Предел функции

1.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Смотреть видео заставку

2.

2

3.

§1 Понятие предела функции
Конечный предел функции при x x 0
Пусть функция y=f(x) определена в
проколотой окрестности точки x0 т.е.
.
на множестве 0 ( x0 ) x 0 x x0 .
В точке x0 значение функции f ( x0 ) может
быть не определено.
Приведем определение предела функции при
на языке последовательностей (по Гейне).
V. Khudenko
3/24

4.

Эдуард Гейне 1821 - 1881
4

5.

Определение 1.1. Число называется y
пределом функции в точке x0 (или при x x ),
если для любой последовательности точек
x O ( x ) сходящейся к точке x0 ,
последовательность соответствующих
значений функции f x n
сходится к y 0
0
0
n
0
y0 lim f ( x) lim xn x0 lim f ( xn ) y0
x x0
n
n
Смотреть анимацию
V. Khudenko
5 /24

6.

V. Khudenko
6 /24

7.

Дадим еще одно определение предела
функции при x x 0 на языке " - " (по Коши)
Огюстен Луи Коши 1789-1857
7

8.

Определение 2.1. Число y0 называется пределом функции в
точке x0 (или при x x ),
если для любого >0 можно указать такое
число ( ) 0 , что при всех x, удовлетворяющих условию
0 x x0 , выполняется неравенство
f ( x ) y0
0
y0 lim f ( x) 0 0 : x 0 x x0
x x0
f ( x ) y0
Смотреть анимацию
V. Khudenko
8 /24

9.

Геометрическая интерпретация предела
функции
V. Khudenko
9 /24

10.

Теорема 1.1. Определения предела функции в
точке по Гейне и по Коши эквивалентны.
V. Khudenko
10 /24

11.

V. Khudenko
11 /24

12.

Односторонние пределы функции
Иногда приходится рассматривать предел
функции f(x) при условии, что точка x,
приближаясь к точке x0 , остаётся или
правее или левее её.
V. Khudenko
12 /24

13.

Левой окрестностью точки называется
множество O x 0 x x x x
0
0
0
V. Khudenko
13 /24

14.

Правой окрестностью точки называется
O x0 0 x x0 x x0
множество
V. Khudenko
14 /24

15.

Определение 3.1. Число y 0 называется
левым односторонним пределом (пределом
слева) функции y=f(x) в точке x0 , если
0
( ) 0 : x : x0 x x0
f ( x) y0
Смотреть анимацию
V. Khudenko
15 /24

16.

Определение 4.1. Число y0 называется
правым односторонним пределом (пределом справа)
функции y=f(x) в точке x0 , если
0 ( ) 0: x: x0 x x0 f ( x ) y0
Смотреть анимацию
V. Khudenko
16 /24

17.

Пример: Найти односторонние пределы в
точке x 0 2 функции
Имеем
x 2 , x ,2
f (x ) 4
x , x 2,
x2
lim f x lim
1
x 2 0
x 2 0 4
lim f x lim x 2
x 2 0
x 2 0
V. Khudenko
17 /24

18.

Конечный предел функции при x
Определение на языке последовательностей
y0 lim f ( x) xn : lim xn lim f xn y0
x
n
n
Определение 5.1. (на языке " - ") Число y 0
называется пределом функции при x
если
y0 lim f ( x) 0 M 0 : x M f ( x) y0
x
V. Khudenko
18 /24

19.

V. Khudenko
19 /24

20.

Бесконечный предел функции при x x 0
Определение 6.1. Предел функции f(x) при x x 0
называется бесконечным, если для любого
положительного числа М существует
число >0, такое, что для всех значений х,
удовлетворяющих неравенству 0 x x 0
будет выполняться неравенство f ( x) M
В таком случае функцию называют
f (x )
бесконечно большой и пишут xlim
x
0
lim f ( x) M 0 0 : x, 0 x x f ( x) M
0
x x
0
V. Khudenko
20 /24

21.

V. Khudenko
21 /24

22.

V. Khudenko
22 /24

23.

Бесконечный предел функции при x
Определение 7.1. Предел функции y=f(x)
при x называется бесконечным,
если lim f ( x) M 0 N 0 : x, x N f ( x) M
x
V. Khudenko
23 /24