Documentclass[fullscreen=true,

1.

\documentclass[fullscreen=true,
bookmarks=false]{beamer}

2.

\usepackage[utf8]{inputenc}

3.

\usepackage[english,russian]{babel}

4.

\usepackage{xcolor}

5.

\usepackage{graphicx}

6.

%\usepackage{Warsaw}

7.

\newtheorem{thm}{Теорема}

8.

\newtheorem{cor}{Следствие}

9.

\newtheorem{lm}{Лемма}

10.

\newtheorem{rmk}{Замечание}

11.

\newtheorem{ex}{Пример}

12.

\newtheorem{opr}{ОпределениР
µ}

13.

\newtheorem{ob}{Обозначение}

14.

\title{Решетки
квазимногообразий
РіСЂСѓРїРї}

15.

\author{Мамаев К.А.}

16.

\institute{Алтайский
государственный
университет,\\ Барнаул,
Р РѕСЃСЃРёСЏ}

17.

\date{Мой выбор – НАУКА!
\\ 19 - 29 Апреля 2023}

18.

\begin{document}

19.

\begin{frame}

20.

\titlepage

21.

\end{frame}

22.

\begin{frame}{Основные
определения и
теоремы}

23.

\begin{block}{Определение 1.}

24.

$t_1$($x_1$,...,$x_n$)=$t_2$($x_1$,...,$x_n$
), РіРґРµ $t_1$($x_1$,...,$x_n$),
$t_2$($x_1$,...,$x_n$) - групповые
слова в переменных из
алфавита $\{ x_1,...,x_n\}$ ,
называется тождеством.

25.

\end{block}

26.

\begin{block}{Определение 2.}

27.

$t_1$,$t`_1$,...,$t_k$,$t`_k$,t,t` групповые слова в
переменных из
алфавита $\{ x_1,...,x_n\}$,
называется
квазитождеством.

28.

\end{block}

29.

\begin{block}{Определение 3.}

30.

существует множество
тождеств $\Sigma$ таких,
что G $\in$ $\mathcal{M}$ тогда и
только тогда, когда все
формулы из $\Sigma$
истинны в G.

31.

\end{block}

32.

\end{frame}

33.

\begin{frame}{Основные
определения и
теоремы}

34.

\begin{block}{Определение 4.}

35.

если существует
множество
квазитождеств $\Sigma$
$\mid$ G $\in$ $\mathcal{M}$ тогда и
только тогда, когда все
формулы из $\Sigma$
истинны в G.

36.

\end{block}

37.

\begin{block}{Определение 5.}

38.

$\in$ S положено a $\leq$ b,
должны выполняться: \\
1) a $\leq$ a, (закон
рефлексивности) \\ 2)
если a $\leq$ b и b $\leq$ c , то а
$\leq$ c, (закон
транзитивности) \\ 3)
если a $\leq$ b и b $\leq$ a то a=b.
(закон
антисимметричности).

39.

\end{block}

40.

\begin{block}{Определение 6.}

41.

решеткой, если для
любых a,b $\in$ S есть
точная верхняя
грань и точная
нижняя грань (a $\vee$ b, a
$\wedge$ b).

42.

\end{block}

43.

\end{frame}

44.

\begin{frame}{Основные
определения и
теоремы}

45.

\begin{block}{Теорема 1.}

46.

($\forall$x) ($\forall$y) (xy=yx) \\2)
$\Psi_{p^{n+1}}$ = ($\forall$x)($x^{p^{n+1}}$
= 1 $\rightarrow$ $x^{p^n}$=1), \\ РіРґРµ p,n
(p $\in$ P) -- всевозможные
числа такие, что $p^n$
$\in$$\mathcal{X}$($\mathcal{M}$).
Если $\mathcal{X}$($\mathcal{M}$) =
$\varnothing$, то $\mathcal{M}$
совпадает с классом
абелевых групп.

47.

\end{block}

48.

\begin{block}{Теорема 2.}

49.

$\mathcal{M}$ является
многообразием и
задается тождествами:
\\$\Psi$ = ($\forall$x)($\forall$y) (xy=yx),
\\$\Psi_m$ = ($\forall$x) ($x^m$=1), \\ РіРґРµ
m -- произведение всех
чисел из
$\mathcal{X}$($\mathcal{M}$).

50.

\end{block}

51.

\end{frame}

52.

\begin{frame}{Основные
определения и
теоремы}

53.

\begin{block}{Теорема 3.}

54.

простых чисел. Тогда
всякая циклическая pгруппа из
квазимногообразий qS, qS
$\cup$ $\{Z\}$ изоморфна
подходящей
подгруппе некоторой
РіСЂСѓРїРїРµ РёР· S.

55.

\end{block}

56.

\begin{block}{Построение
решеток }

57.

1. Квазимногообразие
q($Z_{75}$,Z).

58.

\end{block}

59.

\begin{block}{Теорема 4.}

60.

Решетка $L_q(q(Z_{75},Z))$ - это
решетка,
изображенная на рис. 1.

61.

\end{block}

62.

Доказательство.

63.

Алгоритм построения
решетки $L_q(q(Z_{75},Z))$.

64.

из этого
квазимногообразия,
воспользовавшись
теоремой 3. Для этого
заметим, что
$q(Z_{75},Z)=q(Z_{25},Z_{3},Z) $.

65.

2) Вычисляем $\chi (q(Z_{75},Z))$.

66.

\end{frame}

67.

\begin{frame}{Построение
решеток}

68.

которыми могут
порождаться
подквазимногообразия
данного
квазимногообразия.

69.

этом иногда добавляем
к циклическим pгруппам ранее
найденные списки pгрупп.

70.

Видим, что

71.

1) Цикл(q($Z_{75}$))=
$\{E,Z_3,Z_5,Z_{25} \}$

72.

2) $\chi (q(Z_{75},Z))$=$\{1,3,25 \}$

73.

получаем, что
квазимногообразие
q($Z_{75}$,Z) задается
следующим множеством
квазитождеств:

74.

($\forall$x)($\forall$y) (xy=yx)

75.

($\forall$x)($x^9=1 \rightarrow x^3=1)$

76.

($\forall$x)($x^{125}=1 \rightarrow
x^{25}=1)$

77.

($\forall$p $\neq$ 5)($\forall$p $\neq$ 3)
($\forall$x)($x^p=1 \rightarrow x=1$)

78.

\end{frame}

79.

\begin{frame}{Построение
решеток}

80.

Цикл($\mathcal{N}$) для
подквазимногообразий
$\mathcal{N}$
квазимногообразия
q($Z_{75}$,Z).

81.

3)Цикл($\mathcal{N}_1$) = $\{E\}$,

82.

Цикл($\mathcal{N}_2$) = $\{E,Z_3\}$,

83.

Цикл($\mathcal{N}_3$) = $\{E,Z_5\}$,

84.

Цикл($\mathcal{N}_4$) =
$\{E,Z_3,Z_5\}$,

85.

Цикл($\mathcal{N}_5$) =
$\{E,Z_5,Z_{25}\}$,

86.

Цикл($\mathcal{N}_6$) =
$\{E,Z_3,Z_5,Z_{25}\}$.

87.

Получаем следующие
подквазимногообразия
квазимногообразия
q($Z_{75}$,Z):

88.

$\mathcal{N}_1$=qE,

89.

$\mathcal{N}_2$=q$Z_3$,

90.

$\mathcal{N}_3$=q$Z_5$,

91.

$\mathcal{N}_4$=q$\{Z_3,Z_5 \}$,

92.

$\mathcal{N}_5$=q$Z_{25}$,

93.

$\mathcal{N}_6$=q$Z_{75}$,

94.

$\mathcal{N}_7$=qZ,

95.

$\mathcal{N}_8$=q$\{Z,Z_3 \}$,

96.

\end{frame}

97.

\begin{frame}{Построение
решеток}

98.

$\mathcal{N}_9$=q$\{Z,Z_5 \}$,

99.

$\mathcal{N}_{10}$=q$\{Z,Z_{15} \}$,

100.

$\mathcal{N}_{11}$=q$\{Z,Z_{25} \}$,

101.

$\mathcal{N}_{12}$=q$\{Z,Z_{75} \}$.

102.

В результате получили
решетку,
изображенную на рис. 1.
Теорема доказана.

103.

\begin{block}{\ }

104.

2. Квазимногообразие
q($Z_{7}$,$Z_{7^2}$,...,$Z_{10}$)

105.

\end{block}

106.

\begin{block}{Теорема 5.}

107.

Решетка
$L_q(q(Z_{7},Z_{7^2},...,Z_{10}))$ - это
решетка,
изображенная на рис. 2.

108.

\end{block}

109.

Доказательство.

110.

\end{frame}

111.

\begin{frame}{Построение
решеток}

112.

Сначала докажем, что Z
$\in$ $q(Z_{7},Z_{7^2},...,Z_{10})$.

113.

$Z_{7}$=($a_1$), $Z_{7^2}=(a_2)$,...

114.

$\bar a$ = ($a_1,a_2,a_3$,...)=(e,e,e,...).

115.

$a^m_{1}$ = 1 $\rightarrow$ m
делится на 7,

116.

$a^m_{2}$ = 1 $\rightarrow$ m
делится на 49,

117.

...

118.

Такого m не
существует. $\bar a^m$ $\neq$
1 для любого m $\rightarrow$
($\bar a$) = Z.

119.

Алгоритм построения
решетки
$L_q(q(Z_{7},Z_{7^2},...,Z_{10}))$.

120.

квазимногообразия,
воспользовавшись
теоремой \ref{d20}. Для
этого заметим, что
$q(Z_{7},Z_{7^2},...,Z_{10})=q(Z_{7},Z_{7^2},...
,Z_{2},Z_{5})$.

121.

2) Вычисляем $\chi
(q(Z_{7},Z_{7^2},...,Z_{10}))$.

122.

которыми могут
порождаться
подквазимногообразия
данного
квазимногообразия.

123.

\end{frame}

124.

\begin{frame}{Построение
решеток}

125.

этом иногда добавляем
к циклическим pгруппам ранее
найденные списки pгрупп.

126.

Пусть $\mathcal{M}$ =
$q(Z_{7},Z_{7^2},...,Z_{10})$. И
Р·
теоремы 5 следует, что

127.

1)Цикл(q($\mathcal{M}$)=$\{E,Z_2,Z_5,
Z_{7},Z_{7^2},... \}$.

128.

2)$\chi (\mathcal{M})$=$\{1,2,5\}$

129.

Отсюда из теоремы 1
получаем, что $\mathcal{M}$
задается следующими
квазитождествами:

130.

($\forall$x)($\forall$y) (xy=yx),

131.

($\forall$x)($x^4=1 \rightarrow x^2=1)$,

132.

($\forall$x)($x^{25}=1 \rightarrow x^{5}=1)$,

133.

($\forall$x)($x^{p^n+1}=1 \rightarrow
x^p=1$), где p пробегает
множество простых
чисел, отличных от 2,5,7.

134.

\end{frame}

135.

\begin{frame}{Построение
решеток}

136.

варианты для
подквазимногообразий
квазимногообразия
$\mathcal{M}$:

137.

3) Цикл($\mathcal{N}_1$)=E

138.

Цикл($\mathcal{N}_2$) = $\{E,Z_2\}$

139.

Цикл($\mathcal{N}_3$)=$\{E,Z_5\}$

140.

Цикл($\mathcal{K}_n$)=$\{E,Z_{7},Z_{7^
2},...,Z_{7^n} \}$ (n=1,2,...),

141.

Цикл($\mathcal{M}_n$)=$\{E,Z_2,Z_{7},Z
_{7^2},...,Z_{7^n} \}$ (n=1,2,...),

142.

Цикл($\mathcal{R}_n$)=$\{E,Z_5,Z_{7},Z
_{7^2},...,Z_{7^n} \}$ (n=1,2,...),

143.

Цикл($\mathcal{N}_7$)=$\{E,Z_2,Z_5
\}$,

144.

Цикл($\mathcal{L}_n$)=$\{E,Z_2,Z_5,Z_{
7},Z_{7^2},...,Z_{7^n} \}$ (n=1,2,...).

145.

\end{frame}

146.

\begin{frame}{Построение
решеток}

147.

Возможны следующие
квазимногообразия:

148.

$\mathcal{N}_1$=qE,

149.

$\mathcal{N}_2$=q$Z_2$,

150.

$\mathcal{N}_3$=q$Z_5$,

151.

$\mathcal{K}_n$=q$\{Z_{7^n} \}$,

152.

$\mathcal{M}_n$=q$\{Z_2,Z_{7^n} \}$,

153.

$\mathcal{R}_6$=q$\{Z_5,Z_{7^n} \}$,

154.

$\mathcal{N}_7$=q$\{Z_2,Z_5 \}$,

155.

$\mathcal{L}_n$=q$\{Z_2,Z_5,Z_{7^n} \}$,

156.

$\mathcal{N}_9$=qZ,

157.

$\mathcal{N}_{10}$=q$\{Z,Z_2 \}$,

158.

$\mathcal{N}_{11}$=q$\{Z,Z_5 \}$,

159.

qZ $\cup$ $\mathcal{K}_{n}$=q$\{Z,Z_{7^n}
\}$,

160.

qZ $\cup$
$\mathcal{M}_{n}$=q$\{Z,Z_2,Z_{7^n} \}$,

161.

qZ $\cup$
$\mathcal{R}_{n}$=q$\{Z,Z_5,Z_{7^n} \}$,

162.

$\mathcal{N}_{15}$=q$\{Z,Z_2,Z_5 \}$,

163.

qZ $\cup$
$\mathcal{L}_{n}$=q$\{Z,Z_2,Z_5,Z_{7^n} \}$.

164.

\end{frame}

165.

\begin{frame}{Построение
решеток}

166.

подквазимногообразия,
содержащие
бесконечное
множество
циклических 7-групп:

167.

$q(Z_{7},Z_{7^2},Z_{7^3},...)$,$q(Z_{7},Z_{7^2
},...,Z_{2})$, $q(Z_{7},Z_{7^2},...,Z_{5})$,
$q(Z_{7},Z_{7^2},...,Z_{2},Z_{5})$ =
$\mathcal{M}$.

168.

решетка $L_q$($\mathcal{M}$) это решетка,
изображенная на рис. 2.
Теорема доказана.

169.

\end{frame}

170.

\begin{frame}{Р РёСЃСѓРЅРєРё
решеток}

171.

\begin{figure}

172.

\centering\includegraphics[scale=0.16]{resh}

173.

\end{figure}

174.

\end{frame}

175.

\end{document}