Угол между высотой тетраэдра

1.

В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между высотой
тетраэдра DH и медианой BM боковой грани BDC.
Заменим DH на параллельную прямую ME. Угол между прямыми DH и
BM будет равен углу между ME и BM.
ME ABC , значит, отрезок МЕ перпендикулярен к
любой прямой, лежащей в этой плоскости. ME BE Из BDM :
D
1
A
2
2
2
BCD равносторонний , DB DM MB ;
2
1 BM медиана и высота
1
2
12 MB 2 ;
2
M
1
1
MB 2 1 ;
2
4
3
2
3
C
MB ;
4
HE
K
1
1
2
B
3
.
2
3
CK
.
2
MB

2.

В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между высотой
тетраэдра DH и медианой BM боковой грани BDC.
H – точка пересечения медиан правильного
Из ECM :
треугольника. CH:HK = 2 : 1, считая от вершины.
2
2
2
CM
ME
EC
;
Из MBE :
По теореме Фалеса СЕ = EH.
3
2
2
CK
.
Тогда КH = СЕ = EH.
ME
2
D
СЕ СК : 3;
1
2
M
3
2
1
6
6
A
E
H
K
1
2
B
1
3
: 3;
2
3
СЕ
6
СЕ
1
2
3
6
C
3
1
2;
cos
;
ME
MB
2
6
6 33
1
cos
ME 2
6 : 2; ;
4 36
6 12
2 1
cos
ME
46 12 3
21
cos
ME ;
36
26
1
ME
arccos
6 3 6
6
ME
6