Погрешности вычислений и алгоритмов

1.

ПОГРЕШНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ И
АЛГОРИТМОВ
Погрешности вычислений.
Устойчивость и сложность алгоритма.
Классификация погрешностей.
Абсолютная и относительная
погрешности числа и функции.
Прямая и обратная задачи теории
погрешностей.
Неустойчивые алгоритмы.
Особенности цифровой математики.
1

2.

ЗАДАЧИ КЛАССИЧЕСКОЙ
МАТЕМАТИКИ
Установить существование и
единственность решения.
Недостатки:
Невозможность решения поставленной
задачи;
Невозможность практического
использования полученного решения
(полученное решение громоздко).
2

3.

ЗАДАЧИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ
МАТЕМАТИКИ
Найти решение с требуемой
точностью.
Достоинства:
Возможность получить решения с
разными точностями до получения
требуемого результата.
3

4.

ТРЕБОВАНИЯ К ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМ
(ЧИСЛЕННЫМ) МЕТОДАМ
Адекватность дискретной модели исходной
математической задаче:
устойчивость,
сходимость,
корректность.
Возможность реализации данной дискретной
модели на компьютере.
4

5.

ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА
Определение 1:
Слова «устойчивый алгоритм» означают, что
чем точнее задаются числа для обработки, тем
точнее получается результат.
Определение 2:
Устойчивость алгоритма означает, что малым
отклонениям в исходных данных соответствуют
малые отклонения в результате (решении).
5

6.

ПОНЯТИЕ СХОДИМОСТИ
ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА
Определение 1:
Сходимость означает близость получаемого
численного решения задачи к истинному решению.
Определение 2:
Под сходимостью численного метода (алгоритма)
понимают способность метода приводить к
точному решению за конечное число шагов, с
любой заданной точностью при любых начальных
6
приближениях.

7.

ПОНЯТИЕ КОРРЕКТНОСТИ
ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА
Определение 1:
Задача называется поставленной корректно, если
для любых значений исходных данных из
некоторого класса ее решение существует,
единственно и устойчиво по исходным данным.
Иногда при решении корректно
поставленной задачи может оказаться
неустойчивым метод ее решения.
7

8.

ПОНЯТИЕ КОРРЕКТНОСТИ
ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА
Определение 2:
Численный алгоритм (метод) называется
корректным в случае существования и
единственности численного решения при любых
значениях исходных данных, а также в случае
устойчивости этого решения относительно
погрешностей исходных данных.
8

9.

ПОНЯТИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ
ПОГРЕШНОСТИ
Определение:
Отклонение истинного решения от приближенного
называется погрешностью.
Погрешность
Неустранимая
Погрешность
модели
Погрешность
исходных
данных
Устранимая
Погрешность
метода
Погрешность
9
вычислений

10.

ПОЛНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Полная погрешность численного решения
включает:
Неустранимая погрешность:
погрешность постановки задачи,
неточность исходных данных;
Устранимая погрешность:
погрешность метода решения задачи,
погрешность вычислений.
10

11.

ПОЛНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Устранимая погрешность может быть
уменьшена выбором более совершенного
(точного) метода и увеличением разрядности
вычислений.
11

12.

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Приближенным числом Х* называется число,
незначительно отличающееся от точного Х и
заменяющее его в вычислениях.
Определение:
Пусть Х – точное решение задачи,
Х* – приближенное решение.
Тогда абсолютной погрешностью
приближенного числа Х* – называют величину
, которая является ограничением разности
|Х - Х*| ≤
12

13.

ФОРМЫ ЗАПИСИ АБСОЛЮТНОЙ
ПОГРЕШНОСТИ
|Х - Х*| ≤
Х* - ≤ Х ≤ Х* +
Х = Х* ±
математические оценки
погрешности
погрешность физических систем или
измерительных приборов
13

14.

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Пример 1.1.
Пусть длина отрезка L = 100 см измерена с
точностью до 0.5 см.
Тогда пишут L = 100 см ± 0.5 см.
Здесь абсолютная погрешность = 0.5 см, а точная
величина длины L отрезка заключена в границах
99.5 см < L< 100.5 см.
В записи числа, полученного в результате
измерения, обычно указывают его
абсолютную погрешность.
14

15.

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Пример 1.2.
Определить абсолютную погрешность приближенного
числа Х* =3.14, заменяющего число .
Решение:
Так как 3.14 < < 3.15, то | Х*– Х | < 0.01;
Следовательно, можно принять = 0.01.
Однако, если учесть другое представление числа
3.14 < < 3.142,
то будем иметь лучшую оценку: = 0.002.
15

16.

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Выводы:
Возможно существование несколько значений
абсолютной погрешности, каждое из которых
определяется границами приближенного
числа;
Абсолютная погрешность не является
достаточной характеристикой точности
измерения или вычисления.
16

17.

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Определение:
Относительной погрешностью
приближенного числа Х* – называют величину
, определяемую выражением
Другая форма записи: X*(1 – δ) ≤ X ≤ X*(1 + δ)
17

18.

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Более популярно в инженерных и
технических приложениях выражение
относительной погрешности в процентах.
Считается допустимой погрешность 3–5 % (в
отдельных задачах до 10%)
18

19.

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
19

20.

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ
Пример 1.4.
Найти относительные погрешности длин
измеренных отрезков а) L1 = 50.8 см ± 0.5 см
б) L2 = 3.6 см ± 0.5 см
Решение:
а)
б)
Х*
50.8
3.6
0.5
0.5
0,5
100% 0,984%
50,8
0,5
3,6
100% 13,888%
При одинаковой абсолютной погрешности =0.5,
относительные погрешности измерения отрезков
L1 и L2 существенно отличаются.
20

21.

СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Представление в форме с фиксированной запятой:
1 – первая значащая цифра;
– основание системы счисления (2,8,10,16) или
основание позиционной системы;
0 i – числа из базисного набора.
21

22.

СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
В ЭВМ чаще всего используют представление
чисел в форме с плавающей запятой:
– основание системы счисления;
р – порядок числа (целое число,
положительное, отрицательное или нуль);
М – мантисса числа, –1<М<1
22

23.

СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Пример 1.5.
Провести разложение числа 2.718 в форме с
фиксированной и плавающей запятой.
С фиксированной запятой:
2.718 = 2 100 + 7 10–1 + 1 10–2 + 8 10–3
=10; 1=2; 2=7; 3=1; 4=8;n=0.
С плавающей запятой:
2,718 = 0,2718 101
М=0.2718; р=1.
23

24.

РАЗРЯДНАЯ СЕТКА ЭВМ
Определение:
Разрядная сетка ЭВМ – это число разрядов,
отведенных для записи числа.
Например, 32-разрядная сетка:
Чем больше разрядов в ЭВМ, тем больше диапазон
допустимых чисел и, следовательно, меньше
24
погрешность вычисления.

25.

ТОЧНОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Точность вычислений определяется
количеством цифр результата, заслуживающих
доверия.
Характеристиками доверия к цифрам
результата являются:
значащие,
верные,
сомнительные цифры.
25

26.

ЗНАЧАЩИЕ, ВЕРНЫЕ,
СОМНИТЕЛЬНЫЕ ЦИФРЫ
Определение:
Значащими цифрами числа Х* называют все
цифры в его записи, начиная с первой ненулевой
слева.
Определение:
Значащая цифра к считается верной, если
выполняется неравенство:
0.5 <1 (чаще всего в расчетах = 0.75)
26
в противном случае – к – сомнительная цифра.

27.

ЗНАЧАЩИЕ, ВЕРНЫЕ,
СОМНИТЕЛЬНЫЕ ЦИФРЫ
Пример 1.6.
Определить число верных знаков в записи числа
x =2,718 0,001.
n k 1
Решение.
Х*=2,718;
Представим погрешность
=0,001= 0,1 10–2 (в форме с плавающей запятой)
2.718 = 2 100 + 7 10–1 + 1 10–2 + 8 10–3
n=0 .
Выберем =0,75.
27

28.

ЗНАЧАЩИЕ, ВЕРНЫЕ,
СОМНИТЕЛЬНЫЕ ЦИФРЫ
Получим
n k 1
0,1 10–2 0,75 10 0–k+1
где k - неизвестное.
Равенство оснований (10) и числа мантиссы
(0,1<0,75) позволяют перейти к неравенству
относительно показателей:
–2 < 1–k Отсюда k 3
Таким образом:
Верными цифрами числа являются три первые
28
значащие цифры, т.е. 2,71;
Цифра 8 – сомнительная.

29.

ОБЩАЯ ФОРМУЛА ПОГРЕШНОСТИ
Общая погрешность результата определяется:
величинами отдельных погрешностей,
видом математического выражения.
Правила трансформации погрешностей:
Абсолютная погрешность суммы конечного
числа приближенных чисел не превышает суммы
абсолютных погрешностей этих чисел.
Относительная погрешность произведения
конечного числа приближенных чисел не
превышает суммы относительных погрешностей 29
этих чисел.

30.

.
,
ОБЩАЯ ФОРМУЛА ПОГРЕШНОСТИ
Пусть задана функция Z=f(x1, х2, …, хn)
Известны абсолютные (или относительные)
погрешности аргументов х1, х2,…, хn ( х1, х2,…,
хn).
Z
Абсолютная погрешность функции: Z
xi
i 1 xi
n
Относительная погрешность: Z x i
ln Z x i
x i
30
i 1
n

31.

ОБЩАЯ ФОРМУЛА ПОГРЕШНОСТИ
Если сложная функция Z зависит только от двух
аргументов, т.е. Z=f(x, y), то:
Абсолютная
погрешность
Относительная
погрешность
x y x y
x x y y
x y
x y
x y x y y x
x y x y
x y x x y
y
y2
x
x y
y
x m m x m 1 x
x m m x
31

32.

ОБЩАЯ ФОРМУЛА ПОГРЕШНОСТИ
Пример 1.7.
Вычислить абсолютную и относительную
погрешности сложной функции
при заданных значениях
a = 0.643 ± 0.005
b = 2.17 ± 0.02
c = 5.843 ± 0.01
a* = 0.643
b* = 2.17
c* = 5.843
a b3
Z
c
а =0,005
b =0,02
c =0,01
Относительные погрешности найдем как:
а =0,777;
b =0,922;
100
x*
c =0,171.
32

33.

ОБЩАЯ ФОРМУЛА ПОГРЕШНОСТИ
Решение.
Вычислим значение приближенного числа Z*, подставив
значения входящих в него аргументов a*, b*, c*.
a b
Z
c
3
0,643 2,173
Z
2,71814
5,843
*
u
3
Z u v (a b ) ( c )
v
1
(a) 3 (b) (c)
2
33

34.

ОБЩАЯ ФОРМУЛА ПОГРЕШНОСТИ
Подставим значения относительных погрешностей
аргументов
1
Z (a ) 3 (b) (c)
2
1
0.777 3 0.921 0.171 3.628 (%)
2
Z Z * 3.628 2.718
Z
0.986
100
100
34

35.

ОБЩАЯ ФОРМУЛА ПОГРЕШНОСТИ
Пример 1.8.
Вычислить значение аналитического выражения и
оценить абсолютную и относительную погрешности
сложной функции
при заданных значениях
a = 0.643 ± 0.0005
b = 2.17 ± 0.002
c = 5.843 ± 0.001
35

36.

ОБЩАЯ ФОРМУЛА ПОГРЕШНОСТИ
Решение.
Вычислим значение приближенного числа Z*,
подставив значения входящих в него аргументов a, b, h.
Z * 0,8307
Абсолютные погрешности из условия задачи равны
а =0,04; b =0,02; h =0,01.
Относительные погрешности найдем как:
а =3,5057 %;
b =0,6337 %;
h =0,8772 %.
36

37.

ОБЩАЯ ФОРМУЛА ПОГРЕШНОСТИ
В данной сложной функции Z* основная
математическая операция сложение.
Воспользуемся формулой для вычисления абсолютной
погрешности, предварительно упростив первое
слагаемое функции:
a b
2
Z
(a b )
h
2 a ( a b)
Z
2 h h
2
(a b )
Подставив численные значения абсолютных
погрешностей, получим:
Относительную погрешность функции пересчитаем
37
по формуле