Признаки делимости натуральных чисел

1.

Признаки делимости натуральных чисел
Признак
делимости на 2
Признак
делимости на
Примеры решения задач
5
Задачи повышенной
сложности на признаки
Признак
делимости на
10
Признак
делимости на
Это интересно…
Историческая справка
4
Признак
делимости на
25
Тренажер
Признак
делимости на 3
Признак
делимости на
9
Завершить
изучение
темы

2.

Признак делимости на 2
Если последняя цифра
числа четная, то число
делится на 2
Например: 46:2=23
47:2=23.5 – нацело не делится!
Вернуться в
главное меню

3.

Признак делимости на 5
Если последняя цифра
числа 5 или 0
то число
делится на 5
12
Например: 10:5=2
35:5=7
не делится нацело на
5
Вернуться в
главное меню

4.

Признак делимости на 10
Если число оканчивается
цифрой 0, то число
делится на 10
Например: 40:10=4
47:10 нацело не делится!
Вернуться в
главное меню

5.

Признак делимости на 4
Число состоящее более чем
из двух цифр делится на 4,
тогда и только тогда , когда
делится на 4 число,
образованное последними
двумя цифрами заданного
числа.
Например: 316:4= 79, так как
последние две цифры
образуют число 16:4=4,
а вот 317 на 4 не делится
Вернуться в
главное меню

6.

Признак делимости на 25
Число состоящее более чем
из двух цифр делится на 25,
тогда и только тогда , когда
делится на 25 число,
образованное последними
двумя цифрами заданного
числа.
Например: 375:25= 15, так как
последние две цифры
образуют число 25:5=5
а вот 365 на 25 не делится
Вернуться в
главное меню

7.

Признак делимости на 3
Натуральное число делится
на 3 тогда и только тогда,
когда делиться на 3 сумма
его цифр.
Например: 561:3=187, ведь
5+6+1= 12, а 12 делится на 3
нацело .
Вернуться в
главное меню

8.

Признак делимости на 9
Натуральное число делится
на 9 тогда и только тогда,
когда делиться на 9 сумма
его цифр.
Например: 567:9=63, ведь
5+6+7= 18, а 18 делится на 9
нацело .
Вернуться в
главное меню

9.

Примеры решения задач
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Вернуться в
главное меню

10.

Задача 1
• Когда Маша пошла в магазин за продуктами, у
нее в кошельке были только пятирублевые
монеты и десятирублевые купюры. Сможет ли
она уплатить ими без сдачи за :
Ответ
А) 6 кг картофеля по 5р за 1 кг;
Ответ
Б) 2л молока по 12 р за 1л
Ответ
В )0.4 кг сыра по цене 120р за 1кг
Вернуться к задачам

11.

Решение 1А)
• А) За 6 кг по 5р за кг Маша должна
заплатить 30 рублей .
Это число оканчивается цифрой 0,
значит нацело делится на 5 и на 10
Ответ: Маша рассчитается за покупку
без сдачи
Вернуться к задачам

12.

Ответ 1 Б)
• Б) За 2литра молока по 12 рублей
Маша отдать должна 24 рублей. Число
24 оканчивается цифрой 4, значит на
5 или 10 не делится.
• Маша за эту покупку получит сдачи 1
рубль или 6 рублей
Вернуться к задачам

13.

Ответ 1В)
• За сыр Маша должна заплатить
0.4*120=48 рублей. Это число
заканчивается цифрой 8,а значит не
делится ни на 5 ни на 10. Маша получит
сдачу 2 рубля.
Вернуться к задачам

14.

Задача 2
• Один диспетчер телевизионной
компании принял за день 162 заявки на
ремонт оборудования , а второй -108
заявок. Можно ли эти заявки
распределить поровну между девятью
ремонтными бригадами компании?
ответ
Вернуться к задачам

15.

Ответ к задаче 2
• 162+108=270 заявок разделим на 9
бригад.
• Сумма цифр числа 2+7+0=9 делится на
9, значит 270:9= 30
• Ответ : заявки можно разделить на 9
бригад по 30 заявок
Вернуться к задачам

16.

Задача 3
• Зоомагазин в первый день закупил 44
птицы, во второй – 87, а в третий на 15
птиц меньше, чем во второй. Можно ли
этих птиц рассадить поровну в три
клетки?
Ответ
Вернуться к задачам

17.

Ответ к задаче 3
• 44+87+(87-15)= 203 птиц разделим на
три клетки :
2+3+0=5 не делится на 3
, значит и число 203 на 3 не делится .
• Птиц нельзя разделить на три клетки
поровну
Вернуться к задачам

18.

Задача 4
• Среди данных чисел
225, 752, 754, 550, 1472, 1480, 37, 645,
375
выберите те, которые делятся А) на 4
• Б) на 25
Ответ
Вернуться к задачам

19.

Ответ к задаче 4
• На 4 делятся числа 752 (число
52:4=13) 1472 (72 :4=18) остальные не
делятся нацело
• На 25 делятся числа 225 (25625=1),
550 (50:25=2)
и 375 (75:25=3)
остальные числа не делятся на 25
Вернуться к задачам

20.

Задача 5
• Укажите трехзначное число первая
цифра которого 2, и оно делится на 9 и
на 5 , но не делится на 2
Ответ
Вернуться к задачам

21.

Ответ к задаче 5
• Трехзначное число начинается с цифры 2,
может , делясь на 5, заканчиваться на
0 или 5. Но Мы знаем , что искомое число
не делится на 2, значит нулем оно не
может заканчиваться . Таким образом , в
трехзначном числе есть цифры 2 и 5,
чтобы число делилось на 9 , сумма цифр
должна делится на 9 , т.е (2+5+…):9
9(2+7)=2 Третья цифра равна 2.
• Ответ : число 225 делится на 5 и 9, но не
делится на 2
Вернуться к задачам

22.

Задача 1
Задача 2
Задача 3
Вернуться в главное
меню

23.

Задача 1
Приведите пример пятизначного числа
кратного 12, произведение цифр
которого равно 40. В ответе укажите
ровно одно такое число.
Ответ
Вернуться к задачам

24.

Ответ
• Решение. Разложим число 40 на простые множители. 40 =
2×2×2×5.
Таких множителей всего четыре, цифр недостаточно для
пятизначного числа, но в произведение всегда можно добавить
единицу, результат от этого не изменится.
40 = 2×2×2×5×1.
Таким образом, число в ответе можно составить только из этих
цифр: 1,2,2,2,5.
Чтобы число было кратным 12 (то же самое, что делилось на 12
без остатка) оно должно удовлетворять признакам делимости на 3
и на 4, так как 12 = 3×4.
Проверим сумму цифр 1+2+2+2+5 = 12. Она делится на 3, поэтому
наше число будет делиться на 3 при любых перестановках цифр.
А чтобы оно делилось на 4, в конце нужно поставить две цифры
так, чтобы образованное ими число делилось на 4.
Очевидно, что последней цифрой должна быть 2-ка, другие нечетные. Проверим варианты 12, 22, 52.
12:4 = 3; 22:4 = 11:2 - не делится нацело; 52:4 = 13.
Вывод: число должно быть составлено так, чтобы в конце было 12
или 52, а в начале любые перестановки из оставшихся трёх цифр.
Возможные ответы: 12252, 21252, 22152, 22512, 25212, 52212. В
ответ пишем один из них. Например, Ответ: 21252
Вернуться к задачам

25.

Задача 2
• Цифры четырёхзначного числа,
кратного 5, записали в обратном
порядке и получили второе
четырёхзначное число. Затем из
первого числа вычли второе и получили
2277. Приведите ровно один пример
такого числа.
Ответ
Вернуться к задачам

26.

Ответ
Решение.
Число, кратное 5, оканчивается цифрами 0 или 5. Тогда число, записанное в
обратном порядке, должно начинаться с 0 или с 5. Если число начинается с 0, то оно
уже не будет четырёхзначным, а станет трёхзначным, так как 0 в начале обычно не
пишут. Например, 0348 это просто 348. Значит искомое число заканчивается цифрой
5. Остальные его цифры обозначим буквами a,b,c. Само число в таком случае
обозначается abc5____.
Черта вверху здесь нужна для того, чтобы не путать это обозначение с
алгебраическим произведением переменных (a умножить на b, умножить на с ...).
Число записанное в обратном порядке обозначается 5сba____.
По условию
abc5____ − 5сba____ = 2277.
Представим себе, что мы выполняем это вычитание в столбик.
1) 5 меньше 7, значит при вычитании приходилось занимать десяток.
10 + 5 − a = 7. a = 15 − 7 = 8.
2) При вычитании десятков не так очевидно, занимали или не занимали единицу в
разряде сотен. Сначала допустим, что не занимали. Тогда из уменьшенного на
единицу числа c вычитали b и получили 7
(c − 1) − b = 7. c = 8 + b.
Такому варианту подходят b = 0 и b = 1. Большие значения b увеличат c до
двузначного числа. Возьмём к примеру b = 1, тогда c = 9, и проверкой убеждаемся в
том , что число 8195 удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 8195
Вернуться к задачам

27.

Четные цифры
0,2,4,6,8
Вернуться к изучению
признака

28.

Задача 3
Вовочка написал в тетради число
65349*0712 в качестве примера
числа, которое делится: а) на 9;
б) на 3. (На месте звёздочки
когда-то была написана цифра, а
теперь там пятно от сладкого
чая.) Помогите Вовочке
восстановить пропущенную
цифру. Укажите все возможные
варианты!
Ответ
Вернуться к задачам

29.

Ответ
Решение. Сумма известных цифр числа
равна 37.
• a) Чтобы число делилось на 9, нужно,
чтобы его сумма цифр делилась на 9.
Это возможно, только если на месте
звёздочки стоит цифра 8.
• б) Чтобы число делилось на 3, нужно,
чтобы его сумма цифр делилась на 3.
Это возможно, только если на месте
звездочки стоит одна из цифр 2, 5, 8.
Вернуться к задачам

30.

ТРЕНАЖЕР
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Вернуться в главное
меню

31.

Историческая справка
При́знак дели́мости — алгоритм, позволяющий
сравнительно быстро определить, является ли число
кратным заранее заданному.
Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя
деления можно определить, делится ли одно натуральное
число на другое. Признаки делимости всегда интересовали
ученых разных стран и времен. Признаки делимости на 2, 3,
5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак
делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до
нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были
обстоятельно изложены итальянским
математиком Леона́рдо Пиза́нским — первый
крупный математик средневековой Европы. Наиболее
известен под прозвищем Фибона́ччи.
Над этим же вопросом в свое время задумался
живший
в 3 веке до нашей эры александрийский ученый
Эратосфен. Его метод составления списка простых
чисел назвали «решето Эратосфена».
Вернуться в главное
меню

32.

Задание 1
Сколько из данных чисел
34, 13,67, 890,55, 430, 23,576
делятся на 2
1
2
3
4
5
Вернуться к задачам

33.

Задание 2
Сколько из данных чисел, при делении
на 5 дают одинаковые остатки:
36, 43, 58, 62,69, 73, 80, 98.
1
2
3
4
5
Вернуться к задачам

34.

Задание 3
Сколько из данных чисел, делятся на 3
и на 9 одновременно
27, 280, 222, 543, 108, 532, 65, 243, 701
1
2
3
4
5
Вернуться к задачам

35.

Задание 4
Сколько из данных чисел, делятся на 10 и
на 25 одновременно
57, 75, 100, 125, 540, 195, 1500, 350, 505
1
2
3
4
5
Вернуться к задачам

36.

Задание 5
Сколько из данных чисел, делятся на 4
234, 678, 2356, 340, 125, 942, 512, 1600,
449
1
2
3
4
5
Вернуться к задачам

37.

Правильно ! Молодец!
Вернуться к тесту

38.

Ошибка!
Вернуться к тесту