербургской Академии Наук, автор огромного
количества глубоких результатов во всех областях
математики.
По единодушному признанию современников Леонард
Эйлер - первый математик мира. В геометрии Эйлер
положил начало совершенно новой области
исследований, выросшей впоследствии в
самостоятельную науку — топологию.
Имя Эйлера носит формула, связывающая число
вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого
многогранника:
В+Г-Р=2
«Эйлер не проглядел ничего в современной ему
математике, хотя последние семнадцать лет своей
жизни был совершенно слеп».
Э.Т. Белл

12.

Скелет одноклеточного
организма феодарии
представляет собой
икосаэдр.
Поваренная соль
состоит из кристаллов
в форме куба
Молекулы воды имеют
форму тетраэдра.
Минерал сильвин
также имеет
кристаллическую
решетку в форме куба.
Кристаллы пирита
имеют форму
додекаэдра
Минерал куприт
образует кристаллы
в форме октаэдров.