Задачи с экономическим содержанием (№17 ЕГЭ по математике профильный уровень)

1.

Мастер-класс
Автор: Сердогалиева Сауле Айсагалиевна,
учитель математики I квалификационной категории
МОУ-СОШ с.Подлесное Марксовского района Саратовской
области имени Ю.В.Фисенко
[email protected]

2.

Рассматривается решение некоторых задач с экономическим
содержанием. Материал может использоваться на
консультациях, на уроках повторения и подготовки к ЕГЭ
по математике на профильном уровне в 10-11-х классах.
Использованы материалы:
образовательного сайта СтатГрад
https://statgrad.org/
сайта Решу ЕГЭ
https://ege.sdamgia.ru/

3.

4.

r=20%=0,2
k=1+0,2=1,2; значит, вклад увеличится за год в 1,2 раза.
1-й и 2-й год дополнительные вложения по 15 млн.р.
3-й и 4-й год дополнительные вложения по 10 млн.р.
Пусть S млн. руб. первоначальные вложения.
1-й год
2-й год
3-й год
4-й год
начало S
года
1,2 S + 15
1,44S+33
1,728S+49,6
конец
года
(1,2 S + 15)*1,2+15=
=1,44S+33
(1,44S+33)*1,2+10 =
1,728S+49,6
(1,728S+49,6)*1,2+10=2,
0736S+69,52
1,2 S + 15
По условию к началу 3-го года: 1,44S+33>110; 1,44S>110-33; 1,44S>77; S >77:1,44;
S >53,4.
По условию задачи к концу проекта: 2,0736S+69,52>190; 2,0736S >190-69,52; 2,0736S>120,48;
S >120,48:2,0736; S > 58,1.
Т.к. S >53,4 и S >58,1, то S >58,1. Т.к. S – целое число, то S=59, т.е. наименьший размер
первоначального вклада составляет 59 млн. руб.
Ответ: 59 млн.руб.

5.

6.

S=7 млн.руб., n=10 лет, долг уменьшается на одну и ту же сумму, последний платеж>=0,819
млн.руб. r=?
1-й год
2-й год
3-й год
k-й год
9-й год
10-й год
долг
S
SS/10=9S/10
9S/10S/10=8S/10
S-(k-1)S/10
2S/10
S/10
платеж
S/10
S/10
S/10
S/10
S/10
S/10
проценты
0,01r*S
0,01r*9S/10
0,01r*8S/10
0,01r*S(k-1)S/10
0,01r*2S/1
0
0,01r*S/10
Последняя выплата: S/10 + 0,01r*S/10>=0,819 | *1000,
100S + r*S>=819,
S*r>=819-100S,
r>=(819 – 100S)/S, по условию S=7 млн. руб,
r>= (819-700)/7,
r>=17, значит, r =17%.
Ответ: 17%

7.

8.

Долг перед банком (в млн.руб.) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля
равномерно (за 1 год на 8/10):
8; 7,2; 6,4; 5,6; 4,8; 4; 3,2; 2,4; 1,6; 0,8; 0.
По условию каждый январь долг увеличивается на r%.
Пусть k=1+r/100, тогда последовательность размеров долга (в млн.руб.) в январе
такова:
8k; 7,2k; 6,4k; 5,6k; 4,8k; 4k; 3,2k; 2,4k; 1,6k; 0,8k. Следовательно, последний платеж
составит 0,8 k млн. руб.
По условию: 0,8k >=0,92,
k >=0,92/0,8,
k >=1,15.
Значит, k=1,15, r=15%.
Ответ: 15%

9.

10.

Кредит S млн.руб., n=9 лет, r=10%=0,1. Размер кредита увеличивается в k раз, где
k=1+0,1=1,1.
Долг на начало
года
Долг в середине года
Ежегодная выплата
1-й год
S
1,1S
1,1S-S=0,1S
2-й год
S
1,1S
0,1S
3-й год
S
1,1S
0,1S
4-й год
S
1,1S
X
5-й год
1,1S - X
(1,1S - X)*1,1
X
т.к. кредит погашен полностью, то (1,1S – x)*1,1 – x=0,
1,21S-1,1x-x=0, x=1,21S/2,1, x=S*121/210.
Общая сумма выплат по условию меньше 6 млн.руб.: 3*0,1S + 2*S*121/210<6,
S*63/210 + S*242/210<6,
S*305/210<6, S< 6*42/61,
S<4,1. Т.к. S целое число, то
наибольшее значение S=4.
Ответ: 4 млн.руб.

11.

12.

Расчеты будем вести в млн.руб.
Пусть S первоначальный вклад. r=10%=0,1, k=1+0,1=1,1 – во столько раз увеличивается
ежегодно вклад.
Вклад на начало года
Вклад после начисления процентов
1-й год
S
1,1S
2-й год
1,1S
1,1S*1,1=1,21S
3-й год
1,21S + 3
(1,21S + 3)*1,1=1,331S+3,3
4-й год
1,331S+3,3 +3=1,331S +6,3
(1,331S +6,3)*1,1=1,4641S +6,93
По условию задачи вклад через четыре года должен быть больше 20 млн.руб., то
1,4641S +6,93>20,
S> (20-6,93)/1,4641,
S>13,07/1,4641,
S> 8,9. Т.К. S целое число, то S наименьшее равно 9 млн. руб.
Ответ: 9 млн.руб.

13.

14.

Пусть сумма вклада равна S млн.руб.
Вклад «А»:
r=10%, k=1+0,1=1,1 – во столько раз увеличивается размер вклада за 1 год. За 3 года сумма
вклада будет равна S*1,1*1,1*1,1=1,331S.
Вклад «Б»:
r=11%, k=1+0,11=1,11 – во столько раз увеличивается размер вклада в течение каждого из
первых двух лет, а за 3-й год вклад увеличится на n%, т.е. увеличится в k=(1+0,01n) раз. За 3
года сумма по вкладу «Б» будет равна 1,11*1,11*S *(1+0,01n)=1,2321*S*k.
По условию задачи вклад «Б» менее выгоден, чем вклад «А»,
т.е. 1,331S > 1,2321*S*k.
k< 1,331/1,2321,
k<1,0802,
1+0,01n<1,0802,
0,01 n< 0,0802,
n< 8,02. Т.к. n – натуральное число, то наибольшее натуральное число равно 8.
Значит, наибольшее натуральное число процентов, начисленных за 3-й год по вкладу «Б»
при котором за все три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А», равен 8%.
Ответ: 8%.

15.

16.

Урожайность ц/га
картофель
свекла
1 поле 8 га
350
250
2 поле 8 га
200
300
Цена за 1 ц
2500
3000
Заметим, что на 1 поле с 1 га можно получить 350 ц картофеля и получить
350*2500=875000 (руб.), либо 250 ц свеклы и получить 250*3000=750000 (руб.). На 2 поле с
1 га можно собрать 200 ц картофеля и получить 2500*200=500000 (руб.), либо 300 ц свеклы
и получить 300*3000=9000000 (руб.). Поэтому надо 1 поле отдать под картофель, а 2 поле
под свеклу. Тогда наибольший доход составит
(875000 +900000)*8=14200000 (руб.)= 14,2 млн.руб.
Ответ: 14,2 млн.руб.

17.

Дата
5.01
15.02
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07
Долг (млн рублей)
1,2
1
0,8
0,6
0,3
0,1
0
Найдите наименьшее значение r, при котором Андрею в общей сумме придётся выплатить
больше 1,7 млн рублей.

18.

Размер долга увеличивается в k= (1+0,01r) раз.
Дата
5.01
15.02
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07
Долг (млн рублей)
1,2
1
0,8
0,6
0,3
0,1
0
Долг после
начисления
процентов
1,2k
1k
0,8k
0,6k
0,3k
0,1k
0
Выплата
1,2k1
1k0,8
0,8k0,6
0,6k0,3
0,3k-0,1
0,1k
Общая сумма выплат: (1,2k-1) + (1k-0,8) + (0,8k-0,6) + (0,6k-0,3) + (0,3k-0,1) +
0,1k=k*(1,2+1+0,8+0,6+0,3+0,1) – (1+0,8+0,6+0,3+0,1)=k*4 – 2,8.
По условию k*4 – 2,8 > 1,7, k*4 > 4,5, k >4,5/4, k> 1,125. 1+0,01r > 1,125, 0,01r > 0,125,
r > 12,5. Т.к. r целое число, то наименьшее целое число r=13.
Ответ: 13%.

19.

месяц
Июль 2016
Июль 2017
Июль 2018
Июль 2019
Долг (млн рублей)
S
0,8S
0,5S
0
Найдите наибольшее значение S , при котором каждая из выплат будет меньше 4 млн рублей.

20.

Решение.
S млн.руб., n=3 года, r=15%, k=1+0,15=1,15.
месяц
Долг (млн рублей)
Долг
с
процентами
Июль
2016
S
начисленными 1,15*S
Июль 2017
Июль 2018
Июль 2019
0,8S
0,5S
0
0,8S*1,15=0,92 1,15*0,5S=0,575
S
S
1- я выплата: 1,15S-0,8S=0,35S
2- я выплата: 0,92S-0,5S=0,42S
3- я выплата: 0,575S
По условию задачи каждая из выплат меньше 4 млн.руб.: 0,35S < 4
S < 11,43
0,42S < 4
S < 9,52
S < 6,96.
0,575S < 4,
S < 6,96,
Т. к. S – целое число, то наибольшее целое S= 6.
Ответ: 6 млн.руб.

21.

месяц
Долг
рублей)
Июль 2016
(млн S
Июль 2017
0,7S
Июль 2018
0,3S
Июль 2019
0
Найдите наименьшее значение S , при котором каждая из выплат будет больше 3 млн рублей.

22.

Решение.
S млн.руб., n=3 года, r=30%, k=1+0,3=1,3.
месяц
Июль 2016
Июль 2017
Июль 2018
Июль 2019
Долг (млн рублей)
S
0,7S
0,3S
0
Долг с начисленными процентами
1,3*S
0,7S*1,3=0,91S
1,3*0,3S=0,39S
1- я выплата: 1,3S-0,7S=0,6S
2- я выплата: 0,91S-0,3S=0,61S
3- я выплата: 0,39S
По условию задачи каждая из выплат больше 3 млн.руб.: 0,6S > 3
S>5
0,61S > 3
S > 4,91
S > 7,6.
0,39S > 3,
S > 7,6,
Т. к. S – целое число, то наименьшее целое S= 8.
Ответ: 8 млн.руб.

23.

1 . (МА00309 07.02.2018 10 класс).
Планируется выдать льготный кредит на целое число млн. руб на 5 лет. В середине каждого
года действия кредита долг заемщика возрастает на 20% по сравнению с началом года. В
конце 1-го, 2-го, 3-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя
долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заемщик
выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший
размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика будет меньше 7 млн. рублей?
Ответ: 3 млн.руб.
2.(МА10 08.02.2017 вариант 00409 10 класс) По бизнес-плану предполагается вложить в
четырёхлетний проект целое число млн. рублей. По итогам каждого года планируется
прирост средств вкладчика на 40 % по сравнению с началом года. Начисленные
проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений
процентов нужны дополнительные вложения: по 40 млн рублей в первый и второй годы,
а также по 20 млн. рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер
первоначальных вложений, при котором общая сумма средств вкладчика к началу
третьего года станет больше 270 млн рублей, а к концу проекта — больше 490 млн.
рублей.
Ответ: 89 млн.руб.

24.

3. (СтатГрад 20.09.18 МА10110) По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний
проект целое число млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост средств
вкладчика на 30 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются
вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны
дополнительные вложения: по 10 млн рублей в первый и второй годы, а также по 9 млн в
третий и четвёртый годы. Найдите наименьший размер первоначальных вложений, при
котором общая сумма средств вкладчика к началу третьего года станет больше 140 млн, а к
концу проекта —больше 250 млн рублей. (Ответ: 70).
4. (СтатГрад 24.01.2019 Вариант Ма10309). В июле 2019 года планируется взять кредит в
банке на три года в размере млн рублей, где —целое число. Условия его возврата таковы: S
S
— каждый январь долг увеличивается на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
—в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей
таблицей.
месяц
Июль 2019
Июль 2020
Июль 2021
Июль 2022
Долг (млн рублей)
S
0,6S
0,25S
0
Найдите наибольшее значение , при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн
рублей.
(Ответ: 7)