Нечеткие отношения, нечеткий вывод, нечеткие числа. Лекция 10

1.

Лекция 10
Нечеткие отношения, нечеткий вывод, нечеткие числа

2.

Теория нечетких моделей

3.

Применение нечетких моделей
Применение нечетких моделей при принятии решений и в процессе
моделирования целесообразно в случаях, когда имеется
недостаточность и неопределенность знаний об исследуемой системе:
❑ получение информации: сложно, трудно, долго, дорого,
невозможно,
❑ источником основной информации являются: экспертные данные,
эвристические описания процессов функционирования,
❑ информация о системе разнокачественная, или оценка параметров
проводится с использованием разных шкал.
Использовать нечеткие механизмы моделирования можно:
❖при описании системы,
❖при задании параметров системы,
❖при задании входов/выходов/состояний системы.

4.

Достоинства и недостатки
Достоинством применения нечетких моделей является
бОльшая прозрачность (по сравнению с искусственными
нейронными сетями) за счет возможности лингвистической
интерпретации в виде нечетких продукционных правил.
Недостатком можно считать трудности с априорным
определением компонентов модели (нечетких высказываний,
функций принадлежности для каждого значения
лингвистических переменных, структуры базы нечетких правил
и т.д.).
Впоследствии диапазон применимости теории нечетких моделей
существенно расширился. Сам Заде определил нечеткие множества
как инструмент построения теории возможностей. С тех пор научные
категории случайности и возможности, вероятности и ожидаемости
получают теоретическое разграничение.

5.

Основные определения
▣Высота h(A) нечеткого множества А – величина супремума для
значений функции принадлежности множества А области
рассуждений U.
Нечеткое множество А называется унимодальным, если
только для единственного
выполняется

6.

Основные определения
Непустое субнормальное множество А можно нормализовать по
правилу:
1
0,7
0,5
х1
х3
х5
х
Четкое множество А*, ближайшее к нечеткому множеству А
задается при помощи функции принадлежности

7.

Основные определения
Нечеткое множество А называется одноточечным, если
его носитель состоит из единственной точки, обозначается
Нечеткое множество А, состоящее из конечного числа
элементов можно рассматривать как объединение
составляющих его одноточечных множеств
а при бесконечном числе элементов:

8.

Степень включения и
степень равенства
Степенью включения нечеткого множества А в нечеткое
множество В называется величина
Степень включения может принимать любые значения из
отрезка [0,1].
Степенью равенства нечетких множеств А и В называется
величина
Степень равенства может принимать любые значения из
отрезка [0,1].

9.

Мощность и ядро нечеткого множества

10.

Примеры
Пример 1. На универсальном
определим нечеткое множество:
множестве
U
=
{x1,
x2,
x3,
x4,
x5,
x6}
А = {(x1 | 0,2), (x2 | 0), (x3 | 0,4), (x4 | 0,8), (x5 | 1), (x6 | 0,7)}
Определить кардинальное число нечеткого множества и принадлежность элемента xi нечеткому
множеству
Пример 2. На универсальном множестве U = {x1, x2, x3, x4, x5, x6}
определим нечеткое множество:
В = {(x1 | 0,2), (x2 | 0), (x3 | 0,4), (x4 | 0,5), (x5 | 0,9), (x6 | 0,3)}
Определить:
1) Мощность его мощность;
2) Высоту, ядро и носитель;
3) Выяснить, является множество нормальным или субнормальным. Если множество является
субнормальным, преобразовать его к нормальному
4) Определить, будет ли Вnorm унимодальным
5) Определить точки перехода В.

11.

12.

Лингвистическая переменная
Лингвистическая переменная – переменная,
значением
которой
являются
слова
или
предложения естественного или искусственного
языка.
Например,
«возраст»
–
лингвистическая
переменная, если она принимает значения
«молодой», «немолодой», «старый», «не очень
старый» и т.д.

13.

Лингвистическая переменная
▣
Лингвистическая переменная описывается набором
▣
х – название переменной
▣
Т(х) – совокупность ее лингвистических значений (терм-множеств), т.е.
множество названий лингвистических значений переменной х, причем
каждое из таких значений является нечеткой переменной со значениями из
универсального множества U
▣
▣
▣
где
U – универсальное множество
G – синтаксическое правило, порождающее термины множества Т(х), т.е.
названия значений переменной X
M – семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой
переменной ее смысл M( ), т.е. нечеткое подмножество M( )
универсального множества U

14.

Лингвистическая переменная
Конкретное название
, порожденное синтаксическим
правилом G, называется термом.
Терм, который состоит из одного слова или из нескольких слов,
всегда фигурирующих вместе друг с другом, называется
атомарным термом.
Терм, который состоит из более чем одного атомарного терма,
называется составным термом.

15.

Пример
▣
1)
2)
1)
2)
Рассмотрим лингвистическую переменную с именем х =«температура в комнате». Тогда
оставшуюся четверку
, можно определить так:
универсальное множество U=[10,30];
терм-множество T={«холодно», «комфортно», «жарко»} с такими функциями
принадлежностями:
синтаксическое правило G, порождающее новые термы с использованием квантификаторов
«и», «или», «не», «очень», «более-менее» и других;
семантическое правило М будет являться процедурой, ставящей каждому новому терму в
соответствие нечеткое множество из X по правилам, заданным в таблице:
Квантификатор
не t
очень t
более-менее t
АиВ
А или В
Функция принадлежности

16.

Лингвистическая переменная
истинности
▣
В каждодневных разговорах мы часто характеризуем степень истинности
утверждения посредством таких выражений, как «очень верно», «совершенно
верно», «более или менее верно», «ложно», «абсолютно ложно» и т.д.
▣
Сходство между этими выражениями и значениями лингвистической
переменной наводит на мысль о том, что в ситуациях, когда истинность или
ложность утверждения определены недостаточно четко, может оказаться
целесообразным
трактовать
ИСТИННОСТЬ
как
лингвистическую
переменную, для которой «истинно» и «ложно» — лишь два атомарных терма в
терм-множестве этой переменной.
▣
Такую переменную будем называть лингвистической переменной
истинности, а ее значения — лингвистическими значениями
истинности.

17.

Логические операции над
нечеткими высказываниями

18.

Логическое отрицание нечетких высказываний
• Отрицанием нечеткого высказывания А (записывается как: ¬А и
читается - "не ", "неверно, что ") называется унарная логическая
операция, результат которой является нечетким высказыванием,
истинность которого по определению принимает значение:
Т(¬А) = 1 – Т(А)
• Примером применения операции логического отрицания к
нечеткому высказыванию Т(А) = 0,7 "О. Бендер имеет довольно
высокий рост" будет высказывание "Неверно, что О. Бендер
имеет довольно высокий рост", степень истинности которого для
T(¬А) = 0.3.
• Отрицанием высказывания "Завтра будет пасмурная погода"
будет высказывание "Завтра будет не пасмурная погода",
степень истинности которого, если принять Т(В) = 0.2,
принимает значение 0.8.

19.

Логическая конъюнкция нечетких высказываний
Конъюнкцией нечетких высказываний "и" называется бинарная
логическая операция, результат которой является нечетким
высказыванием, истинность которого определяется по формуле:
Алгебраическое
высказываний:
произведение
Граничное
произведение
высказываний:
степеней
степеней
истинности
нечетких
истинности
нечетких
Рассмотрим составное нечеткое высказывание, состоящее из двух
элементарных: "О. Бендер имеет довольно высокий рост и завтра
будет пасмурная погода" и предположим, что истинность первого из
них равна T(А) = 0.7, а истинность T(В) = 0.2. Тогда истинность
логической конъюнкции этих нечетких высказываний, вычисленная
по основной формуле, равна: 0.2. Значения истинности этой же
конъюнкции, рассчитанные по остальным формулам, равны: 0.14 и 0.

20.

Логическая дизъюнкция нечетких высказываний
• Дизъюнкцией нечетких высказываний " или " называется бинарная
логическая операция, результат которой является нечетким
высказыванием, истинность которого по определению принимает
значение:
• Алгебраическая сумма степеней истинности нечетких высказываний:
• Граничная сумма степеней истинности нечетких высказываний:
• "О. Бендер имеет довольно высокий рост или завтра будет пасмурная
погода" и предположим, что истинность входящих в него элементарных
нечетких высказываний равна T(А) = 0.7 и T(В) = 0.2. Тогда истинность
логической дизъюнкции этих нечетких высказываний, вычисленная по
основной формуле равна 0.7. Значения истинности этой же дизъюнкции,
рассчитанные по остальным формулам, равны: 0.76 и 0.9.

21.

Нечеткая импликация
• Нечеткой импликацией или импликацией нечетких
высказываний "ЕСЛИ , ТО " называется бинарная логическая
операция, результат которой является нечетким высказыванием,
истинность которого может принимать значение, определяемое
по формуле (традиционная, Л. Заде):
• Нечеткая импликация, предложенная Э. Мамдани:
• Нечеткая импликация, предложенная Я. Лукасевичем:
• "Если О. Бендер имеет довольно высокий рост, то завтра будет
пасмурная погода", при этом истинность входящих в него
элементарных нечетких высказываний равна T(А) = 0.7 и T(В) =
0.2. Тогда истинность этой нечеткой импликации, вычисленная
по формуле Л. Заде, равна 0.3, по формуле Э. Мамдани равна 0,2;
по формуле Я. Лукасевича равна 0,5.

22.

Нечеткая эквивалентность
• Эквивалентностью нечетких высказываний или просто
нечеткой эквивалентностью «А эквивалентно В» называется
бинарная логическая операция, результат которой является
нечетким высказыванием, истинность которого определяется по
следующей формуле:
• Примером логической эквивалентности может служить
составное нечеткое высказывание: "О. Бендер имеет довольно
высокий рост эквивалентно тому, что завтра будет пасмурная
погода", где Т(А) = 0,7, Т(В) = 0,2, истинность которого
принимает значение 0.3.

23.

24.

Основные определения
▣Нечеткое
число — это нечеткое подмножество
универсального множества действительных чисел, имеющее
нормальную и выпуклую функцию принадлежности, то есть
такую, что:
1)1)существует значение носителя, в котором функция
принадлежности равна единице (условие нормальности);
2)2) при отступлении от своего максимума влево или вправо
функция
принадлежности
не
возрастает
(условие
выпуклости)

25.

Основные определения
▣
Нечеткое число А унимодально, если условие
справедливо только для одной точки действительной оси.
▣
Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем, если
▣
Подмножество
если
▣
Нечеткое число А положительно, если
и отрицательно, если
называется носителем нечеткого числа А,
,