Формула включений и исключений

1. Формула включений и исключений

Материал скопирован с сайта
https://infourok.ru/prezentaciya-poteme-metod-vklyucheniya-iisklyucheniya-1622008.html

2.

I. Объединение 2 непересекающихся множеств
Правило 1.
n(А)= а, n(В) = b, А В =
n(A B) = n(А) + n(В) = a + b
Задача №1.
Известно, что в некотором информационном сообщении
содержится 578 согласных букв и 234 гласных (в сообщении
отсутствуют ь и ъ). Сколько всего букв в сообщении.
Дано:
n(A) = 578
n(B) = 234
1) А В =
2) n(A B) = n(А) + n(В) = 578+234 = 812
Найти:
n(A B) - ?
Ответ: 812
Решение:

3.

II. Объединение n непересекающихся
множеств
Правило 2.
Множества А1, А2, ..., Аn попарно не пересекаются
n( А1 А2 ... Аn) = n( А1) + n(A2) + ... + n(Аn)
Задача №2.
Множество А - студенты ЧГПУ; n(A) = 6000; В - преподаватели
ЧГПУ; n(B)=340; C - непреподавательский состав ЧГПУ;
n(C) = 110. Из скольких человек состоит коллектив ЧГПУ?
Дано:
Решение:
n(A) = 6000
1) А В = , А C = , B C =
n(B) = 340
2) n(A B C) = n(А) + n(В) + n(C) =
n(C) = 110
6000 + 340 + 110 = 6450
Найти:
n(A B C) - ? Ответ: 6450

4.

III. Разность 2-ух множеств
Правило 3.
n(А) = а, n(В) = b, В A
n(A\B) = n(А) - n(В) = a - b
Задача №3.
А - абитуриенты, поступавшие в ЧГПУ в 2012 году. n(A)=2000.
В - студенты первокурсники ЧГПУ в 2012/2013 году, n(B) =
900. Сколько абитуриентов, не поступивших в 2012 году в
ЧГПУ.
Дано:
Решение:
n(A) = 2000
1) В А
n(B) = 900
2) n(A\B) = n(А) - n(В) = 2000-900 = 1100
Найти:
n(A\B) - ?
Ответ: 1100

5.

IV. Объединение 2 пересекающихся множеств
Формула включений и
исключений
Правило 4.
n(А) = а, n(В) = b, n(А В) = c
n(A B) = n(А) + n(В) - n(А В) = a + b - c
Обоснование: складывая элементы пересекающихся
множеств А и В, мы дважды считаем элементы,
принадлежащие их пересечению.

6.

Задача №4.
В школьной библиотеке содержатся книги с русскими текстами, книги
с английскими текстами, некоторые книги содержат как английские,
так и русские тексты. Известно, что из 590 книг в 500 есть тексты на
русском языке, и в 100 книгах - английские тексты. Сколько книг
содержат тексты как на русском, так и на английском языке? Сколько
книг содержат тексты только на русском языке? Сколько книг
содержат тексты только на английском языке?
Дано:
Решение:
n(Р) = 500
1) А В ≠
n(А) = 100
n(A B) = n(А) + n(В) - n(А В)
n(P A) = 590 2) 590 = 500 + 100 - n(Р А)
n(Р А) = 10 (рус. и англ. книги)
Найти:
3) n(P\(P A)) = 500 – 10 = 490 (рус. книги)
n(P A) - ?
4) n(A\(P A)) = 100 – 10 = 90 (англ. книги)
n(P\(P A)) - ?
n(A\(P A)) - ? Ответ: 10, 490, 90

7.

Задача №5.
В бухгалтерии мебельной фабрики было обнаружено расхождение в
сведениях: за месяц общий объем изготовленных кроватей и кресел
780 единиц, но, по данным из кроватного цеха, кроватей выпущено
360, из кресельного цеха вышло 540 кресел. В чем причина
расхождения данных, сколько на самом деле кресел и кроватей
выпускают соответствующие цеха?
Дано:
Решение:
n(А) = 360
1) Выпускаются кресла-кровати
n(В) = 540
А В ≠
n(А В) = 780
n(A B) = n(А) + n(В) - n(А В)
2) 780 = 360 + 540 - n(А В)
Найти:
n(А В) = 120 (кресла-кровати)
n(А\(А В)) - ? 3) n(А\(А В)) = 360 – 120 = 240 (кровати)
n(В\(А В)) - ? 4) n(В\(А В)) = 540 – 120 = 420 (кресла)
Ответ: 240, 420

8.

V. Объединение 3 пересекающихся множеств
Формула включений и исключений
Правило 5.
n(A В С)=n(А)+n(В)+n(С)-n(А В)-n(В С)-n(А С)+n(А В С)
Студенты первого курса, изучающие информатику в университете, могут
посещать и дополнительные дисциплины. В этом году 25 из них предпочли
изучать бухгалтерию, 27 выбрали бизнес, а 12 решили заниматься туризмом.
Кроме того, было 20 студентов, слушающих курс бухгалтерии и бизнеса, 5
изучали бухгалтерию и туризм, а 3 — туризм и бизнес. Известно, что никто из
студентов не отважился посещать сразу три дополнительных курса. Сколько
студентов посещали по крайней мере один дополнительный курс? Сколько
из них были увлечены только туризмом?
Решение:
Дано:
n(А)=25, n(В)=27, n(С) =12 1) n(A B C) = 25 + 27 + 12 – 20 – 5 – 3 +0
n(A B C) = 36
n(A B)=20, n(A C)=5
2) x = 12 – 5 – 3 = 4 (только туристы)
n(B C)=3
n(A B C)=0
Ответ: 36, 4
Найти:
n(A B C) - ?

9.

VI. Формула включений и исключений
1) n(A B) = n(А) + n(В) - n(А В)
2) n(A В С)=
n(А)+n(В)+n(С)-n(А В)-n(В С)-n(А С)+n(А В С)
3) n(A В С D)=
n(А)+n(В)+n(С)+n(D)-n(А В)-n(А С)-n(А D)-n(В С)-n(В D)n(C D)+n(А В С)+n(А В D)+n(А С D)+n(В С D)n(А В С D)
4) …