Основные понятия комбинаторики: размещения, сочетания, перестановки – и формулы для их вычисления

1.

Основные понятия
комбинаторики:
размещения,
сочетания,
перестановки – и
формулы для их
вычисления

2. Комбинаторика

Комбинаторика – это раздел
математики, в котором изучаются
вопросы выбора или расположения
элементов множества в соответствии
с заданными правилами.

3. Правила комбинаторики

• Правило суммы:
Пусть требуется выполнить одно из каких-то к
действий, взаимно исключающих друг друга.
Если первое действие можно выполнить n1
способами, второе действие – n2 – способами
и так до к-того действия, которое можно
выполнить nk- способами, то выполнить одно
из этих к- действий можно n1 +n2 +…+nk
способами

4. Пример

• Пусть в одном ящике есть 5 шаров, а во
втором – 7 шаров. Сколькими
способами можно вытащить 1 шар из
одного из этих ящиков?
• Ответ: 5+7=12 способами

5. Правила комбинаторики

• Правило произведения: Пусть требуется
выполнить одно за другим какие-то к
действий. Если первое действие можно
выполнить n1 способами, второе действие –
n2 – способами и так до к-го действия,
которое можно выполнить nk- способами, то
все к- действий вместе могут быть
выполнены n1n2…nk способами.

6. Пример

• Сколько чисел можно составить из
цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, если число
должно быть двузначным?
• Ответ: первую цифру можно выбрать – 9
способами (нет числа начинающегося с
нуля). Вторую цифру – 10 способами, по
правилу произведения – 90 способов.

7.

Перестановки – соединения,
которые можно составить из n
элементов, меняя всеми
возможными способами их порядок.
Формула:

8. Пример

Сколькими способами могут 8 человек встать в
очередь к театральной кассе?
Решение задачи:
Существует 8 мест, которые должны занять 8 человек.
На первое место может встать любой из 8 человек, т.е. способов
занять первое место – 8.
После того, как один человек встал на первое место, осталось 7
мест и 7 человек, которые могут быть на них размещены, т.е.
способов занять второе место – 7. Аналогично для третьего,
четвертого и т.д. места.
Используя принцип умножения, получаем произведение . Такое
произведение обозначается как 8! (читается 8 факториал) и
называется перестановкой P8.
Ответ: P8 = 8!

9. Проверь себя

Размещения
Размещением из n элементов по m
( m n ) называется любое множество,
состоящее из любых m элементов, взятых в
определенном порядке из n элементов.
Два размещения из n элементов считаются
различными, если они отличаются самими
элементами или порядком их расположения.
А n! /( n m)!
m
n

10. Размещения

Пример
Сколькими способами из 40 учеников класса
можно выделить актив в следующем составе:
староста, физорг и редактор стенгазеты?
Решение:
Требуется выделить упорядоченные трехэлементные
подмножества множества, содержащего 40
элементов, т.е. найти число размещений без
повторений из 40 элементов по 3.
40!
A=
=38*39*40=59280
37!
3
40

11. Пример

Сочетания
Сочетания – соединения, содержащие по
m предметов из n, различающихся друг от
друга по крайней мере одним предметом.
Сочетания – конечные множества, в
которых порядок не имеет значения.

12. Сочетания

Формула нахождения количества
сочетаний без повторений:

13. Сочетания

Пример использования:
Сколькими способами можно выбрать двух
дежурных из класса, в котором 25 учеников?
Решение:
m = 2 (необходимое количество дежурных)
n = 25 (всего учеников в классе)