Ðåøåòêè êâàçèìíîãîîáðàçèé ãðóïï

1.

Ðåøåòêè êâàçèìíîãîîáðàçèé ãðóïï
Ìàìàåâ Ê.À.
Àëòàéñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò,
Áàðíàóë, Ðîññèÿ
Ìîé âûáîð ÍÀÓÊÀ!
19 - 29 Àïðåëÿ 2023

2.

Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è òåîðåìû
Îïðåäåëåíèå 1.
Ôîðìóëà âèäà ( ∀x1) ... ( ∀xn) t1(x1,...,xn)= t2(x1,...,xn), ãäå
t1(x1,...,xn), t2(x1,...,xn) - ãðóïïîâûå ñëîâà â ïåðåìåííûõ èç
àëôàâèòà{x1, ..., nx} , íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâîì.
Îïðåäåëåíèå 2.
Ôîðìóëà âèäà ( ∀x1) ... ( ∀xn) t1 = t ‘1 & ... & tk = t k‘ → t=t`
,ãäåt1,t 1‘ ,...,tk ,t k‘ ,t,t` - ãðóïïîâûå ñëîâà â ïåðåìåííûõ èç
àëôàâèòà{x1, ..., nx}, íàçûâàåòñÿ êâàçèòîæäåñòâîì.
Îïðåäåëåíèå 3.
Êëàññ ãðóïï M íàçûâàåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì, åñëè ñóùåñòâóåò
ìíîæåñòâî òîæäåñòâ Σ òàêèõ, ÷òî G∈ M òîãäà è òîëüêî òîãäà,
êîãäà âñå ôîðìóëû èç Σ èñòèííû â G.

3.

Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è òåîðåìû
Îïðåäåëåíèå 4.
Êëàññ ãðóïï M íàçûâàåòñÿ êâàçèìíîãîîáðàçèåì, åñëè
ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî êâàçèòîæäåñòâ
Σ | G ∈ M òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå ôîðìóëû èç Σ èñòèííû â G.
Îïðåäåëåíèå 5.
Ìíîæåñòâî S íàçûâàåòñÿ ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûì, åñëè íà S
çàäàíî áèíàðíîå îòíîøåíèå
≤ , ò.å äëÿ íåêîòîðûõ
óïîðÿäî÷åííûõ ïàð a,b ∈ S ïîëîæåíî a ≤ b, äîëæíû
âûïîëíÿòüñÿ:
1) a ≤ a, (çàêîí ðåôëåêñèâíîñòè)
2) åñëè a≤ b è b ≤ c , òî à ≤ c, (çàêîí òðàíçèòèâíîñòè)
3) åñëè a≤ b è b ≤ a òî a=b. (çàêîí àíòèñèììåòðè÷íîñòè).
Îïðåäåëåíèå 6.
×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ðåøåòêîé, åñëè
äëÿ ëþáûõ a,b ∈ S åñòü òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü è òî÷íàÿ íèæíÿÿ
ãðàíü (a ∨ b, a ∧ b).

4.

Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è òåîðåìû
Òåîðåìà 1.
Ïóñòü M - êâàçèìíîãîîáðàçèå àáåëåâûõ ãðóïï, ñîäåðæàùèõ Z.
ÒîãäàM çàäàåòñÿ ôîðìóëàìè:
1) Ψ = ( ∀x) ( ∀y) (xy=yx)
n+1
n
2) Ψpn+1 = ( ∀x)(xp = 1 → x p =1),
ãäå p,n (p∈ P) âñåâîçìîæíûå ÷èñëà òàêèå, ÷òî pn ∈X(M ).
ÅñëèX (M ) = ∅, òî M ñîâïàäàåò ñ êëàññîì àáåëåâûõ ãðóïï.
Òåîðåìà 2.
Ïóñòü M - íåòðèâèàëüíîå àáåëåâî êâàçèìíîãîîáðàçèå, Z ∈
/ M.
ÒîãäàM ÿâëÿåòñÿ ìíîãîîáðàçèåì è çàäàåòñÿ òîæäåñòâàìè:
Ψ = ( ∀x)(∀y) (xy=yx),
Ψm = ( ∀x) ( xm=1),
ãäå m ïðîèçâåäåíèå âñåõ ÷èñåë èçX (M ).

5.

Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è òåîðåìû
Òåîðåìà 3.
Ïóñòü S ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî êîíå÷íûõ öèêëè÷åñêèõ
p-ãðóïï, ãäå p ïðîáåãàåò ìíîæåñòâî P âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë.
Òîãäà âñÿêàÿ öèêëè÷åñêàÿ p-ãðóïïà èç êâàçèìíîãîîáðàçèé qS,
qS ∪ {Z }èçîìîðôíà ïîäõîäÿùåé ïîäãðóïïå íåêîòîðîé ãðóïïå
èç S.
Ïîñòðîåíèå ðåøåòîê
1. Êâàçèìíîãîîáðàçèå q( Z75,Z).
Òåîðåìà 4.
ÐåøåòêàLq(q(Z75, Z ))- ýòî ðåøåòêà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 1.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ðåøåòêè Lq(q(Z75, Z )).
1) Âûïèøåì öèêëè÷åñêèå p-ãðóïïû èç ýòîãî
êâàçèìíîãîîáðàçèÿ, âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé 3. Äëÿ ýòîãî
çàìåòèì, ÷òî q(Z75, Z ) = q(Z
25, Z3, Z .)
2) Âû÷èñëÿåì χ(q(Z75, Z )).

6.

Ïîñòðîåíèå ðåøåòîê
3) Âûïèñûâàåì öèêëè÷åñêèå p-ãðóïïû, êîòîðûìè ìîãóò
ïîðîæäàòüñÿ ïîäêâàçèìíîãîîáðàçèÿ äàííîãî
êâàçèìíîãîîáðàçèÿ.
4) Ñòðîèì ðåøåòêó, ïðè ýòîì èíîãäà äîáàâëÿåì ê öèêëè÷åñêèì
p-ãðóïïàì ðàíåå íàéäåííûå ñïèñêè p-ãðóïï.
Âèäèì, ÷òî
1) Öèêë(q(Z75))= {E , Z
3, Z5, Z25}
2) χ(q(Z75, Z ))= {1, 3, 25}
Îòñþäà èç òåîðåìû 1 ïîëó÷àåì, ÷òî êâàçèìíîãîîáðàçèå
q(Z75,Z) çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì ìíîæåñòâîì êâàçèòîæäåñòâ:
(∀x)(∀y) (xy=yx)
(∀x)(x9 = 1 → x3 = 1)
(∀x)(x125 = 1 → x25 = 1)
(∀p ̸=
5)(∀p ̸=
3) (∀x)(xp = 1 → x = 1)

7.

Ïîñòðîåíèå ðåøåòîê
Âûïèøåì òåïåðü âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû Öèêë( N ) äëÿ
ïîäêâàçèìíîãîîáðàçèé N êâàçèìíîãîîáðàçèÿ q( Z75,Z).
3)Öèêë(N 1) = {E },
Öèêë(N 2) = {E , Z
3},
Öèêë(N 3) = {E , Z
5},
Öèêë(N 4) = {E , Z
3, Z5},
Öèêë(N 5) = {E , Z
5, Z25},
Öèêë(N 6) = {E , Z
3, Z5, Z25}.
Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ïîäêâàçèìíîãîîáðàçèÿ
êâàçèìíîãîîáðàçèÿ q( Z75,Z):
N 1=qE,
N 2=q Z3,
N 3=q Z5,
N 4=q {Z3, Z5},
N 5=q Z25,
N 6=q Z75,
N 7=qZ,
N 8=q {Z , Z
3},

8.

Ïîñòðîåíèå ðåøåòîê
N 9=q {Z , Z
5},
N 10=q {Z , Z
15},
N 11=q {Z , Z
25},
N 12=q {Z , Z
75}.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èëè ðåøåòêó, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 1.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
2. Êâàçèìíîãîîáðàçèå q( Z7,Z72 ,...,Z10)
Òåîðåìà 5.
ÐåøåòêàLq(q(Z7, Z72, ..., Z
10)) - ýòî ðåøåòêà, èçîáðàæåííàÿ íà
ðèñ. 2.
Äîêàçàòåëüñòâî.

9.

Ïîñòðîåíèå ðåøåòîê
Ñíà÷àëà äîêàæåì, ÷òî Z ∈ q(Z7, Z72, ..., Z
10).
Z7=( a1), Z72 = (a2),...
ā = ( a1, a2, a3,...)=(e,e,e,...).
a1m = 1 → m äåëèòñÿ íà 7,
a2m = 1 → m äåëèòñÿ íà 49,
...
Òàêîãî m íå ñóùåñòâóåò.̄am ̸=
1 äëÿ ëþáîãî m → ( ā) = Z.
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ðåøåòêè Lq(q(Z7, Z72 , ..., Z
10)).
1) Âûïèøåì öèêëè÷åñêèå p-ãðóïïû èç ýòîãî
êâàçèìíîãîîáðàçèÿ, âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé ??. Äëÿ ýòîãî
çàìåòèì, ÷òî q(Z7, Z72, ..., Z
10) = q(Z7, Z72 , ..., Z
2, Z5).
2) Âû÷èñëÿåì χ(q(Z7, Z72 , ..., Z
10)).
3) Âûïèñûâàåì öèêëè÷åñêèå p-ãðóïïû, êîòîðûìè ìîãóò
ïîðîæäàòüñÿ ïîäêâàçèìíîãîîáðàçèÿ äàííîãî
êâàçèìíîãîîáðàçèÿ.

10.

Ïîñòðîåíèå ðåøåòîê
4) Ñòðîèì ðåøåòêó, ïðè ýòîì èíîãäà äîáàâëÿåì ê öèêëè÷åñêèì
p-ãðóïïàì ðàíåå íàéäåííûå ñïèñêè p-ãðóïï.
Ïóñòü M = q(Z7, Z72 , ..., Z
10). Èç òåîðåìû 5 ñëåäóåò, ÷òî
1)Öèêë(q(M )= {E , Z
.
2, Z5, Z7, Z72 , ...}
2)χ(M) = {1, 2, 5}
Îòñþäà èç òåîðåìû 1 ïîëó÷àåì, ÷òî
M çàäàåòñÿ ñëåäóþùèìè
êâàçèòîæäåñòâàìè:
(∀x)(∀y) (xy=yx),
(∀x)(x4 = 1 → x2 = 1),
(∀x)(x25 = 1 → x5 = 1),
n
(∀x)(xp +1 = 1 → xp = 1), ãäå p ïðîáåãàåò ìíîæåñòâî ïðîñòûõ
÷èñåë, îòëè÷íûõ îò 2,5,7.

11.

Ïîñòðîåíèå ðåøåòîê
Âîçìîæíû ñëåäóþùèå âàðèàíòû äëÿ ïîäêâàçèìíîãîîáðàçèé
êâàçèìíîãîîáðàçèÿ M :
3) Öèêë(N 1)=E
Öèêë(N 2) = {E , Z
2}
Öèêë(N 3)= {E , Z
5}
Öèêë(K n)= {E , Z
7, Z72 , ..., Z
7n } (n=1,2,...),
Öèêë(M n)= {E , Z
2, Z7, Z72 , ..., Z
7n } (n=1,2,...),
Öèêë(R n)= {E , Z
5, Z7, Z72 , ..., Z
7n } (n=1,2,...),
Öèêë(N 7)= {E , Z
,
Z
},
2 5
Öèêë(L n)= {E , Z
2, Z5, Z7, Z72 , ..., Z
7n } (n=1,2,...).

12.

Ïîñòðîåíèå ðåøåòîê
Âîçìîæíû ñëåäóþùèå êâàçèìíîãîîáðàçèÿ:
N 1=qE,
N 2=q Z2,
N 3=q Z5,
K n=q {Z7n },
M n=q {Z2, Z7n },
R 6=q {Z5, Z7n },
N 7=q {Z2, Z5},
L n=q {Z2, Z5, Z7n },
N 9=qZ,
N 10=q {Z , Z
2},
N 11=q {Z , Z
5},
qZ ∪ K n=q {Z , Z
7n },
qZ ∪ M n=q {Z , Z
2, Z7n },
qZ ∪ R n=q {Z , Z
5, Z7n },
N 15=q {Z , Z
2, Z5},
qZ ∪ L n=q {Z , Z
2, Z5, Z7n }.

13.

Ïîñòðîåíèå ðåøåòîê
Åùå èìåþòñÿ ïîäêâàçèìíîãîîáðàçèÿ, ñîäåðæàùèå áåñêîíå÷íîå
ìíîæåñòâî öèêëè÷åñêèõ 7-ãðóïï:
q(Z7, Z72 , Z73 , ...),q(Z7, Z72 , ..., Z
2), q(Z7, Z72 , ..., Z
5),
q(Z7, Z72 , ..., Z
2, Z5) = M .
 ðåçóëüòàòå âèäèì, ÷òî ðåøåòêà
Lq(M ) - ýòî ðåøåòêà,
èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 2. Òåîðåìà äîêàçàíà.

14.

Ðèñóíêè ðåøåòîê