Сфера и шар

1.

Сфера и шар

2. План урока

• Определение сферы, шара.
• Взаимное расположение сферы и плоскости.
• Площадь сферы.
• Итог урока.

3. Давайте вспомним, что такое окружность и круг

• Окружностью называется
геометрическая фигура, состоящая
из всех точек плоскости,
расположенных на заданном
расстоянии r от данной точки.
r
d
• r – радиус;
• d – диаметр
r
• Часть плоскости, ограниченная
окружностью, называется
кругом.

4.

Определение сферы
• Сферой называется поверхность, состоящая из всех
точек пространства, расположенных на данном
расстоянии (R) от данной точки (центра т.О).
Сфера – тело полученное в
результате вращения полуокружмеридиан
ности вокруг её диаметра.
R
О
Параллель диаметр
(экватор)
R – радиус сферы – отрезок,
соединяющий любую точку
сферы с центром.
т. О – центр сферы
D – диаметр сферы – отрезок,
соединяющий любые 2 точки
сферы и проходящий через
центр.
D = 2R

5. Шар

• Тело, ограниченное сферой,
называется шаром.
• Центр, радиус и диаметр
сферы являются также
центром, радиусом и
диаметром шара.
• Шар радиуса R и центром О
содержит все точки
пространства, которые
расположены от т. О на
расстоянии, не превышающем
R.

6. Исторические сведения о сфере и шаре

• Оба слова «шар» и «сфера» происходят от греческого слова
«сфайра» - мяч.
• В древности сфера и шар были в большом почёте.
Астрономические наблюдения над небесным сводом вызывали
образ сферы.
• Пифагорейцы в своих полумистических рассуждениях
утверждали, что сферические небесные тела располагаются
друг от друга на расстоянии пропорциональном интервалам
музыкальной гаммы. В этом усматривались элементы мировой
гармонии. Отсюда пошло выражение «музыка сферы».
• Аристотель считал, что шарообразная форма, как наиболее
совершенная, свойственна Солнцу, Земле, Луне и всем мировым
телам. Так же он полагал, что Земля окружена рядом
концентрических сфер.
• Сфера, шар всегда широко применялись в различных областях
науки и техники.

7. Как изобразить сферу?

R
О
• 1. Отметить центр сферы (т.О)
• 2. Начертить окружность с
центром в т.О
• 3. Изобразить видимую
вертикальную дугу (меридиан)
• 4. Изобразить невидимую
вертикальную дугу
• 5. Изобразить видимую горизонтальную дугу (параллель)
• 6. Изобразить невидимую
горизонтальную дугу
• 7. Провести радиус сферы R

8. Вспомним взаимное расположение окружности и прямой

Возможны 3 случая
d r
Если d < r, то
прямая и
окружность
имеют 2 общие
точки.
d= r
Если d = r, то
прямая и
окружность
имеют 1 общую
точку.
d> r
Если d > r, то
прямая и
окружность не
имеют общих
точек.

9. Взаимное расположение сферы и плоскости

• Введем прямоугольную систему
координат Oxyz
z
• Построим плоскость α, совпадающую с плоскостью Оху
C(0;0;d)
O
α
х
у
• Изобразим сферу с центром в т.С,
лежащей на положительной
полуоси Oz и имеющей
координаты (0;0;d), где d расстояние (перпендикуляр) от
центра сферы до плоскости α .
• В зависимости от
соотношения d и R
возможны 3 случая…

10.

Взаимное расположение сферы
и плоскости
z
C(0;0;d)
O
α
х
r
М у
• Рассмотрим 1 случай
• d < R, т.е. если расстояние
от центра сферы до
плоскости меньше радиуса
сферы, то сечение сферы
плоскостью есть окружность
радиусом r.
r = R2 - d2
• Сечение шара плоскостью есть
круг.
•С приближением секущей плоскости к центру шара радиус
круга увеличивается. Плоскость, проходящая через диаметр
шара, называется диаметральной. Круг, полученный в
результате сечения, называется большим кругом.

11.

Взаимное расположение
сферы и плоскости
Рассмотрим 2 случай
z
• d = R, т.е. если
C(0;0;d)
O
α
х
у
расстояние от центра
сферы до плоскости
равно радиусу сферы,
то сфера и плоскость
имеют одну общую
точку

12.

Взаимное расположение
сферы и плоскости
• Рассмотрим 3 случай
z
• d > R, т.е. если расстояние
от центра сферы до
плоскости больше
радиуса сферы, то сфера и
плоскость не имеют
общих точек.
C(0;0;d)
O
α
х
у

13. Задача 1. Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найти радиус сечения.

М
R
О d
r
К
Дано:
Шар с центром в т.О
R=41 дм
α - секущая плоскость
d = 9 дм
Найти: rсеч = ?
Решение:
Рассмотрим ∆ОМК – прямоугольный
ОМ = 41 дм; ОК = 9 дм; МК = r, r = R2 - d2
по теореме Пифагора: МК2 = r2 = 412- 92 = 1681 - 81=1600
отсюда rсеч = 40 дм
Ответ: rсеч = 40 дм

14. Площадь сферы

• Сферу нельзя развернуть на плоскость.
• Опишем около сферы
многогранник, так чтобы сфера
касалась всех его граней.
Площадь сферы радиуса R:
Sсф=4πR2
Площадь шара
т.е.: Площадь поверхности
шара равна учетверенной
площади большего круга
S = 4πR2

15. Задача 2. Найти площадь поверхности сферы, радиус которой = 6 см.

Дано:
сфера
R = 6 см
Найти:
Sсф = ?
Решение:
1. Sсф = 4πR2
2. Sсф = 4π 62 = 144π см2
Ответ: Sсф = 144π см2

16. Плоскость, касательная к шару.

Касательной плоскостью к шаровой поверхности
называется плоскость, имеющая с этой
поверхностью только одну общую точку.
Плоскость, проходящая
через точку А шаровой
поверхности и
перпендикулярная радиусу,
проведенному в точку А,
называется касательной
плоскостью.
Точка А называется
точкой касания.

17. Поверхность шара и его частей.

Часть шаровой поверхности, которая
отделяется от шара какой-нибудь
плоскостью, называется сегментною
поверхностью.(Шаровый сегмент.)
Окружность пересечения СD
плоскости с шаровой поверхностью называется основанием,
а отрезок АВ = Н радиуса,
перпендикулярного к плоскости сечения, – высотой
сегментной поверхности.

18.

Часть шаровой поверхности, заключённая
между двумя параллельными секущими
плоскостями, называется шаровым поясом.
Окружности
сечения С1D1 и С2D2
называются основания
ми шарового пояса,
а расстояние АВ = Н
между параллельными
плоскостями –
высотой пояса.

19.

Шаровой сектор
Шаровым сектором называется
тело, полученное вращением
кругового сектора с углом,
меньшим 900, вокруг прямой,
содержащей один из
ограничивающих круговой
сектор радиусов.

20.

Задача 3
Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь
поверхности шара

21.

Задача 4
В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите площадь этого шара,
деленную на π .

22.

Задача 5
Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара,
площадь поверхности которого равна сумме площадей
поверхностей данных шаров.

23. Итог урока

Сегодня вы познакомились с:
определением
сферы, шара;
взаимным
расположением сферы
и плоскости;
площадью
поверхности сферы.

24. Задания для самостоятельного решения

• 1. Найти площадь поверхности сферы,
радиус которой = 8 см.
• 2. Найти площадь поверхности сферы,
диаметр которой = 26 см.
• 3. Площадь большого круга шара равна 10.
Найдите площадь поверхности шара.
• 4. Радиусы двух шаров равны 21, 72. Найдите
радиус шара, площадь поверхности которого
равна сумме площадей их поверхностей.
• 5. В куб с ребром 21 вписан шар. Найдите
площадь этого шара, деленный на π .
• 6. Во сколько раз увеличится площадь
поверхности шара, если радиус шара увеличить в
2 раза?